材料力学课件第三章

1、材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转1材料力学材料力学Mechanics of Materials苏文政苏文政土木与安全工程学院土木与安全工程学院 力学教研室力学教研室材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转2 2第三章第三章 扭转扭转3.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例3.2外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图3.3纯剪切纯剪切3.4圆轴扭转的应力圆轴扭转的应力3.5圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形3.7非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转3 33.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例一一 工程实例工程实例材料力学材料力学 第

2、三章第三章 扭转扭转4 43.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例二二 受力及变形特点受力及变形特点o扭转扭转：杆件受到两个大小相等、方向相反且作用面：杆件受到两个大小相等、方向相反且作用面垂直于杆件轴线的力偶，使杆件的任意两个横截面垂直于杆件轴线的力偶，使杆件的任意两个横截面均发生绕轴线的相对转动均发生绕轴线的相对转动o以扭转变形为主要变形的杆件称为以扭转变形为主要变形的杆件称为轴轴（注：（注：轴的定轴的定义并不是以几何特点区分义并不是以几何特点区分）材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转5 53.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图材料力学分析问题的基本流程材料力学分

3、析问题的基本流程一一 外力外力外力偶矩外力偶矩Me1 直接计算直接计算材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转6 6一一 外力偶矩外力偶矩2 按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电动机每秒钟电动机每秒钟输入功输入功P1000Nm力偶矩每秒钟力偶矩每秒钟输出功输出功Me 2n /60能量守恒：能量守恒：发动机功率为发动机功率为P（kW）轴的转速为轴的转速为n（r/min）功能功能关系关系材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转7 7扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图二二 内力内力扭矩扭矩T截面内力系为一内力偶矩截面内力系为一内力偶矩扭矩（扭矩（T）：受扭杆件任意截面分布内力系的合力偶矩：受扭杆件任意截

4、面分布内力系的合力偶矩截面法求内力截面法求内力材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转8 8扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）曲线）右手定则确定右手定则确定T矢量方向，矢量方向，截面外法线方向为正截面外法线方向为正符号规定符号规定内力图内力图扭矩图扭矩图材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转9 9例题例题传动轴主动轮传动轴主动轮B输入功率输入功率PB=20kW ，从动轮，从动轮A输出功输出功率率PA=8kW ，从动轮，从动轮C输出功率输出功率PC=12kW ，轴转速，轴转速n=300r/min ，求画扭矩图，求画扭矩图解：各轮解：

5、各轮的外力偶的外力偶矩分别为：矩分别为：9549 20 300636eBMN mN m9549 8 300254eAMN mN m9549 12 300382eCMN mN m材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转1010例题例题求扭矩求扭矩扭矩图扭矩图画扭矩图画扭矩图若调换若调换B、C齿轮的位置，扭矩图如何变化？齿轮的位置，扭矩图如何变化？思考思考材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转1111例题（续）例题（续）若调换若调换B、C齿轮的位置齿轮的位置轴内力显著增大，因此需要合理布置主动轮位置轴内力显著增大，因此需要合理布置主动轮位置材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转12123.3

6、纯剪切纯剪切一一 薄壁圆筒的扭转切应力薄壁圆筒的扭转切应力薄壁圆筒薄壁圆筒:壁厚壁厚 远小于远小于平均半径平均半径r薄壁圆筒扭转变形时横薄壁圆筒扭转变形时横截面的应力分布如何？截面的应力分布如何？材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转13131 实验观察实验观察实验现象及结果分析实验现象及结果分析圆筒轴线方向长度不变圆筒轴线方向长度不变表明横截面不存在正应力表明横截面不存在正应力圆筒直径保持不变圆筒直径保持不变表明纵向截面不存在表明纵向截面不存在正应力正应力方格左右两边发生相对方格左右两边发生相对错动错动表明横截面存在切应力表明横截面存在切应力加载前加载前加载后加载后材料力学材料力学 第三章

7、第三章 扭转扭转14142 理论推导理论推导横截面切应力所组成的内力系与外力偶矩相平衡横截面切应力所组成的内力系与外力偶矩相平衡薄壁结构薄壁结构剪应力沿筒壁厚度方向保持不变剪应力沿筒壁厚度方向保持不变材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转1515二二 切应力互等定理切应力互等定理在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，其方向都垂直于两平面交线，或共同指向或共值相等，其方向都垂直于两平面交线，或共同指向或共同背离两平面交线同背离两平面交线注注：切应力互等定理适用于任何平衡问题，而不限于扭：切应力互等定理适用于任何平衡问题，而不限于

8、扭转问题转问题材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转1616三三 切应变切应变 剪切胡克定律剪切胡克定律1 纯剪切：纯剪切：单元体四个侧面只有切应力而无正应力单元体四个侧面只有切应力而无正应力2 切应变切应变 ：切应变：切应变材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转17172 剪切胡克定律剪切胡克定律薄壁圆筒扭转实验薄壁圆筒扭转实验剪切胡克定律剪切胡克定律3 材料弹性常数之间的关系：材料弹性常数之间的关系：G：材料的切变模量：材料的切变模量 单位单位GPa材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转18183.4 圆轴扭转的应力圆轴扭转的应力已知已知：圆轴外力偶矩：圆轴外力偶矩求求：横截面任意点

9、的应力（大：横截面任意点的应力（大小小&方向）方向）分析分析：静力平衡关系为：静力平衡关系为一一 问题描述问题描述一个方程，无穷多未知数一个方程，无穷多未知数超静定问题超静定问题解题思路：解题思路：综合综合静力关系、几何关系静力关系、几何关系以及以及物理关系物理关系三方面求解三方面求解材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转1919二二 圆轴扭转的应力求解圆轴扭转的应力求解1 变形几何关系变形几何关系1）圆周线形状、大小、间距保持不变，仅绕轴旋转一）圆周线形状、大小、间距保持不变，仅绕轴旋转一个角度个角度2）纵向线保持直线，仅倾斜了一个微小角度）纵向线保持直线，仅倾斜了一个微小角度实验

10、观察实验观察材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转2020变形几何关系变形几何关系假设抽象假设抽象圆轴扭转的平面假设圆轴扭转的平面假设扭转变形中，圆轴的横截面像刚性平面一样，绕轴线旋扭转变形中，圆轴的横截面像刚性平面一样，绕轴线旋转了一个角度；且相邻截面间距不变转了一个角度；且相邻截面间距不变力学本质力学本质横截面上只有切应力而无正应力横截面上只有切应力而无正应力扭转角沿长度的变化率扭转角沿长度的变化率变形变形几何几何关系（续）关系（续）圆轴表面圆轴表面由平面假设，圆周由平面假设，圆周内距圆心为内距圆心为 的点的点由平面假定，对由平面假定，对同一截面同一截面为常量为常量在任意横截面，一点切应

11、变均正比于该点到圆心的距离在任意横截面，一点切应变均正比于该点到圆心的距离材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转22222 物理关系物理关系剪切胡克定律剪切胡克定律因此一点切应力同样正比于该点到圆心的距离：因此一点切应力同样正比于该点到圆心的距离：因为因为 发生在与发生在与 垂直的平面内，因此垂直的平面内，因此 需要与需要与 垂直垂直未知，因此未知，因此 仍无法求解仍无法求解材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转23233 静力关系静力关系截面切应力的合力系即为截面的扭矩截面切应力的合力系即为截面的扭矩引入引入联立联立截面任意点（距圆心截面任意点（距圆心 ）切应力）切应力Ip：截面对：截面

12、对O点的极惯性矩点的极惯性矩材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转2424结论结论Wt：抗扭截面系数：抗扭截面系数截面任意点（距圆心截面任意点（距圆心 ）切应力）切应力在横截面外边缘，在横截面外边缘， 取最大值取最大值R或引入或引入材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转25254 截面几何参数公式截面几何参数公式材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转2626三三 圆轴扭转的强度条件圆轴扭转的强度条件注：对阶梯轴，注：对阶梯轴， max未必发生在未必发生在Tmax所在所在的截面上的截面上材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转2727例题（教材例例题（教材例3.2-3.3，p82-83）空

13、心轴的外径空心轴的外径D=90mm，壁厚，壁厚=2.5mm，材料为，材料为45钢，使用时钢，使用时最大扭矩为最大扭矩为T=1.5kNm，材料的，材料的=60MPa，1）试校核轴的扭）试校核轴的扭转强度；转强度；2）若改为实心轴，保持强度相同，试确定其直径，并）若改为实心轴，保持强度相同，试确定其直径，并比较实心轴与空心轴的重量比较实心轴与空心轴的重量解：解：1）计算空心轴的抗扭截面系数）计算空心轴的抗扭截面系数材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转2828例题（续）例题（续）2）令实心轴的直径）令实心轴的直径D2，使空心轴和实心轴强度相同，使空心轴和实心轴强度相同轴的最大切应力为轴的最大切应

14、力为故空心轴满足强度要求故空心轴满足强度要求代入数值后求得代入数值后求得材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转2929例题（续）例题（续）实心轴与空心轴的重量之比为：实心轴与空心轴的重量之比为：材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转3030练习：画圆轴截面切应力分布练习：画圆轴截面切应力分布材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转3131练习（续）练习（续）材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转32323.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 单位长度扭转角，单位长度扭转角，单位长度的两截面相对转角单位长度的两截面相对转角单位为单位为rad/m一一 圆轴扭转的刚度条件圆轴扭转的刚度条件G

15、Ip称为圆轴的抗扭刚度称为圆轴的抗扭刚度材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转3333刚度条件刚度条件工程上工程上 的单位通常为的单位通常为/m， 圆轴扭转的刚度条件圆轴扭转的刚度条件材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转3434二二 圆轴扭转的变形圆轴扭转的变形 的单位为的单位为rad等截面等内力轴：等截面等内力轴：分段轴：分段轴：计算计算 ，T须代入正负号须代入正负号材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转3535三三 圆轴扭转的强度和刚度设计圆轴扭转的强度和刚度设计2 刚度条件刚度条件1 强度条件强度条件或或或或材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转3636例题例题已知已知n=30

16、0r/min，PA=48kW, PB=18kW, PC=PD=15kW, G=80GPa，=40MPa， =0.85/m，求设计轴的，求设计轴的直径直径d。解：解：1）计算外力偶矩）计算外力偶矩代入数值代入数值材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转3737例题（续）例题（续）2）画扭矩图，确定危险截面）画扭矩图，确定危险截面AC段为危险截面段为危险截面材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转3838例题（续）例题（续）3）设计直径。按强度设计）设计直径。按强度设计故故按刚度设计按刚度设计材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转39393.7非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念一一 翘曲：

17、翘曲：非圆截面杆扭转后横截面不再保持为平面非圆截面杆扭转后横截面不再保持为平面的现象的现象材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转4040矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转二二 矩形截面的应力分布矩形截面的应力分布横截面上角点处，切应力为零；横截面上角点处，切应力为零；横截面边缘各点处，切应力平行横截面边缘各点处，切应力平行于截面周边；于截面周边；横截面周边长边中点处，切应力横截面周边长边中点处，切应力最大最大max1max2;tTTWhb三三 矩形截面轴的变形矩形截面轴的变形3tTlTlG hbGI材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转4141圆轴扭转习题课圆轴扭转习题课习题一习题一计算总扭

18、转角，并建立安全工作的强度和刚度条件，计算总扭转角，并建立安全工作的强度和刚度条件，设许用应力和单位长度扭转角分别为设许用应力和单位长度扭转角分别为和和 ，轴外径，轴外径D，内径，内径d。解：解：1）画扭矩图）画扭矩图AB段和段和CD段段均为危险截面均为危险截面材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转4242习题一（续）习题一（续）2）计算总扭转角）计算总扭转角3）强度条件）强度条件材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转4343习题一（续）习题一（续）4）刚度条件）刚度条件扭矩最大的截面未必是危险截面扭矩最大的截面未必是危险截面截面几何尺寸同样需考虑！截面几何尺寸同样需考虑！材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转4444习题二习题二: 训练册训练册p103，第二，第二2题题解：解：1）计算外力偶矩）计算外力偶矩2）求扭矩）求扭矩,做扭矩图做扭矩图AD、DB为为危险截面危险截面材料力学材料力学 第三章第三章 扭转扭转4545习题二习题二3）计算最大切应力：）计算最大切应力：AD：BD：分析可知最大切应力发生在分析可知最大切应力发生在AD段，故：段，故：材料力学材料力学 第三章第三章 扭