关于行列式的计算方法

1、行列式的计算方法综述行列式的计算方法综述 目目 录录1.定义法（线性代数释疑解难参考）2.化三角形法（线性代数释疑解难参考）3.逐行（列）相减法（线性代数释疑解难参考）4.升降法（加边法） （线性代数释疑解难参考）5.利用范德蒙德行列式（线性代数释疑解难参考）6.递推法（线性代数释疑解难参考）7.数学归纳法（线性代数释疑解难参考）8.拆项法（课外辅导书上参考）9.换元方法（课外辅导书上参考）10.拆因法（课外辅导书上参考） 线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式的计算其中起重要作用。下面由我介绍几种常见的计算行列式的方法：1.1.定义法定义法由定义看出，级行列式有个项。较大时，是一个很

2、大的数字。直接n!nn!n用定义来计算行列式是几乎不可能的事。但在级行列式中的等于零的项的个数较n多时，它展开式中的不等于零的项就会少一些，这时利用行列式的定义来计算行列式较方便。例1.算上三角行列式11121222000nnnnaaaaaa 解：展开式的一般项为 1 212121nnj jjjjnja aa111212221122000nnnnnnaaaaaa aaa同样，可以计算下三角行列式的值。112122112212000nnnnnnaaaa aaaaa2.2.化三角形法化三角形法画三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形，化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列

3、式的特点（主对角线上元素的乘积）求出值。例2.计算nabbbbabbdbbabbbba解：各行加到第一行中111nanbanbanbbabdbba11111babbanb bbabbbba把第二列到第列都分别加上第一列的倍，有n 1 1100000110000nbabanbanbabbabbab 3.3.逐行（列）相减法逐行（列）相减法有这样一类行列式，每相邻两行（列）之间有许多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上。因此可以逐行（列）相减的方法化出许多零元素来。例3.计算级行列式n12311221132121nnxnnxxnndxxxxxxx解：从第二行起，每一行的倍都加上上一行，有 11

4、11110111100111000111xxxdxxxxx上式还不是特殊三角形，但每相邻两行之间有许多相同元素，且最后一10或行有元素都是。因此可再用两列逐列相减的方法：第列起，每一列1nx1n的倍加到后一列上 1100001000010000010001xxxxxdxxxx100010010010001xxxxxxx 100010010100001nxxxxxxx 111nnnxx 4.4.升降法（加边法）升降法（加边法）升降法是在原行列式中再添加一列一行，是原来的阶成为阶，且往往n1n让阶行列式的值与原阶行列式的值相等。一般说，阶数高的比阶数低的计1nn算更复杂些。但是如果合理的选择所添加

5、的行，列元素，是新的行列式更便于“消零”的话，则升降后有利于计算行列式的值。例4.计算级行列式n121212111nnnd解： 121212121010101nnnnd121110010101000n 121110100100100001ninni 5.5.利用范德蒙德行列式利用范德蒙德行列式例5. 计算级行列式n111122221211211211111nnnnnnnnnananaaananaadananaa解：这个行列式与范德蒙行列式很相似，可以利用行列式的性质将它化为范德蒙行列式。的第行依次与行，行行, 行对换，再将所得到的行列式ndn1n2n,21的第行，依次与行，行行对换。如此继续下

6、去，直到最后将第n1n2n,2行与行对换，这样经过次对换后，n1n 1122112nnn n 得到 122222111111111211121121n nnnnnnnnnnananaadananaaananaa 这是一个范德蒙行列式。于是有 1211n nnj i ndanianj 1211n nj i nij 范德蒙行列式是一个重要的行列式，它可以作为公式应用。6.6.递推法递推法这种方法是计算阶行列式较有用的一种方法。首先利用行列式性质把给定的n阶行列式用同样形式的低阶行列式表示出来，这种表示式称为递推关系式。nnd然后从递推关系式出发求出的一般表示式。nd例6. 计算级行列式n12211

7、000010000000001nnnnxxxxdxaaaaa解：本题第一列只有两个非零元素，且的余子式恰为。因此我们有可11a1nd能找出递推关系式。按第一列展开得 1110001001000001nnnnxdx daxx 2111nnnnnx dax da 故1nnndaxd这就是本题行列式的一个递推关系式，往减少方向递推有n112nnndax d故有2121212nnnnnnnndaxdax axdaaxx d2123nnnnaaxxaxd23123nnnnaaxaxx d2321232nnnnnaaxaxa xxd232123211nnnnnxaaxaxa xxaax232112321n

8、nnnnnnaaxaxa xa xa xx7.7.数学归纳法数学归纳法计算和证明一些行列式时用数学归纳法来计算和证明比较方便，所以我们就用数学归纳法。数学归纳法一般是在已知行列式的结果或猜出其结果作严格论证时用的方法。例7试证阶行列式n 12211000010000000001nnnnxxxdxaaaaax121212nnnnxa xa xaxan证明：用归纳法步骤1.验证：当时，2n 左21212211xx axaxa xaaax右左边右边212xa xa注意：当本题行列式为阶时，应取右下角的阶与有关的行列式，而不能2212,a a取左上角的。2 设当阶时，结论成立。1n则将用第一列展开，有

9、nd 1110001001000001nnnnxdxdaxx 1112311122111nnnnnnnnnnnnxdaxdax xa xa xaxaa1221221nnnnnnxa xa xaxaxa右8.8.拆项法拆项法由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之和，计算其值，再得原行列式值。此法称为拆行（列）法。例 8. 0000000000naaaaaabaabaadbbabbabbbbbbaa00000000aaabbbaabaabbababbbabbba010001001001aaaababaaabbbbbbbbbba对于上面的第一行列式，将第列乘加到其余各列上，对第二个行列式

10、按第nb列展开，最后可得：n 1110010001000010nn nnnbababaaababbaadabbbabbb 这样我们得一个递推公式：11nnndabad如果将第一列对按类此方法拆项，又可得到另一递推公式：b11nnndbabd取立上述两递推公式1111nnnnnndabaddbabd当时，ab 1111nnnnabdabab 当时，ab 111nnndna 9.9.换元方法换元方法这种方法利用行列式的这样一条性质：设1112111121212222122211212,nnnnnnnnnnnnxxxxxxddxxx则1,1niji jddxa例 9.计算阶行列式nnxxdx 解：

11、000000nxxdx1000000nxxn xx 111nnnxn xxxn 1010拆因法拆因法如果行列式中有一些元素是的多项式，那么可以将行列式当作一个多项式dxd，然后对行列式施行某些变换，求出的互素的一次因式，使得与 f x f x f x这些因式的乘积只相差一个常数因子，根据多项式相等的定义，比较 g xc与的某一项的系数，求出的值，便可求得 f x g xc dcg x例 10.计算1231131211231nnxndxnx解：已知行列式是的次多项式，利用行列式的性质我们把ndx1n次多项式分解成的一次因式的乘积。当时，的第一列和第二列1nnd1x nd的对应元素成比例，所以。显然是的一个因式。0nd 1xnd当时，的第一列和第三列的对应元素成比例，所以。显然是2x nd0nd 2x的一个因式。nd同法得出是的因式。因为和3,4,1xxxnndxi为互素，所以，但xj, ,1,2,1ij i jn121nxxxnd 的展开式中的最高项的系数是 ，因此n