初三数学中考复习：二次函数中特殊三角形的存在问题(含答案)(共19页)

1、特殊三角形存在性问题一、等腰三角形存在性问题【例4】 如图，抛物线yx2mxn与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(1，0)，C(0，3) (1)求抛物线的解析式解：把A(1，0)，C(0，3)代入yx2mxn，得解得 抛物线的解析式为yx22x3.(2)判断ACD的形状，并说明理由 先确定点D的坐标，求出ACD的各边长，然后判断ACD的形状解：ACD是等腰三角形由(1)知，抛物线的对称轴为x1，D(1，0)A(1，0)，C(0，3)，AD2，AC，CD.ACCD.ACD是等腰三角形(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果

2、存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由 先找出所有符合条件的点，然后再求线段长确定P点坐标解：由(2)知CD.CDP是以CD为腰的等腰三角形，CP1DP2DP3CD.过点C作CM垂直对称轴于M，MP1MD3.DP16.符合条件的点P的坐标为(1，6)，(1，)，(1，)(4)点P是线段BC上的一动点，是否存在这样的点P，使PCD是等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标，如果不存在，请说明理由 先求出BC的解析式，分三种情况讨论计算出m.解：B(3，0)，C(0，3)，直线BC的解析式为yx3.设点P(m，m3)(m0)C(0，3)，D(1，0)，CP22m2，DP2(m1)2(m3)2，C

3、D210.PCD是等腰三角形：当CPDP时，则CP2DP2.2m2 (m1)2(m3)2.m.P1.当CPCD时，则CP2CD2.2m2 10.m或m(舍去)P2(，3)当DPCD时，则DP 2 CD 2.(m1)2(m3)210.m4或m0(舍去)P3(4，1)综上所述，符合条件的点P的坐标为，(，3)或(4，1)(5)设抛物线的顶点为E，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得PEC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 分“以CE为底”和“以CE为腰”两种情况讨论利用腰长相等列关系式，再结合抛物线解析式，求出点P的坐标解：由(1)知，E点坐标为(1，4)

4、，对称轴为直线x1.若以CE为底边，则PEPC.设点P的坐标为(x，y)，则(x1)2(y4)2x2(3y)2，即y4x.又点P(x，y)在抛物线上，4xx22x3.解得x.1，应舍去x，y4x.即点P的坐标为.若以CE为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性可知，点P与点C关于直线x1对称，此时P点坐标为(2，3)综上所述，符合条件的点P坐标为或(2，3) 关于等腰三角形找点(作点)和求点的方法等腰三角形找点(作点)方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用“两圆一线法”，在图上找出存在点的个数.问题找点等腰三角形已知点A，B和直线l，在l上求点P，使PAB为等腰三角形分别以点

5、A，B为圆心，以线段AB长为半径作圆，再作线段AB的垂直平分线，两圆和垂直平分线与l的交点即为所有要求的P点等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后求出三点间的线段长度，分不同顶点进行讨论二、直角三角形的存在性问题【例5】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax22xc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；解：把A(1，0)，B(3，0)代入yax22xc，得解得 抛物线的解析式为yx22x3.设AC的解析式为ykx3.把A(1，0)代入解

6、析式，得k3.直线AC的解析式为y3x3.(2)动点E在y轴上移动，当EAC是以AC边为直角边的直角三角形时，求点E的坐标解：设E的坐标为(0，t)AC2OA2OC2123210，EA2 OA2OE212t2，CE2(3t)2.在RtEAC中，AC2EA2 CE2，10(12t2)(3t)2，解得t.点E的坐标为.(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 分直角顶点在点A处和点C处两种情况讨论解：存在直角顶点在点C处如图，过点C作CQAC交x轴于点Q，ACQ为直角三角形又COAQ，C

7、OAQOC.A(1，0)，C(0，3)，OA1，OC3.OQ9.Q(9，0)由C(0，3)，Q(9，0)可求出直线CQ的解析式为yx3.联立方程 解得x10(舍去)，x2.当x时，y.P1.直角顶点在点A处如图，过点A作AP2CQ交抛物线于点P2.设直线AP2的解析式为yxb，把A(1，0)代入解析式，得×(1)b0，b.直线AP2的解析式为yx.联立方程 解得x11(舍去)，x2，当x时，y.P2.综上所述，符合条件的点P的坐标为或.(4)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得以B，C，P为顶点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 分直角顶点在点B处

8、、点C处和点P处三种情况讨论解：设点P(1，m)，B(3，0)，C(0，3)BC218，PB2(13)2m2m24，PC212(m3)2 m26m10.当以点C为直角顶点时，BC2 PC2 PB2，即18 (m26m10) m24，解得m4.当以点B为直角顶点时，BC2 PB2 PC2，即18 (m24) m26m10，解得m2.当以点P为直角顶点时， PB2 PC2 BC2，即m24 (m26m10) 18，解得m1，m2.综上，存在点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形为直角三角形，点P的坐标为(1，4)，(1，2)，.（5）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC，BC于点M，N.问在x轴上

9、是否存在点P，使得PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由 分三种情况进行讨论：PMN90°，PMMN；PNM90°，PNMN；MPN90°，PMPN.解：存在设M，N的纵坐标为m，由B(3，0)，C(0，3)可求出直线BC的解析式为yx3.M，N(3m，m)当PMN90°，PMMN时，如图1所示，MN，PMm， m，解得m，则P的横坐标为.P.当PNM90°，PNMN时，同理可得P.当MPN90°，PMPN时，作MN的中点Q，连接PQ，则PQm. 又PMPN，PQMN.则MN2PQ，即2

10、m，解得m，点P的横坐标为.P.综上，存在点P使得PMN是等腰直角三角形，点P的坐标为，或. 关于直角三角形找点和求点的方法找点：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一圆法，在图上找出存在点的个数所谓的“两线”就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；“一圆”就是以已知边为直径，以已知边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点求点：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1·k21；以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用三角形相似求解，或者三条边分别用代数式表示之后，利用勾股定理求解1(201

11、8·潍坊)如图1，抛物线y1ax2xc与x轴交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C，抛物线y1的顶点为G，GMx轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2.(1)求抛物线y2的解析式；(2)如图2，在直线l上是否存在点T，使TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R.若以P，Q，R为顶点的三角形与AMG全等，求直线PR的解析式 解：(1)根据题意，得解得a，所以，抛物线y1的解析式为y1x2x.抛物线y1平移后得到抛物线y2，且顶

12、点为B(1，0)，抛物线y2的解析式为y2(x1)2，即y2x2x. (2)抛物线y2的对称轴l为x1，设T(1，t)，已知A(3，0)，C，过点T作TEy轴于E，连接TC，TA，则TC2TE2CE212t2t，TA2TB2AB2t2(13)2t216，AC2.当TCAC时，即t2t，解得t1，t2；当TAAC时，得t216，无解；当TATC时，得t2tt216，解得t3.综上所述，在抛物线y2的对称轴l上存在点T，使TAC是等腰三角形，此时T点的坐标为T1，T2，T3.(3)设P，则Q.Q，R关于x1对称，R.情况一：当点P在直线l的左侧时，PQm2m1m，QR22m.又因为以P，Q，R构成

13、的三角形与AMG全等，当PQGM且QRAM时，m0，可求得P，即点P与点C重合R.设PR的解析式为ykxb，则有解得k，即PR的解析式为yx.当PQAM且QRGM时，无解情况二：当点P在直线l右侧时，PQm2mm1，QR2m2，同理可得P，R.PR的解析式为yx.综上所述， PR的解析式为yx或yx. 2.(2018·海南)如图1，抛物线yax2bx3交x轴于点A(1，0)和点B(3，0)(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D(2，3)在该抛物线上求四边形ACFD的面积；点P是线段AB上的动点(点P不与点A，B重合)，过点P作PQx轴

14、交该抛物线于点Q，连接AQ，DQ，当AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标 解：(1)根据题意，得 解得 抛物线的解析式为yx22x3.(2)如答图1，连接CD，yx22x3(x1)24，F(1，4)C(0，3)，D(2，3)，CD2，且CDx轴S四边形ACFDSACDSFCDCD×(yFyA)×2×44.点P在线段AB上，DAQ不可能为直角当AQD为直角三角形时，有ADQ90°或AQD90°，如答图2所示.当ADQ90°时，则DQAD.A(1，0)，D(2，3)，直线AD的解析式为yx1.可设直线DQ的解析式为yxb.把

15、D(2，3)代入上式可求得b5，直线DQ的解析式为yx5.联立直线DQ和抛物线的解析式可得解得 Q(1，4).当AQD90°时，设Q(t，t22t3)，设直线AQ的解析式为yk1xb1，把A，Q坐标代入上式可得 ，解得k1(t3)设直线DQ的解析式为yk2xb2，同理可求得k2t.AQDQ，k1k21，即t(t3)1，解得t.当t时，t22t3；当t时，t22t3.Q点坐标为(，)或(，)综上可知Q点坐标为(1，4)或(，)或(，)3(2018·邵阳)如图所示，将二次函数yx22x1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数yax2bxc的图象

16、函数yx22x1的图象的顶点为点A.函数yax2bxc的图象的顶点为点B，并和x轴的交点为点C，D(点D位于点C的左侧)(1)求函数yax2bxc的解析式；(2)从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；(3)若点M是线段BC上的动点，点N是ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的RtAMN，使AMN的面积为ABC面积的.若存在，求tanMAN的值；若不存在，请说明理由 解：(1)yx22x1(x1)2的图象沿x轴翻折，得y(x1)2.把y(x1)2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得yx24.所求的函数yax2bxc的解析式为yx24.(2)从

17、点A，C，D三个点中任取两个点，能和点B构造的三角形有BAC，BAD，BCD.A，B，C，D的坐标分别为(1，0)，(0，4)，(2，0)，(2，0)可求得AC3，AD1，CD4，AB，BC2，BD2，只有BCD为等腰三角形构造的三角形是等腰三角形的概率P.(3)存在SABCAC·OB×3×46.当点N在边AC上时，点M在边BC上在RtAMN中，MNAC.设点N的坐标为(m，0)，则ANm1，点M的横坐标为m.由B(0，4)，C(2，0)易得线段BC的解析式为y2x4，其中0x2，点M的纵坐标为2m4，则MN2m4.SAMNAN·MN(m1)(2m4)SABC2，解得m10，m21.当m0时，M点的坐标为(0，4)，N(0，0)，则AN1，MN4，tanMAN4.当m1时，M点的坐标为(1，2)，N(1，0)，则AN2，MN2，tanMAN1；当点N在BC上，点M在BC上 在RtAMN中，MNAN.SAMNSABC，AN·MN×BC·AN.MNBC.SABCBC·AN·