试论高中数学解题课的教学

1、试论高中数学解题课的教学（一）名师视点1 对于解题课教学有关概念的把握1.1数学家对数学“问题”及其解决的论述美国当代数学家哈尔莫斯详细阐述了问题对数学的重要性：“数学家存在的理由，就是解决问题因此，数学的真正组成部分是问题和解”“数学的产生及发展都是为了回答人们提出问题的需要，是问题的不断提出与解决在向数学输送着新鲜的血液，促进着数学的生长与发育，所以说，问题是数学的心脏”数学家波利亚长期致力于“怎样解题”的研究，他指出：“掌握数学就是意味着善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且要善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题”法国著名数学家阿达玛在其名著数学领域中的发明心理学把

2、学生的解题过程与数学家的发明创造相提并论：“一个学生解决某一代数或几何问题的过程与数学家做出发现或创造的过程具有相同的性质，至多只有程度上的差异”1.2数学问题的意义数学问题是指数学上要求回答或解释的题目，需要研究或解决的矛盾，是为实现教学目标而要求师生解答的问题系统一个完整的数学题包含条件、结论、解题方法三个要素从具体范围看，数学问题可以是一个待求解的答案、一个待证明的结论、一个待求作的图形、一个待判断的命题、一个待建立的概念、一个待解决的实际问题、一个待寻求的问题解法等形式；从教学场景看，数学问题有课堂上的提问、范例、练习和所解决的概念、定理、公式，有学生的课外作业和测验试题，有师生共同进

3、行的研究性课题等；从问题要素看，可分为标准性题（三个要素都已知）、训练性题（三个要素中有一个未知）、探索性题（三个要素中有两个未知）传统意义上的数学问题具有接受性、封闭性和确定性的特征其内容是熟知的，学生通过对教材的模仿操作性练习，就能较好地完成；其结构是常规的，答案基本确定、条件不多不少，可以按照现成的公式或常规的思路获得解决主要目的在于巩固和变式训练，题目的挑战性不是很强现代意义上的数学问题具有灵活性、应用性和探究性等特征包含数学情景题、数学应用题、数学开放题、数学探究题等崭新形式它们拉近了数学与实际、数学与自然、数学与其它学科的距离，正在改变着传统解题教学的环境、格局和意义1.3数学解题

4、的认识解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题就是找出题的解的活动教学中的解题是一个再创造或再发现的过程，是数学学习的核心内容解题是真正发生数学教育的关键环节，尚未出现解题的数学学习总给人一种尚未深入到实质或尚未进入到高潮的感觉解题是掌握数学并学会“数学地思维”的基本途径概念的掌握、技能的熟练、定理的理解、能力的培养、素质的提高等都离不开解题实践活动解题也是评价学生认知水平的重要手段和方式尽管不能认为是惟一的方式，也是当前用得最多、操作最方便、公众认可度最高的一种方式可以说解题贯穿了认知主体的整个学习生活乃至整个生命历程解题教学的基本含义是，通过典型数

5、学题的学习，去探究数学问题解决的基本规律，学会像数学家那样“数学地思维”对高中数学教学中的解题课而言，不仅要把“题”作为研究的对象，把“解”作为研究的目标，而且要把“题解”也作为对象，把开发智力、促进“人的发展”作为目标传统意义上的解题，比较注重结果，强调答案的确定性，偏爱形式化的题目而现代意义上的“问题解决”，则更注重解决问题的过程、策略以及思维的方法，更注重解决问题过程中情感、态度、价值观的培养作为数学教育口号的“问题解决”，对问题的障碍性和探究性提出了较高的要求波利亚在数学的发现中将问题理解为“有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的解决问题就是寻找这

6、种活动”第六届国际数学教育大会报告指出：“一个(数学)问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境”这类题目可以称为“问题”“问题解决”是数学学科的一个永恒的课题从信息论的观点探讨解题的思维过程数学解题有形象思维、直觉思维和逻辑思维的综合作用数学解题的过程是两个维度上相关信息的有效组合，即从理解题意中捕捉有用的信息，从记忆网络中提取有关的信息，并把这两组信息组成一个和谐的逻辑结构数学解题的思维过程是“有用捕捉”、“有关提取”、“有效组合”三位一体的工作有用捕捉，即通过观察从理解题意中捕捉有用的信息，主要是弄清条件是什么?结论是什么?各有几个?如何建立条件与结论

7、之间的逻辑联系?有关提取即在“有用捕捉”的刺激下，通过联想而从解题者头脑中提取出解题依据与解题方法良好的认知构结和机智的策略选择是连续提取、不断捕捉的基础有效组合即将上述两组信息资源，加工配置成一个和谐的逻辑结构逻辑思维能力是有效组合的基础1.4高中学生的心理和认知发展规律高中学生处于青少年中期，是个体身心发展的剧变期青少年的可能性思维使他们能运用假设检验去解决问题，提高了问题解决的速度和效率，能够有计划和预见地解决问题，思维和推理更具抽象性、预测性和灵活性高中生的思维中虽然仍有形象思维的成分，但抽象逻辑思维已经占主导地位除把具体情景和环境作为思维对象外，还开始实际思考自己和他人的思维，把抽象

8、的思想意识作为思维对象高中生的元认知能力大大增强，能够更好地监控自己的思维活动他们运用更多的时间反思自己将要解决问题的思想观念和表象，具有了自我反省能力他们的元记忆知识更加丰富，元理解能力已经发展到一个较高水平根据高中学生的心理和认知发展规律可以看出，高中生已经能够承担较为复杂的学习任务，有能力参与高中数学解题课的教学，并顺利完成相应的教学任务中学数学解题方法是数学方法论、学习论、思维论研究的重要组成部分数学解题课具有教学功能、思想教育功能、发展功能和反馈功能数学解题课的教学，可使学生加深对基本概念的理解，从而使概念完整化、具体化，牢固掌握所学知识系统，逐步形成完善合理的认知结构数学解题课的教

9、学，达到知识的应用，有利于启发学生学习的积极性它是采用一段原理去解释具体的同类事物，由抽象到具体的过程数学解题课的教学，也是一种独立的创造性活动数学问题所提供的问题情境，需要探索思维和整体思维，也需要发散思维和收敛思维因而可培养学生的观察、归纳、类比、直觉、抽象等合情推理以及寻找论证方法等演绎推理能力，准确、简要、清晰地表述以及判断、决策等一系列数学素养和能力，给学生以施展才华、发展智慧的机会数学解题课是高中数学重要的基本课型之一2 高中数学解题课的教学要求2.1课程标准对数学解题课的基本要求高中教育首先是人生发展的一个重要阶段，是学生生活的一部分，而不是服务于某一个既定目标的工具高中阶段的任

10、务应超越“单一任务”和“双重任务”这种教育工具化的倾向，实现从精英教育到大众教育的转变定位于奠定高中生进一步学习的基础学力，养成其人生规划能力，培养公民基本素养并形成健全人格上数学课程标准指出：“数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界”数学课程标准在界定高中数学课程性质时指出：“高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人文社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具

11、有基础性的作用”数学课程标准关于高中数学课程性质中专门对数学的应用提出要求：“高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力”数学课程标准在“建立合理、科学的评价体系”中提出，要“关注对学生数学地提出、分析、解决问题等过程的评价，以及在过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识和探索的精神”2.2数学解题课的教学目标高中数学解题课的目标是：在数学方法论、学习论、思维论、多元智能、建构主义等教育理论指导下，培养学生形成“提出问题分析问题解决问题反思问题”的良好习惯和品质，形成理性思维，发展智力和创新能力培养学生实事求是的态度、锲而不舍的精神，学会用数学的

12、思考方式解决问题、认识世界培养学生在数学解题过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识和探索的精神，全面提高学生的综合素质倡导积极主动，创新学习方式；经历思维过程，培养数学素养；开展数学建模，培养应用意识；强调返璞归真，揭示发展规律；体验数学美感，强化文化价值解题课的教学应突出三个方面：一是使学生准确、灵活地掌握数学知识，扩大知识的联系；二是使学生形成分析和求解数学问题的思路和方法；三是发展学生的思维能力数学解题教学的根本任务是发展学生的思维潜能，促进学生整体素质的提高，通过素质的全面提高反过来带动学业成绩的提高2.3数学解题课的特点该课型应体现学生的学习活动是在“解决问题中学习”，也就

13、是把已经掌握的基本概念，基本公式、法则、定理，迁移到不同情境下加以应用，找出解决问题的方法解题课的教学过程应着力展现解题思维的全过程，充分发掘数学教材中没有具体表述的能力、智力的教育因素，注意对解题策略、思维方法、解题技巧等进行分类、归纳、评价根据数学问题的难度、学生的知识基础及思维能力水平，铺设合适的梯度，设计好同类知识的训练题组解题课的教学，应让师生共同交流解题思维的全过程，引导学生自己动脑、动手、动口，积极参与解题教学活动；引导学生自我评价、优化解题思路，改进解题策略，从而寻求最优的解题方法解题活动以思维的“动”为最大特点要提高数学解题能力，就必须拓展学生自由思维和联想的空间，让思维“动

14、”起来在传统的数学解题课教学中，课堂由老师支配，对课堂问题的思考、回答和讨论都是教师预设的，学生的一切活动都依赖于老师学生不敢也不愿意突破固有的框架，学生的个性受到压抑，主体性得不到发挥，思维得不到发展新课程理念要求教师的课堂以学生为主体，创设民主、和谐、宽松、自由的课堂环境，调动一切因素和状态，拓展学生思维活动空间使学生主动地参与教学在这样的环境里，师生平等，学生消除了胆怯和依赖心理，他们可以无拘无束地表现自己，表达自己对问题的想法和认识学生的积极参与和质疑扩大了生生之间的信息交流与师生之间的信息反馈，有利于新思想、新方法的展示，也有利于问题的发现这样，教师才能沿着学生的思想轨迹，综合学生反

15、映出来的各种问题因势利导，澄清疑点，纠正错误，优化思想品质2.4数学解题的规范解题是深化知识、发展智力、提高能力的重要手段规范的解题能够养成良好的学习习惯，提高思维水平在学习过程中做一定量的练习题是必要的，但并非越多越好，题海战术只能加重学生的负担，弱化解题的作用要克服题海战术，强化解题的作用，就必须加强解题的规范做到审题规范、表达规范、答案规范审题规范是正确解题的关键审题是对题目进行分析、综合、寻求解题思路和方法的过程，包括明确条件与目标、分析条件与目标的联系、确定解题思路与方法三部分明确条件与目标，一是找出题目中明确告诉的已知条件，发现题目的隐含条件并加以揭示，二是明确要求什么或要证明什么

16、，把复杂目标转化为简单目标；把抽象目标转化为具体目标一个题目的条件与目标之间存在着一系列必然的联系，这些联系是由条件通向目标的桥梁数学解题就是根据这些联系所遵循的数学原理确定解题思路数学解题的实质就是分析这些联系与哪个数学原理相匹配有些题目，这种联系十分隐蔽，必须经过认真分析才能加以揭示；有些题目的匹配关系有多种，而这正是一个问题有多种解法的原因叙述规范是数学解题的重要环节语言（包括数学语言）叙述是表达解题程式的过程，规范的语言叙述应步骤清楚、正确、完整、详略得当、言必有据数学本身有一套规范的语言系统，切不可随意杜撰数学符号和数学术语，让人不知所云怎样把数学的解答严谨地叙述出来是一件不容易做到

17、的事，这有着较高的能力要求总的说来，叙述要正确、合理、严密、简捷和清楚把运算、推理、作图与所得的结果无误地加以叙述，是解题的一项基本要求对列式、计算、推理、作图都要有充分的理由，遵循严格的思维规律，做到言必有据，理由充足，合乎逻辑性要周密地考虑问题中的全部内容，不能遗漏，也不能重复任何数学问题的解答都有一定的格式要求，无论哪种格式，叙述都应层次分明，条理清楚，表述规范这里包含书写时要力求字迹清楚，作图正确，疏密适度，行款得体所有这些能力的培养有一个渐进的过程在不同的学习阶段，应提出不同的要求，教师在解题课教学过程中要作出示范，使学生学有榜样，逐步培养严谨的表达能力答案规范是数学解题的成果体现答

18、案规范是指答案准确、简洁、全面，既注意结果的验证、取舍，又要注意答案的完整要做到答案规范，就必须审清题目的目标，按目标作答在数学解题课上，常常是先把问题转化成一般数学问题，再把一般数学转化为规范数学问题，最后的答案必须进一步转化到原有问题中去，并考虑到原有问题对解的各种限制和要求2.5数学解题课教学的基本要求培养学生的问题意识解题活动不仅指解决问题的过程，更重要的是指提出问题的过程，解决问题最困难的部分之一是提出正确的问题问起于题，疑源于思数学学习过程是一个复杂的思维过程，也是一个不断地“生题质疑释疑”的过程大胆怀疑，是数学创造活动的特征质疑，表现了一种求知欲，包含着智慧的火花；质疑，是一种探

19、索精神，孕育着创造要逐步培养学生敢于提出问题，勇于提出问题，善于提出问题的问题意识合情推理与问题解决数学既是严谨的演绎科学,又是实验性的归纳科学数学的发生、发展过程是观察、实验、归纳、类比、猜想等合情推理与判断、证明等演绎推理的交织互动数学问题的分析过程就是一种数学发现，观察、联想、类比、猜想、归纳、概括等合情推理是数学问题分析过程的主要形式在数学问题解决教学过程中，引导学生通过经历可信的、自然的、有一定弯拐歧路的知识生长过程，模拟数学家研究数学的过程从合情推理发现数学命题及其证明思路，再由演绎推理证明命题的真伪，正是人们发现、发明、创造的一般程序数学探索、研究中艰难坎坷的体验和成功的喜悦，是

20、人生十分珍贵的经历只要引导学生勤于思考，他们在日常的阅读中，在听讲中，在解题中，总会有所思考，有所猜想，有所发现这日常中的点滴发现，与重大的数学发现之间，并没有不可逾越的鸿沟多元智能与问题解决数学问题的解决依赖于逻辑/数学智能，又是空间智能、语言智能、自我认识智能、人际交往智能等综合作用的过程数学解题课中要充分考虑多元智能在问题解决中的重要作用，分析不同个性特征对“问题解决”的影响，发展学生的数学心智一般解题方法的教学学习借鉴波利亚怎样解题表，逐步培养学生养成“理解题意拟定方案执行方案反思回顾”的科学、规范的一般解题过程了解波利亚的数学启发法与数学解题的常用模式及其在数学解题教学中的意义从认知

21、心理学与数学教育学的角度认识数学基础知识、基本技能与数学解题的关系，认识知识的合理组织、调控、信念在分析与解决问题中的意义，将数学解题与思维培养紧密结合起来要熟悉数学解题的常用策略和方法，理解数学解题策略在数学解题及生活中的意义熟悉数学解题的一般方法与技巧重视学生的发散思维思维是人脑反映事物的一般特性和事物之间规律性的联系，以已有知识为中介进行推断和解决问题的过程任一思维现象均是多种思维形态的综合根据思维所承担的任务不同，而对于某种思维形态有所侧重发散思维是指在思维过程中信息向各种可能的方向扩散，不局限于既定的模式，从不同的角度寻找解决问题的各种途径具体地说，就是依据定理、公式和已知条件，产生

22、多种想法，广开思路，提出新的设想，发现和解决新的问题发散思维富于联想，思路宽阔，善于分解、组合、引申、推广，灵活采用各种变通方法，在数学教学中，可以培养学习兴趣，提高解题能力在解题课教学中，对于数学问题的讲解，要结合对方法的思考及方法的选择过程，应注意“抛砖引玉”，决不“能越俎代庖”要引导学生“察言观色”，广泛地开展联想，寻找解决问题的多种途径学会举一反三，重视学生发散思维的培养重视解题的基本理念无论解决什么问题，我们都不忘从“知识方法观念”的角度去审视题目，做到让学生心里有数，做到知识熟、方法活、观念有基本知识熟就是熟悉知识的等价表述，熟悉知识的有关范例，做到“一道题就是一个观点，就是一种方

23、法”；基本方法活就是活用“基本的逻辑证法、数形结合法、待定系数法与估算法”，做到用“有限去把握无限”；基本观念有则要求学生心中要有“一与多”、“有限与无限”、“数与形”、“整体与部分”等观念重视学生的反思能力在数学解题课教学中，要引导学生摆脱“题海战术”，提高数学素质，培养数学能力使学生学会“反思”做完一道题后，要再问几个为什么，并从中获得对下次解题有用的经验和教训搞清楚“为什么”，才能在以后的解题中知道“做什么”和“如何做”一道数学题，经过一番艰辛与苦思冥想解出答案后，我们应认真进行如下探索：命题的意图是什么；考核哪些方面的知识和能力；验证解题结论是否合理，命题所提供条件的应用是否完备；求解

24、论证过程是否判断有据，严密完善；本题有无其他解法；众多解法哪一种最简捷；把本题的解法和结论进一步推广，能否得到普遍性结论，解此题的思路方法是什么等反思的目的在于深化对知识的理解，促进知识结构的不断分解组合，使思维有一个正确可靠的基础长期进行反思，还可培养学生对试题的鉴赏能力，对那些知识容量大，各知识间结构联系巧妙的试题产生美感，引起兴趣2.6精心设计数学解题课的问题解题课的问题要处于学生的“最近发展区”学生的认知系统和教师的认知系统是不一样的，教师在进行问题设计时，必须根据学生的“最近发展区”进行设计学生的发展必须在现有的基础上发展，而学生课堂上的认知系统，就是他们以后逐步提高的“最近发展区”

25、要想使设计出的问题能达到预设目的，使学生根据问题进行讨论和学习，教师必须能够设计出切入到学生的认知系统的问题反之，武断地根据教师自己的认知系统设计，只能使学生产生厌倦和畏难情绪，常有教师抱怨说“在课堂上无论怎样引导，学生总是启而不发”，其实关键是没有找出学生的“最近发展区”如果问题处于学生的“最近知识区”，在老师的引导下，他们会很快解决这个问题，并能够获得独立完成思考的能力和成就感解题课问题的设计要多功能化数学问题应使学生加深对基本概念的理解，从而使概念完整化、具体化，牢固掌握所学知识系统，逐步形成和完善合理的认识结构体现其教学功能、发展功能、检查功能和思想教育功能解题课问题的选择要有针对性问

26、题要针对教学目标、针对知识点、针对学生的学习现状问题选择要注意可行性，不宜过易也不宜过难问题选择要有典型性，要克服贪多、贪全，既要注意到对知识点的覆盖面，又要能通过训练让学生掌握规律，达到“以一当十”的目的要注意对课本例题的挖掘，课本例题均是经过专家多次筛选后精品，教师要精心设计和挖掘课本例题，编制一题多解、一题多变、一题多用的例题，提高学生灵活运用知识的能力解题课的问题要有很强的探索性一个问题的好坏，不在于它一定有多大的实用价值，而在于在该问题实施的过程中是否具有探索性，能否让学生更深入挖掘问题深处的内涵，能否对问题进行重新思考，从而能够提出新的问题，通过恰当的探索，学生会对解题课理解的更加

27、深刻学生的“最近发展区”就有新的提高解题课的问题要有层次性设计问题时必须明确肯定学生认识活动的个体特殊性，这种特殊性不仅表现在已有知识的差别，也表现在学习的动机等方面设计问题可包含各种小问题，形成问题链，以适合各层次学生的需要浅层次的记忆性问题供单纯的机械模仿，较深层次的问题用来掌握和巩固新知识，高层次的问题用来引导学生知识的迁移和应用既要创设舞台让优等生表演，发展其个性，又要重视给后进生提供参与的机会，使其获得成功的喜悦题目安排可从易到难，形成梯度，虽然起点低，但最后要求较高，符合学生的认知规律，使全体同学都能得到不同程度的提高3 高中数学解题课的教学现状数学解题课是高中数学教师和学生普遍重

28、视的一种课型，在整个高中数学教学中占有非常大的比重但目前此课型的教学中还存在不少问题3.1“题海战术”式的解题课，不能适应时代的要求高中数学解题课无论从掌握知识、技能、方法方面，还是让学生经历学习过程，探索解题规律，培养和提高学生素质方面，都需要一定量的练习，甚至也需要一定的重复但这要符合学生认知规律和学生实际如果无原则的重复，就使学生整日处于题海之中“题海战术”是目前高中数学解题课的教学中最常见形式主要表现为，解题教学方法单一，唯一的训练方式就是教给学生解答一定类型习题的固定方法，并按照所掌握的方法做大量重复、费时、费力的练习在这样的解题课上，往往用现成的观点说明现成的例子，或用现成的例子说

29、明现成的观点长期徘徊在一招一式的归类上，缺少理论上的提高和实质性的突破有时候，只是解题方法的简单堆积或解题技巧的神秘再现，“怎样解”讲的多，“为什么这样解”讲得少甚至不讲解题课的教学多停留在操作层面，未能深入到心理层面“题海战术”的直接后果是许多学生一遇到形式不熟，或少见的习题就茫无所措，不知如何解答近几年高考中出现了一些背景新颖、能力要求高、内在联系密切、思维方法灵活的问题，充分体现了新课程理念，注重知识的形成过程，关注学生获取知识的过程，考查学生创新精神和实践能力这些数学问题靠“题海战术”是解决不了的教学应该以“教学生学会学”为目标，注重学生解题能力的培养，这也是学生可持续发展的需要如果学

30、生掌握了一套科学的解题方法，具备了这方面的能力，那将来在整个学习过程中将会如鱼得水这就要求教师在整个教学过程中，从设计到实施，都要以学生的认知规律为基础，认真分析每一道题的特征，引导学生面对新问题时，如何去思考、去分析，把数学方式方法的教学溶入到整个课堂中来，注重学生解题能力的培养3.2挤牙膏式的“启发”，不能提高学生的能力有些高中数学解题课是这样进行的：教师在备课时做了大量的准备工作，教学过程的每一个细节都经过精心考虑在教学过程中，老师总是一点一滴地“启发”学生：看到这个条件，能想到什么结论？要证明这个结论，需要什么条件？他们“引君入瓮”般使学生得到问题的解答，整节课似乎非常流畅、丝丝入扣，

31、这可以形象地称之为挤牙膏式的“启发”这种在当前解题课教学中习以为常的挤牙膏式“启发”的现象，是高中数学解题教学的最大误区因为它们并不能真正培养学生的思维，这样的教学并没有让学生整体地面对问题、整体地思考问题、独立地探究问题，对培养学生的思维没有实质帮助老师启发过后，学生往往听的很有道理，也很明白，但仍然写不出这个题的解答过程，更谈不上掌握解题方法长此以往，学生探求知识的热情也会被扼杀，学生的创造性思维培养就更流于空谈这样的教学不利于学生的终身发展，也不能提高学生的能力3.3学生习惯于动手，不习惯于思维在当前高中数学解题课教学中，经常看到这样的现象：教师想方设法找到各种各样的教学资料，进行仔细的

32、梳理，试图把所有的问题都归结为一种一种的类型，然后非常详尽地把每一种类型题目所对应的解题方法传授给学生，让学生记住这些解题方法并“对号入座”地解题在这样的解题课上，学生只是满足于用某种方法求得问题的解答，习惯于套题型解决遇到的问题习惯于做大量的习题，很少静下心对习题做进一步的思考和研究，甚至未能对所获得结果的正确性、完整性、规范性作出必要的检验或证明在“提出问题分析问题解决问题反思问题”的问题链中，只注重“解决问题”这个环节，没有“提出问题”和“反思问题”的意识和环节，对“分析问题”这个环节用时用力也是少之又少对解决问题的“理解题意拟定方案执行方案反思回顾”四个环节，也是重“执行方案”，轻视甚

33、至舍弃反思问题、理解题意和拟定方案这三个思维训练的重要环节，表现为一种“砍头、去尾、烧中段”的急功近利的解题方式和问题意识关于“问题解决”的现代研究表明：过分强调问题的归类，特别是按照问题的具体内容来进行分类，并要求学生机械地去记住和模仿相应的解题方法，对于提高学生解题的能力是很不利的与此相反，我们应当更加注意问题内在数学结构的分析，努力帮助学生掌握数学的思维方法与片面强调“问题算法”的传统做法相比，思想方法的分析和训练是更为重要的3.4供案不讲，忽视生生、师生交流互动有些高中数学解题课采取“学案”方式，上课或课前发给学生学案，学生一味地做题，教师只是在上课结束时，提供答案不讲道理或者就题论题

34、草草了事这种供案不讲同样不利于学生素质的提高笔者认为，高中数学解题课的教学，应重视必要的复习和解题规范，重视当堂反馈与评价，重视课堂互动通过小组轮流展示、小组代表发言、上台演练、其他组点评等方式加强生生、师生交流，复习相关知识，规范解题格式步骤课堂反馈评价可采取小组互评、打分、计算小组平均分等方式进行一堂解题课往往安排在几个知识点后甚至一章内容之后，知识点较多，因而必须适当整理，使学生对已学知识进行再认识，进一步从数学方法论的高度认识知识的本质和内在联系，从而使所学的知识融会贯通，运用自如通过平时的作业批改或学生辅导，教师了解哪些知识学生掌握得不够，解题课时可以回顾这些概念形成的过程，通过变式

35、设问来加深对概念的理解，使学生思维由浅入深，培养学生准确概括的思维能力3.5 正确处理讲与练的关系在传统的高中数学解题课上，往往是教师先讲例题，学生再做对应例题的练习题，先讲后练课堂上学生的思维被禁锢在教室设置的圈套中，形成僵化的思维方式笔者认为，处理好讲与练的关系是至关重要的应提倡让学生做数学，在做中学，在讲之前作适当的练习，坚持“先练后讲”让学生在不断的探索中提高能力，而不只是看数学、听数学只有在老师讲解之前学生已经深入地钻研了问题，他才能有“资本”与老师和同学进行平等的对话、交流，真正成为学习的主体只要练在讲之前，老师讲的过程中，学生必然在心里把自己的想法和老师的想法进行对比、评价何况，

36、我们还有小组讨论、组间答辩、师生相互质疑等多种“讲”的形式能使师生、生生之间更好地进行交往数学解题课中，老师要“讲到关键处”，要高屋建瓴富有新意讲习题的内在规律，知识的纵横联系，纠正错误概念正本清源；讲那些容易阻塞思路、易设陷阱、诱人上当的地方；帮助学生把不易被察觉、隐藏在问题中的潜在条件或成果挖掘出来；要随时向学生渗透重要的数学思想方法，使之逐步形成观念3.6学情分析是最不容忽视的教学因素在高中数学解题课教学中，还存在一种严重忽视学情分析和学法指导的现象教师备课时不详细了解学生具体情况，对学生的基础与能力估计过高或过低，没有仔细思考和认真研究分析，没有联系学生实际，只是凭空想象按照自己的思路

37、、想法备课，忽略了备学生的知识和能力水平老师讲课时，往往是老师主动地讲，学生被动地听，老师把所有的步骤、思路都讲出来了，其实学生根本不知道为什么要这样想、为什么会想到这方面去，学生所谓的“听懂”最多只是老师具体的解法，而不是抽象的解法课堂教与学生实际严重脱节，学生不能主动地参与教学活动，当然谈不上运用知识解题了教师在教学中要引导学生像蜜蜂“采蜜式”的学习，博采百家之花而酿一己之蜜，经过消化咀嚼，使知识积少成多同时注重培养学生学习数学的兴趣，当他们拨开重重迷云，“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，寻得解题方法时，便会产生极大的成就感让学生充分感受学科求知的无穷乐趣教师要用学科的内在魅力去打动学生

38、这种内在魅力很大程度上就是学生学习数学的成功体验学生学习数学最兴奋的时候就是他们通过苦思冥想终于找到了解决问题的办法的时候 4 如何实施高中数学解题课的教学4.1掌握高中数学思想方法，练好解题基本功数学思想方法是开启数学知识宝库的金钥匙，是用之不竭的数学发现的源泉，是数学知识的本质，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针数学思想方法比数学知识具有更大的统摄性和包容性，它们犹如网络，将全部数学知识有机地编织在一起，形成环环相扣的相关系统引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是使学生提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的重要保证高中数学思想主

39、要有：数形结合、分类讨论、化归与转化、函数与方程等思想高中数学方法包括：创立学科功能的方法，数学思维规律的方法，解答数学题的方法创立学科功能的方法主要有公理化方法、模型化方法、结构化方法，以及集合论方法、极限方法、坐标法、向量法等这些方法在具体解题中，具有统帅全局的作用数学思维规律的方法主要有观察、试验、比较、分类、猜想、类比、联想、归纳、演绎、分析、综合等这些数学方法在具体解题中，有通理通法、适应面广的特征，常用于解题思路的探求解答数学题的方法，根据其适应面分为两个层次第一层次是适应面较广的求解方法，如消元法、换元法、降次法、待定系数法、反证法、同一法、数学归纳法、及递推法、坐标法、三角法、

40、数形结合法、构造法、配方法等；第二层次是适应面较窄的求解技巧，如因式分解中的裂项法，函数作图中的描点法，三角函数作图中的五点法，几何证明中的补形法，数列求和中的裂差消项求和法、倒序相加法、错位相减法等在解题教学中渗透数学思想方法，教师要深挖教材，不仅要备好表层知识，而且要根据教材内容和学生情况，备好数学思想方法；把数学思想方法列入教学目标之中学生数学思想方法的的形成需要经历从模糊到清楚，从理解到应用的较长发展过程课堂教学中数学思想方法的目标设立应该具有从简单到复杂、从浅层到深层渐增的层次性由于数学思想方法是基于数学知识又高于数学知识的一种隐性的数学知识，要在反复的体验和实践中才能逐渐认识、理解

41、，内化为个体认知结构中对数学学习和问题解决有着生长点和开放面的稳定成份4.2用解题策略打开解题思维的大门数学解题策略是为了实现解题目标而采取的方针其基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等解题策略的思维基础是逻辑思维、形象思维、直觉思维的共同作用它介于具体的求解方法与抽象的解题思想之间，是思想转化为操作的桥梁作为方法，一方面它是用来具体指导解题的方法，另一方面它又是运用、寻找、创造解题方法的方法解题策略是最高层次的解题方法学生解题

42、的差异最主要的不是基础知识的差异，而是解题思维策略的差异教学中教师应将一些有效的思维策略提炼出来，外显出来，有意识地教给学生进行解题策略的教学应坚持循序渐进的原则，走“渗透领悟初步应用巩固深化”之路，让学生在解题实践中逐步掌握多种策略，最终达到能应用策略指导解题的目的4.3一般解题方法的教学美籍匈牙利数学家、数学教育家波利亚是数学启发法研究的先驱对于数学解题思维过程，波利亚发明了怎样解题表，提出了“弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾”四个思维阶段，描绘出了解题理论的总体轮廓，组成了完整的解题教学系统既体现常识性，又体现由常识性上升为普遍性的解题理论的努力第一阶段：弄清问题弄清问题是认识问题、并

43、对问题进行表征的过程，是成功解决问题的必要前提要求学生对题目的条件和结论有一个全面的认识，掌握题目的数形特征有时还需对条件或结论进行转换题中给出的条件不明显或有隐含条件时，要引导学生去发现，为探索解法指明方向弄清问题有两个层次第一层次，通过“未知量是什么？”了解问题的要求或要达到的目标；通过“已知数据是什么？条件是什么？”明确问题的出发点和已知条件；通过“满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？”初步分析条件和结论之间的关系，在自己的知识结构中，寻找有用的解题方面的信息第二层次就是通过“画一张图，引入适当的符号”及“将条件的各部分分开你能否把

44、它们写下来？”指导我们通过画图、列表转化条件通过引入符号实现文字语言、图形语言和数学语言的转化与细化，为后两个环节打好基础弄清题意这个环节是学生解题不太重视的，有的学生认为在这个环节上浪费时间不值得，题意没看清就仓促进入第二环节，结果是欲速则不达，不得不调回头来重新审题，反而在弄清题意这个环节上花费更多的时间和精力，甚至影响到问题解决的顺利进行第二阶段：拟定计划这是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程有目的地进行各种组合的试验，尽可能将问题化为已知类型，选择最优解法和解题方案，经检验后作修正，最后确定解题计划“拟订计划”这个环节有三个层次，第一层次

45、是试图通过类比、对比和化归直接找出已知数与未知数之间的联系通过“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题”搜寻我们熟悉的问题模式；通过“这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它，你是否应该引入某些辅助元素？”设法利用我们搜寻到的问题模式的条件、结论和问题解决的方法第二层次是对问题的再理解和再认识通过“你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？”从不同侧面进一步理解题意，有时也通过

46、“回到定义去”把问题的理解回归到有关定义上去，因为定义是概念的根本属性的解读第三层次是如果找不出直接联系，我们可能需要考虑辅助问题，对题目进行更深入的分析通过“如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？”进一步研究问题的内涵与外延；通过“你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数

47、据彼此更接近？”先从局部入手或先解决问题的局部，再把战果扩大到整个题目通过“你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？”从条件对结论的充要性方面进行探索最终得出一个求解的计划数学问题中已知条件和结论之间有内在的逻辑联系和必然的因果关系在探索阶段，有时学生尚不会独自分析，需要教师的辅导但切勿匆匆忙把想好的解题思路和盘托出或把拟好的解法过程在黑板上书写一番，更不能让学生死记硬背解法步骤，以记忆代替思考而应分析关键环节，激活学生的思维让学生明白怎样解题，为什么这样解，为什么想到这样解，以促进学生的思维活动进一步发展第三阶段：实现计划它包含着一系列基础

48、知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分将计划的所有细节实际地付诸实现，通过与已知条件所选择的根据作对比后修正计划，然后着手叙述解答过程的方法，并且书写解答与结果“实现计划”是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，通过“实现你的求解计划，检验每一步骤你能否清楚地看出这一步骤是否正确的？你能否证明这一步骤是正确的？”表述解题过程，保证合乎逻辑顺序、层次分明、严谨规范、简洁明了教师对教学进程每个阶段的解题要求应通过板书示范，逐渐让学生熟悉，并养成习惯实现数学语言、符号准确，说理清楚明白，书写整洁有序第四阶段：反思回顾是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过

49、程的结束，又是另一个新的思维活动过程的开始与前三个阶段相比，“回顾”是最容易被忽视的，在解题以后，回头对解题活动加以反思、探讨、分析与研究是非常重要的环节通过“你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出来？你能不能把这个结果或方法用于其它的问题？”对整个解题过程（包括“弄清题意”）和最终结果进行回顾和反思这样会对题目有更全面、更深刻的理解既可以检验解题结果是否正确、全面，推理过程是否无误、简捷，还可以揭示数学题目之间规律性的联系，发挥例题、习题的“迁移”功能，收到“解一题会一片”的效果，有时甚至还会得到更完美的解答方案这个解题系统集解题程序、解题基础、解题策略、解题方

50、法等于一身，融理论与实践于一体解题教学的上述四个环节，也不是截然分开的顺序环节，在这个解题的思维反馈网络中，每一步与前面的步骤以及每一步骤中间都可能产生必要的反馈，这是解题思维活动的核心特别是面对较为复杂的题目，不要机械地按照以上步骤进行，而是需要在这几步之间反复交叉进行必要的思维反馈4.4高中数学解题课的基本教学模式高中数学解题课是以巩固知识、训练技能技巧、发展思维为主要任务的课型解题课的设计要按照整体、有序和适度原则，做到有目的、有实效、有层次，逐步提高，防止简单的机械重复和单一模式化在解题课中，学生的主动性较之其它课型往往发挥得充分一些但对于学生的探究、发现重视得不够要调动学生的探究热情

51、，培养问题意识是一种行之有效的方法所谓问题意识是指学生在认识活动中感到一些难以解决的、疑惑的问题时产生的一种怀疑、困惑、探究的心理状态这种心理状态将激发学生积极思维，不断提出问题、解决问题因此，解题课模式的设计要注意使学生意识到问题的存在，常常思考“为什么”、“是什么”、“怎么办”等问题，激起解答习题的思维火花心智数学教育方式我主持的山东省教育科学“十一五”规划重点课题“心智数学教育方式”较好的体现了以上总目标要求“心智数学教育方式”即“在数学教学中贯彻数学方法论、文化论、学习论的基本原则，发展学生心智，提高学生数学素养和综合能力”的教育方式“教育”主要是考虑到在数学课堂上学生“知识学习、科学

52、素质的培育、社会文化修养”等全面育人目标“方式”主要考虑到“教有规律”但“教无定法”，同一个教学内容可以通过不同的教学模式来实现，不一定非要强调某种死板的教学形式课题理论基础：数学方法论，数学文化论，数学学习论，多元智能理论，建构主义理论等心智数学教育方式总结出高中数学解题课教学的的三种基本教学模式，分别是“以点带面”、“题组教学”和“变式教学”以点带面：“探究解决拓展提高”模式数学教材体系是以知识和数学思想方法为核心的，在解题课教学中忌就题论题，应重视培养学生的观察、分析和归纳能力要通过探索性问题，掌握解一类题的各种方法，以达到“以点带面”触类旁通的效果以点带面教学模式主要有五个教学环节（1

53、）创设情景、导入新课（2）自主探究、合作学习教师提出或引导学生发现典型的探究性问题，引导学生遵循“弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾”一般解题方法以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以教材为基本探究内容，为学生提供探究、质疑、讨论、表达问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑活动，将自己所学知识应用于解决数学问题探究性问题一般是一题多解问题，必须根据教材的重点和难点编制，使学生产生认知冲突，在强烈的求知欲望下，在注意力高度集中、思想最活跃的状态中进行探究学习在自主探究的基础上，让学生展开小组交流，展示个体思维过程，彼此交流思想，初步解决在自主探究中遇到的认识问题和思维障碍教师通过观

54、察、交谈、提问、分析、课内巡视、课堂练习和考查考试等反馈方法，及时了解学生掌握知识情况，有针对性地进行质疑和讲解（3）成果展示、汇报交流以小组为单位汇报交流解题思维过程和解答过程可以是学生“说题”，也可以是学生板演，还可是学生解答过程的投影展示，也可是学生的辩论等形式板演的学生通过独立思考，把自己分析和解决问题的思路与方法暴露在全班同学面前教师针对学生的分析思路和方法进行评议，充分肯定其正确的分析方法与解题技巧，找出其存在的不足之处，提出修改方法，指出努力的方向 结合新课程理念，成果展示还可采取“学习小组代表板演其他小组学生评议教师再评议”的方法这种方法可极大地调动学生的合作意识，有利于提高学

55、生的整体参与度这一环节要特别注重解题思路的分析在学生面前暴露寻找解题方法的全过程，通过学生的发散性思维，找到解决一类问题的多种方法（4）反馈训练、巩固落实通过变更概念中的非本质特征，变换问题中的条件或结论；变换问题的形式或内容；配置与新知识有关的实际应用题，让学生进行变式训练，培养学生举一反三、灵活应变、独立思考的能力在变式训练中，对探索性问题的多种解决方法作出分析和优选，找到针对某一问题的最佳解决方案观点的形成、技能的掌握，应该由学生自已独立完成这种独立性能培养他们较强的学习需要，激发起正确的学习动机因此，这一环节要注重让学生参加解题的全过程形成“自己能完成的不依赖他人，小组能解决的不依赖全

56、班，学生能解决的不依赖老师”的良好习惯（5）归纳总结、提升拓展组织和指导学生归纳概括知识和技能的一般结论，结合必要的讲解，揭示这些结论在教材整体中的相互关系和结构上的统一性，揭示新知识之间的内在联系，完善学生认知结构以点带面解题课教学模式要重视解题的态度教育波利亚说过，发明创造的第一条规律是动脑筋和碰运气，第二条是锲而不舍直到出现一个好念头重视对学生进行“锲而不舍”的思想教育，并以自已的言行作为学生的楷模，这是成功地进行解题教学的关键让学生的思维由问题开始到问题深化，始终处于积极主动状态在教学中，教师的“导”需精心创设问题情境，组织学生进行生动有趣的“活动”，留给学生想象和思维的“空间”，充分

57、揭示获取知识的思维过程，使学生在过程中“学会”并“会学”，优化学生的思维品质，从而得到主体的智力发展教育是教师导引与学生知行的统一，教育过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程交往的本质属性是主体性，是动态的表现出来的主体之间的相互作用、相互交流、相互沟通、相互理解在这个过程中，要消除教师中心和管理中心的倾向，实现师生互动、相互沟通、相互影响、相互补充从而达到共识、共享、共进，这就是教学相长的真谛题组教学：“探索研究综合运用”模式题组教学就是根据学生的认知规律，针对某一节课的教学目标，合理有效地设计几个题组，将有关数学基本知识、基本技能、基本方法与数学思想溶于其中以题目开路，引导学生对题目进行分析、讨论、研究和解答，教师借题生话，借题发挥，画龙点睛在这些问题的解决过程中，除了解决单个的数学问题外，通过几个问题的前后联系以及解决这些问题的方法的变化，形成一种更高层次的思维方法，以达到对问题本质的了解、问题规律的掌握、知识技能的巩固、思维的拓展与迁移等目的这种题组并不是几个独立数学问题的简单组合，而是注重题目之间的内在联系 ,它们的解决能启示一种客观规律 ,能引导与启发学生掌握这种规律，提高思维