非线性物理11

1、第一章第一章非线性振动初步非线性振动初步第一节 无阻尼单摆的自由振荡第二节 阻尼振子第三节 受迫振荡非线性振动初步非线性振动初步第一节第一节 无阻尼单摆的自由振荡无阻尼单摆的自由振荡 1 小角度无阻尼单摆小角度无阻尼单摆 2 任意角度无阻尼单摆振动任意角度无阻尼单摆振动 3 无阻尼单摆的相图与势能曲线无阻尼单摆的相图与势能曲线由牛顿第二定律：由牛顿第二定律： 非线性方程非线性方程, 式中角频率：sin22mgfdtdlm0sin22lgdtd0sin2022dtdlg /01 1 小角度无阻尼单摆小角度无阻尼单摆 数学表达式数学表达式(1)(2)(3) 线性化处理线性化处理忽略3次以上的高次项

2、得线性方程! 7! 5! 3sin753xxxxxxx sin02022dtd0sin2022dtd(4)cos()(0tpt002022dtd(5)该式是振幅为该式是振幅为p，角频率为，角频率为 的简谐振动，其振动的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。波形为正弦曲线。角频率只与摆线角频率只与摆线 l 得长度有关，得长度有关，与摆锤质量无关与摆锤质量无关，称为固有角频率。，称为固有角频率。引入代换引入代换 得：得：一次积分后：一次积分后： 式中式中e e 为积分常数，由初始条件决定。把为积分常数，由初始条件决定。把 看作为两个看作为两个变量，则方程是一个圆周方程，圆的半径为变量，则方程是一个圆周方

3、程，圆的半径为 ，振动过程，振动过程是一个代表点沿圆周转动。是一个代表点沿圆周转动。022dtdtt 0edtd222121,dtd2e相图相图(6)相图相图 相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱(poincare(poincare) )于十九于十九世纪末提出用相空间轨线表示系统运动状态的方法。相图上每一世纪末提出用相空间轨线表示系统运动状态的方法。相图上每一个点表示了系统在某一时刻状态（摆角与角速度），个点表示了系统在某一时刻状态（摆角与角速度），系统运动状系统运动状态用相图上的点的移动来表示，点的运动轨迹称为轨线态用相图上的点的移动来表示，点的运动轨迹称

4、为轨线。能量方程能量方程右边第一项为系统动能右边第一项为系统动能k ，第二项为系统势能，第二项为系统势能v，e 是系统的是系统的总能量。运动过程中总能量。运动过程中k 和和v 两者都随时间变化，而系统总能量两者都随时间变化，而系统总能量e 保持不变。保持不变。 当当k =v =0时，时，e=0，有，有 ，这时摆处于静止状态，这时摆处于静止状态，为静止平衡。为静止平衡。 当当e 0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能量期描述。不同能量e 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆平面的同

5、心圆(或椭圆或椭圆)。 同一圆周同一圆周(或椭圆或椭圆)上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量原点是能量e =0 的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为静止平衡点为椭圆点椭圆点。edtd222121evk0周期与摆角无关？t0为零摆角极限下的周期看看实验结果：0510203045t/t01.00001.00051.00191.00771.01741.0369?2/200tglt单摆周期单摆周期2 2 任意角度无阻尼单摆振动任意角度无阻尼单摆振动 定性结论：1. 周期随摆角增加周期随摆角增加而增加而

6、增加2. 随摆角增加波形随摆角增加波形趋于矩形趋于矩形单摆周期数学表达式单摆周期数学表达式2 任意角度无阻尼单摆振动任意角度无阻尼单摆振动 任意摆角单摆周期与摆角的关系可采用如下方法求得任意摆角单摆周期与摆角的关系可采用如下方法求得将方程将方程(3)乘以乘以 ，并对，并对 积分，得积分，得dtdtcos2202cdtd(7)在最大角位移在最大角位移 处，处， ，可求得积分常数，可求得积分常数00dtd2002cosc 因此由因此由(7)式得式得2100coscos2dtd(8)对对(8)式积分，得式积分，得2100coscos2dt(9)设设 t = 0 时时 ，并设周期为，并设周期为 t，则

7、在，则在 t = t/4时应有时应有 ，再利用三角函数公式再利用三角函数公式002sin21cos2可得可得002120202sin2sin41dt(10)引入代换引入代换sin2sin2sin0(11)则有则有ddcos2sin2cos210进而可把进而可把(10)式变为式变为20212020202120200sin2sin122sin2sin2coscos2sin2dtdtt式中式中002t(12)最后，可计算出最后，可计算出 2sin43212sin2110420220tt(13)忽略高次项，可得忽略高次项，可得2sin411020tt(14)任意角度无阻尼摆轨线的数学表达式任意角度无阻

8、尼摆轨线的数学表达式由机械能守恒定律可知单摆的能量满足关系式由机械能守恒定律可知单摆的能量满足关系式cos12122mglmle常量(15)对上式进行无量纲化处理对上式进行无量纲化处理(即把即把 看作看作 t )，可得，可得tlgt 0hmglecos1212常量(16)由此解得由此解得cos12h(17)1.坐标原点坐标原点 附近附近相轨线为近似椭圆形的闭合道；相轨线为近似椭圆形的闭合道；2.平衡点平衡点 为单摆倒置点为单摆倒置点( (鞍点鞍点),),附近附近相轨线双曲线相轨线双曲线;3.从从 到到 或相反的连线为分界线或相反的连线为分界线. .在分界线内的轨线是闭合回线在分界线内的轨线是闭

9、合回线单摆作周期振动。分界线以外单摆作周期振动。分界线以外单摆能量单摆能量e e 超过势能曲线的极超过势能曲线的极大值，轨道就不再闭合，单摆大值，轨道就不再闭合，单摆作向左或向右方向的旋转运动作向左或向右方向的旋转运动00，0 0 0 单摆完整相图单摆完整相图3 任意角度无阻尼单摆的相图与势能曲线任意角度无阻尼单摆的相图与势能曲线相图横坐标相图横坐标是以是以2 2 为周期的，为周期的，摆角摆角 是同一个倒立位置，是同一个倒立位置，把相图上把相图上g g点与点与g g 点重迭一起点重迭一起时，就把相平面卷缩成一个柱时，就把相平面卷缩成一个柱面。所有相轨线都将呈现在柱面。所有相轨线都将呈现在柱面上

10、。因此，平面上的相轨线面上。因此，平面上的相轨线是柱面上的相轨线的展开图。是柱面上的相轨线的展开图。柱面上的单摆相轨线柱面上的单摆相轨线3 任意角度无阻尼单摆的相图与势能曲线任意角度无阻尼单摆的相图与势能曲线第二节第二节 阻尼振子阻尼振子1 阻尼单摆 不动点2 无驱杜芬方程1. 阻尼单摆阻尼单摆 不动点不动点无阻尼时：设阻尼力与摆的速度成 正比：取 得：如果满足 则有：sinmgfdtdlm22sinmgdtdlfdtdlm22m2/0sin22022dtddtdxx sin022022dtddtdl数学表达式数学表达式设解为得特征方程l为待定常数，特征方程解：故有：通解为最后有：tel022

11、02ll2022, 1l220li2, 1)(21)(2)(1titittitiececeecec)cos(tept小摆角阻尼单摆的解小摆角阻尼单摆的解1. 阻尼单摆阻尼单摆 不动点不动点)cos(tept)sin()cos(ttepdtdtsin)sin(cos)cos(taevtaeuttpattae相轨线相轨线 吸引子吸引子1. 阻尼单摆阻尼单摆 不动点不动点对阻尼单摆解对阻尼单摆解引入新变量引入新变量 ( u, v)相轨线相轨线 吸引子吸引子1. 阻尼单摆阻尼单摆 不动点不动点 阻尼单摆轨线矢径随转角增加而缩短，在阻尼单摆轨线矢径随转角增加而缩短，在u,v平面上是向内平面上是向内旋转的

12、对数螺旋线簇。在旋转的对数螺旋线簇。在 平面内也与此类似。平面内也与此类似。 能量耗散使相轨线矢径对数衰减。无论从哪点出发，经若干能量耗散使相轨线矢径对数衰减。无论从哪点出发，经若干次旋转后趋向坐标原点，原点为次旋转后趋向坐标原点，原点为“吸引子吸引子”，它把相空间的点，它把相空间的点吸引过来，原点又称吸引过来，原点又称不动点不动点。tae,1. 整相平面被通过鞍点整相平面被通过鞍点g与与g 的轨线分成三个区域。的轨线分成三个区域。2. 在坐标原点附近轨线是向在坐标原点附近轨线是向内旋转的对数螺旋线内旋转的对数螺旋线, ,和小和小摆角情况相似。摆角情况相似。3. 鞍点的位置仍在原处。鞍点的位置

13、仍在原处。任意摆角下的相图任意摆角下的相图1. 阻尼单摆阻尼单摆 不动点不动点运动运动 从倒立开始往下摆，从倒立开始往下摆，由于能量耗散达不到原有由于能量耗散达不到原有高度。高度。轨线轨线 从一个鞍点出发到不从一个鞍点出发到不了另一鞍点，分界线被破了另一鞍点，分界线被破坏了。坏了。相流相流 所有中间区域的相点所有中间区域的相点流向坐标原点。原点是该流向坐标原点。原点是该区域的不动点，是该区域区域的不动点，是该区域吸引子。左右两个区域也吸引子。左右两个区域也有相应的吸引子，它们分有相应的吸引子，它们分别处在该图左别处在该图左( -2( -2) )和右和右(+2(+2 ) )两侧。两侧。2. 杜芬

14、方程杜芬方程 数学上将含有 三次项的二阶方程称为duffing方程。有。有驱动力方程为： 例例：弱非线性单摆属duffing方程：取： 得：tfxxdtdxdtxdcos3223x6/sin3xxx0)6/(32022xxdtdxdtxd0sin2022xdtdxdtxd杜芬杜芬方程研究无驱无阻尼杜芬方程：研究无驱无阻尼杜芬方程： 积分得：积分得：由系统能量由系统能量 知：知：23200,1,0d xxxdtf exxdtdx242212121evk242121xxv00势能曲线势能曲线2. 杜芬方程杜芬方程00势能曲线势能曲线2. 杜芬方程杜芬方程势能：势能： 讨论讨论：由：由 知：知：1.

15、 当当 时有一个平衡点：时有一个平衡点：2. 当当 时有三个平衡点：时有三个平衡点：3. 平衡点平衡点 为两个能量最小点为两个能量最小点242121xxv0000/dxdv00 xx0 xx00相图相图2. 杜芬方程杜芬方程00 从杜芬方程从杜芬方程势能曲线势能曲线，画出，画出( ( ）平面上的相轨线。）平面上的相轨线。1. 1. 对于对于 ，坐标原点是椭圆点，附近为闭合椭圆轨道，坐标原点是椭圆点，附近为闭合椭圆轨道; ;2. 2. 对于对于 , ,坐标原点是鞍点，邻近相轨线是双曲线坐标原点是鞍点，邻近相轨线是双曲线; ;在在 处是处是椭圆点，附近是闭合轨道。因原点轨线附近呈双曲线，形成一对蛋椭圆点，附近是闭合轨道。因原点轨线附近呈双曲线，形成一对蛋形轨线。形轨线。3. 3. 对于对于 , ,通过坐标原点是两条相交界轨线。其中两条轨线走向原通过坐标原点是两条相交界轨线。其中两条轨线