复变函数及积分变换第七章学习教案

1、会计学1复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章第一页，编辑于星期一：十二点 三分。7.1 傅里叶变换一个以L为周期的函数fL(t)，如果在区间-L/2,L/2上连续，那么在-L/2,L/2上可以展开成傅里叶级数 其中一个周期函数表示成正弦函数类的和，称为函数fL(t)傅里叶级数. 01( )(cossin),2Lnnnaftan tbn t/20/2/2/2/2/222,( )d ,2( )cosd , 1,2,2( )sind , 1,2,.LLLLnLLLnLLafttLLaftn t tnLbftn t tnL第1页/共42页第二页，编辑于星期一：十二点 三分。傅里叶级数的复指

2、数形式 eeeeeecossin,222ititititititttii 0101eeee( )222ee.222in tin tin tin tLnnnin tin tnnnnnaftabiaaibaibi/200/21( )d ,2LLLacfttL记第2页/共42页第三页，编辑于星期一：十二点 三分。/2/2/2/2/2/2/2/221( )(cos)d( )(sin)d1( )(cossin)d1( )ed , 1,2,nnnLLLLLLLLLLin tLLaibcftn ttiftn ttLftn tin ttLfttnL/2/221( )ed , 1,2,.nnnLin tLLai

3、bcfttnL第3页/共42页第四页，编辑于星期一：十二点 三分。/2/21( )ed , 1,2,Lin tnLLcfttnL01( )( ee)e,in tin tin tLnnnnnftcccc/2/21( )( )ede.Lin tin tLLnLftfttL第4页/共42页第五页，编辑于星期一：十二点 三分。 设非周期函数F(t)在区间 内连续、可积，且绝对可积，考虑区间(-L/2,L/2)，F(t)在此区间上有三角级数表示(,) ( )e, ,22in tnnLLF tct 其中系数为/2/21( )ed , 0, 1, 2,Lin tnLcF ttnL 定义一个周期为L的函数FL

4、(t)，在区间(-L/2,L/2)内等于F(t)，而在区间端点-L/2, L/2处的值可能等于F(t)在这两点的平均值； 第5页/共42页第六页，编辑于星期一：十二点 三分。当L越大时，FL(t)与F(t)相等的范围也越大，可以猜测当L时，周期函数FL(t)的极限为F(t)，即是lim( )( ).LLF tF t对任意的 ，有t ( )lime.in tnLnF tc第6页/共42页第七页，编辑于星期一：十二点 三分。当L时， ，令 ，则有2Tnngc L2 /1(1)2( )e2int LLnnnnF tgL/22 /2( )ed .Lint LnLgF tt以及记 ，有2/nnL11(

5、)()e(),2nitLLnnnnF tG其中对实数，函数 定义为( )LG/2/2( )( )ed .Li tLLGF tt第7页/共42页第八页，编辑于星期一：十二点 三分。当L趋向无穷时， 自然趋向于一个函数 ，称为函数F的傅里叶变换傅里叶变换，( )LG( )G/2/2( )( )ed .Li tLGF tt随着L趋向无穷时， 趋向于零，而 所对应的点均匀地分布在整个数轴上，且取值从-到， 1nnnn1( )e d2i tG11( )()e()2nitLLnnnnF tG称为 的傅里叶逆变换傅里叶逆变换. ( )G( )p.v.( )edlim( )edNi ti tNNGF ttF

6、tt11( )p.v.( )e dlim( )e d22Ni ti tNNF tGG第8页/共42页第九页，编辑于星期一：十二点 三分。定理7.1 若F(t)在(-, )上满足下列条件：1) F(t)在任何有限区间上连续或只有有限个第一类间断点；2) F(t)在任何有限区间上只有有限个极值点；3) F(t)在区间(-, )上绝对可积，即是积分 收敛.则F的傅里叶变换 存在，且有( ) dF tt( )G( ) 1p.v.( )ed(0)(0)2 2i tF tFGF tF t当 连续时;其他情形.第9页/共42页第十页，编辑于星期一：十二点 三分。例7.1 求函数 的傅里叶变换，并验证傅里叶逆

7、变换.21( )4F tt解: 211( )4(2 )(2 )F ttti ti除了两个单极点 外是一个解析函数 2ti 2e( )d4i tGtt如果 ，考虑在下半平面取一个半圆周和实轴组成的闭曲线上的积分，由留数定理，有0222e( )( 2 )Res; 24ee2lim.22i ti ttiGiititi 第10页/共42页第十一页，编辑于星期一：十二点 三分。当 ，考虑在上半平面取一个半圆周和实轴组成的闭曲线上的积分，由留数定理得022ee( )( 2 )Res; 2.42i tGiit 2e( ).2G验证傅里叶逆变换 计算211e( )e de d .222i ti tG第11页/

8、共42页第十二页，编辑于星期一：十二点 三分。由奇偶性知道，虚部为一奇函数，积分为零，因此有22( 2)02eeRee d2 Ree d441eRe221.4i ti tititt 2211eed .422i tt所以第12页/共42页第十三页，编辑于星期一：十二点 三分。例7.2 求函数的傅里叶变换，并求傅里叶逆变换的积分表达式，其中0.这个函数叫做指数衰减函数，是工程中常遇到的一个函数.0, 0;( )e, 0ttF tt解: 0()220( )( )edeed1ed.i tti titGF tttiti上式最后一行的表达式就是衰减函数的傅里叶变换 第13页/共42页第十四页，编辑于星期一

9、：十二点 三分。222222011( )( )ede d221cossind21cossind .i ti tiF tGtttt傅里叶逆变换 第14页/共42页第十五页，编辑于星期一：十二点 三分。例7.3 求函数 的傅里叶变换和逆变换的积分表达式，其中 .这个函数叫做钟形函数，又称为高斯(Gauss)函数，是工程技术中常见的函数之一.2( )etF tA,0A2224()()( )( )ededeed .iitti ttGF ttAtAt解: 令 ，则上式变为一复变函数的积分，2its22222()eded .iiitsts第15页/共42页第十六页，编辑于星期一：十二点 三分。 为复平面s

10、上的解析函数，取如图闭曲线：正方形ABCD，由哥西积分定理得 2es22eded0.ssABBCCDDAss当正方形边长R时，222ededed,RsttABRstt2222222222()0(2)00ededed()eedee d0.iiiRssR iuBCRRui R uRussRiuuu第16页/共42页第十七页，编辑于星期一：十二点 三分。同理可得，当R时，有2ed0sDAs. 故有22limedlimed0,ssRRCDDCss即是222ed.iiss高斯函数的傅里叶变换为24( )e.GA第17页/共42页第十八页，编辑于星期一：十二点 三分。的傅里叶逆变换 ( )G2424011

11、( )( )e de(cossin)d22ecosd .i tF tGAtitAt 此即为2240 eecosd .tt 第18页/共42页第十九页，编辑于星期一：十二点 三分。7.2 单位脉冲函数及其傅里叶变换定义狄拉克(Dirac)函数： 0, 0;( ), 0,ttt当当( )d1.tt 函数表达式为它表示一个矩形脉冲电流. 1, ;( )0, ststs 0其余地方.第19页/共42页第二十页，编辑于星期一：十二点 三分。即是矩形面积为1，称为脉冲强度. ( )d1,stt在脉冲强度不变的条件下，随着s减小，矩形脉冲电流就变得越来越陡，因此有 即是00, 0;lim( ), 0,sst

12、tt当当0lim( )d1.sstt0lim( )( ).sstt 表示的物理意义是 是一个宽为0、振幅为、强度为1的理想单位脉冲. 0lim( )sst第20页/共42页第二十一页，编辑于星期一：十二点 三分。电流为零的电路中，某一个瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲，求电路上的电流I(t).记Q(t)为进入上述电路的电荷函数，那么0, 0;( )1, 0,tQ tt当当0d ( )()( )( )lim,dtQ tQ ttQ tI ttt 当t0时，I(t)=0；当t=0时，因为Q(t)不是一个连续函数，不存在通常的导数. 0(0)(0)(0)lim,tQtQIt 电流强度I(t)=

13、(t) . 第21页/共42页第二十二页，编辑于星期一：十二点 三分。 考虑函数集合：D= ; 是定义在(-,)上无穷可导、性质很好的函数.不仅可以在(-,)上展开成幂级数，而且当 时，函数快速地趋向于零.设,D，k为一个实数或复数，则有，k均属于D，即是D成为一个向量空间.x 固定s0，对任意的D，积分 定义一个从向量空间D到实数或复数的一个线性映射. ( )( )dsttt因为D当然是一个连续函数，所以有0000011lim( )( )dlim( )dlim( )d(0).sssssstttttttss0lim( )( )d( ) ( )d(0).sstttttt第22页/共42页第二十三

14、页，编辑于星期一：十二点 三分。0lim( )( )d( ) ( )d(0).sstttttt最后一个等式定义了从D到实数或复数上的一个线性映射：对任意的D，有( ) ( )d(0),ttt00( ) ()d( ).ttttt函数的傅里叶变换 0( )( )ede1.i ti ttGtt第23页/共42页第二十四页，编辑于星期一：十二点 三分。例7.4 证明单位阶跃函数的傅里叶变换为 . 0, 0;( )1, 0tu tt1 ( )i 证明 由函数的奇偶性，有 011( ) ( ) e d2111 ( )e de d2211sin11sin( )e ddd .222i ti ti ti tF

15、tiitt 第24页/共42页第二十五页，编辑于星期一：十二点 三分。0sind;2t当t=0时，显然有0sind0;t当t0时，有000sinsinsinddd;2tttt当t0时，此时有 ，所以f=0，因此f(s)g(t-s)=0； 0st 第38页/共42页第三十九页，编辑于星期一：十二点 三分。若t0，此时只有当 时，有f(s)g(t-s)0，所以有0st()10* ( )( ) ()d( ) ()dede (e)1 e .tt stttfg tf s g tssf s g tsss 第39页/共42页第四十页，编辑于星期一：十二点 三分。2.卷积定理 定理7.5 设函数f, g满足傅里叶变换定理7.1中的条件，则 考虑傅里叶逆变换，则有 F*( )F( ) F( )fgfg