传热学第2章导热1

1、1第二章第二章 导热基本定律及稳态导热导热基本定律及稳态导热22-1 2-1 导热的基本概念及傅立叶定律导热的基本概念及傅立叶定律一、温度场一、温度场 某时刻空间所有各点温度分布的总称某时刻空间所有各点温度分布的总称 温度场是时间和空间的函数：温度场是时间和空间的函数：( , , , )tf x y z稳态导热 0 稳态温度场： t 0 t非稳态温度场非稳态导热一一维维温温度度场场： ) ,(xft一一维维导导热热二维温度场：二维温度场： ) , ,(yxft二维导热二维导热特特例例：一一维维稳稳态态导导热热 )(xft 3二、等温面与等温线二、等温面与等温线 等温面等温面：同一时刻、温度场中

2、所有温度相同的点连：同一时刻、温度场中所有温度相同的点连 接起来所构成的面接起来所构成的面 等温线等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平面：用一个平面与各等温面相交，在这个平面 上得到一个等温线簇上得到一个等温线簇4(1) (1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交温度不同的等温面或等温线彼此不能相交等温面与等温线的特点：等温面与等温线的特点：(2) (2) 在连续介质的温度场中，等温面或等温线不会中在连续介质的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止在物体的边界上者就终止在物体的边界上物体的温度场

3、通常用等温面物体的温度场通常用等温面(三维三维)或等温线或等温线(二维二维)表示表示(3) 等温面上没有温差，不会有热传递等温面上没有温差，不会有热传递(4) 由等温线由等温线(面面)的疏密可直观反映出不同区域的疏密可直观反映出不同区域温度梯度温度梯度(或热流密度或热流密度)的相对大小。的相对大小。56三、温度梯度三、温度梯度思考思考：A点所在的等温线温度为点所在的等温线温度为T，与之相邻的一个，与之相邻的一个等温线温度为等温线温度为T+ T，试问，试问A点的温度变化率为多少点的温度变化率为多少？A7不同的等温面之间，有温不同的等温面之间，有温差，有导热差，有导热温度变化率的大小与方向温度变化

4、率的大小与方向有关有关 ttnsA温度梯度的方向是等温线或等温面上温度变化温度梯度的方向是等温线或等温面上温度变化率最大的方向，也就是法线方向率最大的方向，也就是法线方向8温度梯度：沿等温面法线方向上的温度增量温度梯度：沿等温面法线方向上的温度增量 与法向距离比值的极限，与法向距离比值的极限，gradt直角坐标系直角坐标系：注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向nnTnnTn0limT gradgrad ttttijkxyz 9四、热流密度矢量四、热流密度矢量热流密度热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；：单位时间、单位面积上所传递的热量；直

5、角坐标系中：直角坐标系中：热流密度矢量热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度流密度不同方向上的热流密度的大小不同不同方向上的热流密度的大小不同qqqq2 W mq q xyzqq iq jq k cosqqqq10五、傅里叶定律五、傅里叶定律1807年，法国数学家傅里叶（年，法国数学家傅里叶（Fourier）在在实验研究实验研究基础上，发现基础上，发现导热基本规律导热基本规律 傅里叶定律傅里叶定律导热基本定律导热基本定律：垂直导过等温面的热流密度，正比于：

6、垂直导过等温面的热流密度，正比于该处的温度梯度，方向与温度梯度相反该处的温度梯度，方向与温度梯度相反:l热导率（导热系数）热导率（导热系数）“-”：表征热流方向沿着温度降度方向，与温度梯度：表征热流方向沿着温度降度方向，与温度梯度方向相反。方向相反。满足热力学第二定律满足热力学第二定律。2 - grad W m qtlC)(mW11直角坐标系中傅立叶定律的形式直角坐标系中傅立叶定律的形式： xyztttqq iq jq kijkxyzlll ; ; xyztttqqqxyzlll 12n热流方向总是与等温线（面）垂直；n物体中某处的温度梯度是引起物体内部及物体间热量传递的根本原因；n一旦物体内

7、部温度分布已知，根据傅立叶定律可求得各点的热流量或热流密度。因此，求解导热问题的关键在于求解物体中的温度分布；n傅立叶定律是实验定律，是普适的，即不论是否变物性，不论是否有内热源，不论物体的几何形状如何，不论是否非稳态，也不论物质的形态（固液气），傅立叶定律都是适用的。13有些天然和人造材料，如：石英、木材、叠层塑料板、有些天然和人造材料，如：石英、木材、叠层塑料板、叠层金属板，其导热系数随方向而变化叠层金属板，其导热系数随方向而变化 各向异性材料各向异性材料各向异性材料中各向异性材料中：xxxxyxzyyxyyyzzzxzyzztttqxyztttqxyztttqxyzlllllllll注：

8、傅里叶定律只适用于各向同性材料注：傅里叶定律只适用于各向同性材料各向同性材料：热导率在各个方向是相同的各向同性材料：热导率在各个方向是相同的14傅里叶定律只适用于稳态及弱瞬态热过程傅里叶定律只适用于稳态及弱瞬态热过程傅立叶定律的建立隐含了一个假设：在物体内热量的传播速度无限傅立叶定律的建立隐含了一个假设：在物体内热量的传播速度无限大，即：在任何瞬间，温度梯度和热流密度都是相互对应的；或者大，即：在任何瞬间，温度梯度和热流密度都是相互对应的；或者说：与热的扰动相对应，热流矢量和温度梯度的建立是不需时间。说：与热的扰动相对应，热流矢量和温度梯度的建立是不需时间。傅里叶定律的适用条件对于大多数工程实

9、践问题（稳态及弱瞬态热傅里叶定律的适用条件对于大多数工程实践问题（稳态及弱瞬态热过程），这个假设已经可以得出足够精确的解。但是，对于快速的过程），这个假设已经可以得出足够精确的解。但是，对于快速的瞬态热过程，这个条件不能满足瞬态热过程，这个条件不能满足非傅里叶效应非傅里叶效应.高新科技领域中出现了许多快速瞬态热过程、快速加热技术（诸如高新科技领域中出现了许多快速瞬态热过程、快速加热技术（诸如利用持续时间很短或很高频率的强激光或微波进行加热）在金属表利用持续时间很短或很高频率的强激光或微波进行加热）在金属表面融化、陶瓷材料的烧结成型、快速干燥，以及在一些基本的物理面融化、陶瓷材料的烧结成型、快速

10、干燥，以及在一些基本的物理现象的研究方面获得广泛应用，在这些超快速热传递过程中，热边现象的研究方面获得广泛应用，在这些超快速热传递过程中，热边界上可能会出现很高的温度梯度或很快的加热速率，在这些情况下，界上可能会出现很高的温度梯度或很快的加热速率，在这些情况下，经典的傅里叶热扩散定律不再是正确的了，必须考虑热量传播的速经典的傅里叶热扩散定律不再是正确的了，必须考虑热量传播的速度是有限的。度是有限的。152-2 2-2 热导率（导热系数）热导率（导热系数） 热导率的数值就是物体中单位温度梯度、单位时间、热导率的数值就是物体中单位温度梯度、单位时间、通过单位面积的导热量通过单位面积的导热量 物质的

11、重要热物性参数物质的重要热物性参数影响热导率的因素影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、：物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密度等湿度、压力、密度等热导率的数值表征物质导热能力大小。实验测定热导率的数值表征物质导热能力大小。实验测定不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同 -grad qtlC)(mW16气相液相固相非金属金属lllll ;四种典型物质的导热系数（四种典型物质的导热系数（2020）171、气体的热导率、气体的热导率气体的导热：由于分子的热运动和相互碰撞时发生的气体的导热：由于分子的热运动和相互碰撞时发生的 能量传递

12、能量传递0.0060.6W (m C)l气体; C)(mW0244. 0 :0空气lC20: 0.0259W (m C) Cl空气18气体分子运动理论气体分子运动理论：常温常压下气体热导率可表示为：常温常压下气体热导率可表示为：气体分子运动的均方根速度：气体分子运动的均方根速度：气体分子在两次碰撞间平均自由行程：气体分子在两次碰撞间平均自由行程：气体的密度；：气体的密度；：气体的定容比热：气体的定容比热气体温度正比于分子运动的动能气体温度正比于分子运动的动能：气体的分子量：气体的分子量13vu lclulvc22uMT M19影响气体热导率的主要因素影响气体热导率的主要因素除非压力很低或很高，

13、在除非压力很低或很高，在2.67*10-3MPa 2.0*103MPa范围内，范围内，气体的热导率基本不随压力变化气体的热导率基本不随压力变化气体的温度升高时：气体分子气体的温度升高时：气体分子运动速度运动速度和和定容比热定容比热随随T升高而增大。升高而增大。 气体的热导率随温度升高而增大气体的热导率随温度升高而增大气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程减小、而两者的乘积保持不变。减小、而两者的乘积保持不变。混合气体热导率不能用部分求和的方法求混合气体热导率不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定只能靠实验测定气体的分子质量小的气体（气体的分

14、子质量小的气体（H2、He）热导率较大）热导率较大 分子运动速度高分子运动速度高20分子质量小的气体（分子质量小的气体（H2、He）热导率较大）热导率较大 分子运分子运动速度高动速度高212、固体的热导率、固体的热导率导热机理导热机理：依靠自由电子的迁移：依靠自由电子的迁移 晶格振动波迁移晶格振动波迁移 晶格中原子、分子在其平衡位置附近的热振动形晶格中原子、分子在其平衡位置附近的热振动形成的弹性波成的弹性波晶体的状态（晶态）：完全有序的周期性排列是固晶体的状态（晶态）：完全有序的周期性排列是固体中分子聚集的最稳定的状态体中分子聚集的最稳定的状态晶格晶格：理想的晶体中分子在无限大空间里排列成周：

15、理想的晶体中分子在无限大空间里排列成周 期性点阵，即所谓晶格期性点阵，即所谓晶格22纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动 主要依靠前者主要依靠前者金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：(1) 金属的热导率：金属的热导率： 晶格振动的加强干扰自由电子运动晶格振动的加强干扰自由电子运动主要影响因素主要影响因素12418W (m C)l金属llll银铜铝金TlCuCu10K:12000W (m C)15K:7000W (m C)ll23合金：金属中掺入任何杂质将破坏晶格的完整性，合金：金属中掺入任何

16、杂质将破坏晶格的完整性， 干扰自由电子的运动干扰自由电子的运动金属的加工过程也会造成晶格的缺陷金属的加工过程也会造成晶格的缺陷如：常温下：如：常温下：(2)合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动； 主要依靠后者主要依靠后者温度升高、晶格振动加强、导热增强温度升高、晶格振动加强、导热增强主要影响因素主要影响因素lTllll合金纯金属398W/(mK)l纯铜109W /(mK)l黄铜2425非金属的导热非金属的导热：依靠晶格的振动传递热量；比较小：依靠晶格的振动传递热量；比较小建筑和隔热保温材料：建筑和隔热保温材料：(3) 非金属的热导率：非金属的热导

17、率：大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构多孔材料的热导率与密度和湿度有关多孔材料的热导率与密度和湿度有关保温材料保温材料：国家标准规定，温度低于：国家标准规定，温度低于350度时热导率度时热导率 小于小于 0.12W/(mK) 的材料（绝热材料）的材料（绝热材料）0.0253W (m C)lTl l、湿度26273、液体的热导率、液体的热导率液体的导热液体的导热：主要依靠晶格的振动：主要依靠晶格的振动在分子力和分子运动的竞争中，在分子力和分子运动的竞争中，液态是两者势均力液态是两者势均力敌的状态敌的状态理想气体中分子运动占绝对优势理想气体中分子运

18、动占绝对优势完全无序模型完全无序模型理想晶体中分子力占主导地位理想晶体中分子力占主导地位完全有序模型完全有序模型0.070.7W (m C)l液体20: 0.6W (m C)Cl水28完全无序模型和完全有序模型的理论都很成熟完全无序模型和完全有序模型的理论都很成熟大多数液体（分子量大多数液体（分子量M不变）：不变）：通常研究液体的办法是从两头逼近：或者把它看作非通常研究液体的办法是从两头逼近：或者把它看作非常稠密的实际气体，或者把它看作热运动非常剧烈的常稠密的实际气体，或者把它看作热运动非常剧烈的破损晶体，两方面各自能说明一些问题破损晶体，两方面各自能说明一些问题液体的情况介于两个极端之间，非

19、常难以处理，至今液体的情况介于两个极端之间，非常难以处理，至今没有统一的理论模型没有统一的理论模型液体的热导率随压力液体的热导率随压力p的升高而增大的升高而增大Tllp2930对于变导热系数情况对于变导热系数情况温度变化较大时，必须考虑导热系数随温度的变化关系。一般可表示为为0的导热系数，b为温度系数，由实验测得。/2T/2T/3T或如果导热系数随温度线性变化，则平均导热系数可有如下两种表示：01bTll0l01bTll1212TTT 22110122121112TTTTT dTbT dTTTTTlllll312-3 2-3 导热微分方程式及单值性条件导热微分方程式及单值性条件确定导热体内的温

20、度分布是导热理论的首要任务确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务傅里叶定律：傅里叶定律：确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场:理论基础：傅里叶定律理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律热力学第一定律2 - grad W m qtl( , , , )tf x y z32假设：假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 热导率、比热容和密度均为已知热导率、比热容和密度均为已知 (3) 物体内具有内热源；强度物体内具有内热源；强度 qv W/m3; 内热源均匀分布；内热源均匀分布；qv 表示单位体积的导热表

21、示单位体积的导热 体在单位时间内放出的热量体在单位时间内放出的热量(4) 各项参数连续变化，可微分求导各项参数连续变化，可微分求导1 1、导热微分方程式、导热微分方程式33在导热体中取一微元体在导热体中取一微元体热力学第一定律：热力学第一定律： d 时间内微元体中：时间内微元体中：导入与导出净热量导入与导出净热量+ 内热源发热量内热源发热量= 热力学能的增加热力学能的增加数学模型建立基本思路数学模型建立基本思路能量平衡分析能量平衡分析QUW 0, WQU 34(1)导入与导出微元体的净热量导入与导出微元体的净热量A. d 时间内、沿时间内、沿 x 轴方向、轴方向、经经 x 表面导入的热量：表面

22、导入的热量：B. d 时间内、沿时间内、沿 x 轴方向、轴方向、经经 x+dx 表面导出的热量：表面导出的热量： JxxdQqdydz dJ ddydzqdQdxxdxxxx dxxqqqdxx35C. d 时间内、沿时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：轴方向导入与导出微元体净热量： Jxxx dxqdQdQdxdydz dx 36d 时间内、沿时间内、沿 x 轴方向轴方向导入与导出微元体净热量：导入与导出微元体净热量：d 时间内、沿时间内、沿 y 轴方向轴方向导入与导出微元体净热量：导入与导出微元体净热量：d 时间内、沿时间内、沿 z 轴方向导轴方向导入与导出微元体净热量：入与导出

23、微元体净热量：J ddxdydzxqxJ ddxdydzyqyJ ddxdydzzqz37D. 导入与导出净热量导入与导出净热量:利用傅里叶定律：利用傅里叶定律：J )(dxdydzdzqyqxqzyx; ; xyztttqqqxyzlll J )()()( 1 llldxdydzdztzytyxtx38(2)微元体中内热源的发热量微元体中内热源的发热量d 时间内微元体中时间内微元体中内热源的发热量：内热源的发热量：(3)微元体热力学能的增量微元体热力学能的增量d 时间内微元体中热力时间内微元体中热力学能的增量：学能的增量：J 2ddxdydzqvJ 3ddxdydztc) d(dtdxdyd

24、zctmc39由由 1+ 2= 3： 导热微分方程式、导热过程的能量方程导热微分方程式、导热过程的能量方程能量守恒能量守恒若物性参数若物性参数 l l、c 和和 均为常数：均为常数：OR：()()()vttttcqxxyyzzlllcqztytxtatv)(222222cqtatv2 40热扩散率热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能力（反映了导热过程中材料的导热能力（ l l ）与沿途物质储热能力（与沿途物质储热能力（ c ）之间的关系）之间的关系a值大，即值大，即 l l 值大或值大或 c 值小，说明物体的某一部分值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散一旦获

25、得热量，该热量能在整个物体中很快扩散l l 值大，说明在相同的温度梯度下可以传递更多的热量值大，说明在相同的温度梯度下可以传递更多的热量； c 值小，单位体积物体温度升高值小，单位体积物体温度升高1度所需的热量少度所需的热量少2 msacl 热扩散率（导温系数）2 拉普拉斯算子41在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别越小。内部各处的温度差别越小。a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度

26、趋向于均匀一致的能力温度趋向于均匀一致的能力72521.5 10m9.45 10masas铝木材，1 600aa铝木材42若物性参数为常数且无内热源：若物性参数为常数且无内热源：若物性参数为常数、无内热源稳态导热若物性参数为常数、无内热源稳态导热：2222222(); or tttttaatxyz 22222220ttttxyz43圆柱坐标系圆柱坐标系（r, , z）zzryrx ;sin ;coszttrrtttkjiqlll1gradztqtrqrtqzrlll1211()()()vttttcrqrrrrzzlll44 球坐标系球坐标系（r, q q， ）qlqllqtrqtrqrtqrs

27、in11qqllltrtrrtttsin11gradkjiq22222111()( sin)()sinsinvttttcrqrrrrrllqlqqqqqqqcos ;sinsin ;cossinrzryrx45导热微分方程的一般形式导热微分方程的一般形式vtcqqgradqttll divvtcqq2div( grad )()vvtctqtqlll 为常数微元温度升高需要微元温度升高需要的能量加上从微元的能量加上从微元流到外面的能量等流到外面的能量等于微元内热源所产于微元内热源所产生的能量生的能量462t2或者或者或者（拉普拉斯算子 ）+xyz ijk哈密顿算子在一般的正交坐标系下，哈密顿算子

28、的形式为：在一般的正交坐标系下，哈密顿算子的形式为：112233111uuuhhh 123eee,123eee：正交坐标系的基矢：正交坐标系的基矢：标度因子或拉梅系数：标度因子或拉梅系数123,h hh47112233111huhuhu123eee22 33 11 21 2 31112223331()()()h hh hhhhh huhuuhuuhu2 313 121 231 2 31231()()()h h Ah h Ah h Ah h huuuA梯度：梯度：散度：散度：调和量：调和量：48直角坐标系下：直角坐标系下：123123123,1,1,ur uuzhhr hrzeeeeee1231

29、23,1,1,1ux uy uzhhh123e = i,e = j,e = k圆柱坐标系下：圆柱坐标系下：49球坐标系下：球坐标系下：123123,1,sinur uuhhr hrqq1r23e = e ,e = e ,e = e222222111rrrrrrzzrrrrrz柱坐标下：柱坐标下：5022222222221sinsinsinsin111sinsinsinrrrrrrrrrrrrrrqqqqqqqqqqq参考：矢量分析与场论，谢树艺，高等教育出版社参考：矢量分析与场论，谢树艺，高等教育出版社球坐标系下：球坐标系下：51div( grad )vtctqldiv( grad )vtct

30、ql稳态稳态无内热源无内热源导热：导热：更为一般的扩散现象：更为一般的扩散现象：()div( grad )S不稳态项不稳态项扩散项扩散项源项源项 - 扩散系数扩散系数52更为一般的传递现象：更为一般的传递现象：()div()div( grad )S u不稳态项不稳态项对流项对流项扩散项扩散项源项源项 可以是哪些东西呢？可以是哪些东西呢？焓或者温度、速度分量、化学组分的质量焓或者温度、速度分量、化学组分的质量分量、紊流动能或紊流的长度尺度或者分量、紊流动能或紊流的长度尺度或者1或或者一个无量纲的数。者一个无量纲的数。532、 导热过程的单值性条件导热过程的单值性条件导热微分方程式：导热微分方程式

31、：它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；它没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。它没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充说明条件的唯一解说明条件的唯一解单值性条件单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件：确定唯一解的附加补充说明条件单值性条件包括四项：单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界几何、物理、时间、边界完整数学描述完整数学描述：导热微分方程：导热微分方程 + 单值性条件单值性条件54(1) 几何条件几何条件如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等如：平壁或圆筒

32、壁；厚度、直径等说明导热体的几何形状和大小说明导热体的几何形状和大小(2) 物理条件物理条件如：物性参数如：物性参数 l l、c 和和 的数值，是否随温度变化；的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布；是否各向同性有无内热源、大小和分布；是否各向同性说明导热体的物理特征说明导热体的物理特征(3) 时间条件时间条件稳态导热过程不需要时间条件稳态导热过程不需要时间条件 与时间无关与时间无关说明在时间上导热过程进行的特点说明在时间上导热过程进行的特点对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布的温度分布时间条件又称为时间条件又称为初始条件初始条件0( , , )tf x y z00tt例：例：55(4) 边界条件边界条件说明导热体边界上过程进行的特点说明导热体边界上过程进行的特点反映过程与周围环境相互作用的条件反映过程与周围环境相互作用的条件边界条件一般可分为三类：边界条件一般可分为三类：第一类、第二类、第三类边界条件第一类、第二类、第三类边界条件(4.1) 第一类边界条件第一类边界条件s 边界面边界面; tw = f (x,y,z) 边界面上的温度边界面上的温度已知任一瞬间导热体边界上温度值：已知任一瞬间导热体边界上温度值：稳态