复变函数习题课学习教案

1、会计学1复变函数习题课复变函数习题课第一页，编辑于星期一：十二点 四分。2重点：重点：难点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数函数展开成洛朗级数第1页/共46页第二页，编辑于星期一：十二点 四分。3复数项级数复数项级数函数项级数函数项级数充充要要条条件件必必要要条条件件幂级数幂级数收敛半径收敛半径R R复复 变变 函函 数数绝绝对对收收敛敛运算与性质运算与性质为复常数为复常数 )(zfnn为函数为函数 收敛条件收敛条件条条件件收收敛敛复数列复数列收敛半径的计算收敛半径的计算泰勒级数泰勒级数洛朗级数洛朗级数第2页/共46页第三页，编辑于星期一：十二点

2、 四分。4记作记作第3页/共46页第四页，编辑于星期一：十二点 四分。5表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 项的和项的和n称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和1) 定义定义第4页/共46页第五页，编辑于星期一：十二点 四分。60lim1 nnnn 收敛收敛都收敛都收敛与与收敛收敛 111nnnnnnba 充要条件充要条件必要条件必要条件第5页/共46页第六页，编辑于星期一：十二点 四分。73)复级数的绝对收敛与条件收敛复级数的绝对收敛与条件收敛如果如果 收敛收敛, 那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛. 1nn 1nn .111绝对收敛绝对收敛与

3、与绝对收敛绝对收敛 nnnnnnba 绝对收敛绝对收敛 条件收敛条件收敛第6页/共46页第七页，编辑于星期一：十二点 四分。8)()()()(21zfzfzfzsnn 称为这级数的称为这级数的部分和部分和. . 级数最前面级数最前面项的和项的和n其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义. .表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数, 记作记作 第7页/共46页第八页，编辑于星期一：十二点 四分。9 1) 在复变函数项级数中在复变函数项级数中, 形如形如.zczczcczcnnnnn 22101的级数称为的级数称为幂级数幂级数.,0时时当当 a第8页/共46页第九页，编辑于星期一

4、：十二点 四分。10-阿贝尔阿贝尔Abel定理定理如果级数如果级数 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz , z在在收敛收敛, z那末对那末对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛, 如果如果在在级数发散级数发散, 那末对满足那末对满足的的级数必发散级数必发散.满足满足2)2)收敛定理收敛定理第9页/共46页第十页，编辑于星期一：十二点 四分。11(3) 既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数敛的正实数.3)3)收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种其收敛半径的情况有三种:(1) 对所有的

5、正实数都收敛对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处即级数在复平面内处处收敛处收敛.(2) 对所有的正实数除对所有的正实数除0 z外都发散外都发散.第10页/共46页第十一页，编辑于星期一：十二点 四分。12在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出不能作出一般的结论一般的结论, 要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意xyo . .R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径第11页/共46页第十二页，编辑于星期一：十二点 四分。13方法方法1 1: 比值法比值法方法方法2: 根值法根值法, 0lim 1 nnncc如果如果那末收敛半径那末收敛半径.1 R ., 0

6、; 0,;0,1 R即即, 0lim nnnc如果如果那末收敛半径那末收敛半径.1 R第12页/共46页第十三页，编辑于星期一：十二点 四分。14),min(21rrR 第13页/共46页第十四页，编辑于星期一：十二点 四分。15如果当如果当rz 时时,)(0 nnnzazf又设在又设在Rz 内内)(zg解析且满足解析且满足,)(rzg 那末当那末当Rz 时时, 0.)()(nnnzgazgf复变幂级数在收敛圆内的解析性复变幂级数在收敛圆内的解析性 00)(nnnzzc设幂级数设幂级数的收敛半径的收敛半径为为,R那末那末是收敛圆是收敛圆Raz 内的解析函数内的解析函数 .它的和函数它的和函数

7、00)()(nnnzzczf, )(zf即即(1)第14页/共46页第十五页，编辑于星期一：十二点 四分。16(2)(zf在收敛圆在收敛圆Raz 内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到, 即即.)()(110 nnnzznczf(3)(zf在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分, 即即 0.,d)(d )(ncnncRazczazczzf或或 01.)(1d)(nnnzaazncf 第15页/共46页第十六页，编辑于星期一：十二点 四分。17, 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒级数泰勒级数 1)定理定理设设)(zf在区域在区域D内解析

8、内解析,0z为为D 内的一内的一d为为0z到到D的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离, 那末那末点点,dzz 0时时, 00)()(nnnzzczf成立成立,当当第16页/共46页第十七页，编辑于星期一：十二点 四分。18,! 21)1(02 nnnznznzzze,111)2(02 nnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)4(1253 nzzzzznn)( z第17页/共46页第十八页，编辑于星期一：十二点 四分。19)( z)1( z)1( z第18页/共46页第十九页，编辑于星期一：十二点 四分。20定理定理内内可可展展开开成成洛洛朗朗级级数数在在那那末末析析内内处

9、处处处解解在在圆圆环环域域设设DzfRzzRzf )( , )( 201 ,)()(0nnnzzczf Cnnzfic d)()(21 10其中其中), 1,0( nC为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线.0z为洛朗系数为洛朗系数.1)第19页/共46页第二十页，编辑于星期一：十二点 四分。21函数函数)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数. nnnzzczf)()(0 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的的级数是唯一的,

10、这就是这就是 f (z) 的洛朗级数的洛朗级数. 第20页/共46页第二十一页，编辑于星期一：十二点 四分。22根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .(2) 间接展开法间接展开法(1) 直接展开法直接展开法,d)()(2110 Cnnzfic 根据洛朗定理求出系数根据洛朗定理求出系数.)()(0nnnzzczf 然后写出然后写出第21页/共46页第二十二页，编辑于星期一：十二点 四分。23例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.解解发散，发散，收敛，收敛，第22页/共

11、46页第二十三页，编辑于星期一：十二点 四分。24三、典型例题三、典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.解解第23页/共46页第二十四页，编辑于星期一：十二点 四分。25解解收敛收敛收敛收敛三、典型例题三、典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.第24页/共46页第二十五页，编辑于星期一：十二点 四分。26解解 由正项级数的比值判别法知由正项级数的比值判别法知绝对收敛绝对收敛.三、典型例题三、典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.第25页/共46页第二十六页，编辑于星期一：十二点 四分。27例例2 2 求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径.

12、)4(!)3(!)2()1(100022 kknnnnnnzznnznz解解第26页/共46页第二十七页，编辑于星期一：十二点 四分。28第27页/共46页第二十八页，编辑于星期一：十二点 四分。29例例3 3 展开函数展开函数 成成 的幂级数到的幂级数到 项项.zeezf )(z3z解解由此得由此得所以所以解析函数展为幂级数的方法解析函数展为幂级数的方法利用定义来求利用定义来求.第28页/共46页第二十九页，编辑于星期一：十二点 四分。30分析：分析：采用间接法即利用已知的展开式来求采用间接法即利用已知的展开式来求.解解)( z例例4 4 求求 在在 的泰勒展式的泰勒展式.zezfzcos)

13、( 0 z第29页/共46页第三十页，编辑于星期一：十二点 四分。31由于由于第30页/共46页第三十一页，编辑于星期一：十二点 四分。32例例5 5. sin 的幂级数的幂级数展开成展开成把把zzez分析：分析：利用级数的乘除运算较为简单利用级数的乘除运算较为简单.解解故乘积也绝对收敛故乘积也绝对收敛., 内内绝绝对对收收敛敛两两级级数数均均在在 z)( z第31页/共46页第三十二页，编辑于星期一：十二点 四分。33例例6 6. 0 sec)( 的泰勒展开式的泰勒展开式在点在点求求 zzzf设设又又由泰勒展式的唯一性由泰勒展式的唯一性,又又,! 4! 21cos42 zzz所以所以解解 利

14、用待定系数法利用待定系数法第32页/共46页第三十三页，编辑于星期一：十二点 四分。34比较两端系数得比较两端系数得第33页/共46页第三十四页，编辑于星期一：十二点 四分。35例例7 7. 1 )1(1 3内的泰勒展开式内的泰勒展开式在在求函数求函数 zz分析：分析：利用逐项求导、逐项积分法利用逐项求导、逐项积分法.解解所以所以)1( z第34页/共46页第三十五页，编辑于星期一：十二点 四分。36例例8 8. 11的幂级数的幂级数展开成展开成把把zez 解解 利用微分方程法利用微分方程法 对上式求导得对上式求导得第35页/共46页第三十六页，编辑于星期一：十二点 四分。37由此可得由此可得

15、,3)0(ef 故故)1( z第36页/共46页第三十七页，编辑于星期一：十二点 四分。38例例9 9. 0 )1)(3(785)( 2234的泰勒展开式的泰勒展开式在点在点求求 zzzzzzzzf分析分析:利用部分分式与几何级数结合法利用部分分式与几何级数结合法. 即把函数即把函数分成部分分式后分成部分分式后, 应用等比级数求和公式应用等比级数求和公式.解解)3( z)1( z第37页/共46页第三十八页，编辑于星期一：十二点 四分。39)1( z故故2)1(1322)( zzzzf)1( z两端求导得两端求导得第38页/共46页第三十九页，编辑于星期一：十二点 四分。40)1( z第39页/共46页第四十页，编辑于星期一：十二点 四分。41, 0 内内在在 z例例1010. 0 12的去心邻域的洛朗级数的去心邻域的洛朗级数在在求求 zezz解解第40页/共46页第四十一页，编辑于星期一：十二点 四分。42例例1111. )2)(1)( 展开成洛朗级数展开成洛朗级数在下列圆环域内在下列圆环域内将将 zizzf, 21)1( z.2)2( z解解, 21 )1(内内在在 z有有第41页/共46页第四十二页，编辑于星期一：十二点 四分。43第42页/共46页第四十三页，编辑于星