高等数学第四章第三节

1、问题问题 ?dxxex解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数, ,vuvuuv , vuuvvu ,ddxvuuvxvu .dduvuvvu 分部积分公式分部积分公式4.3 分部积分法分部积分法udvvduuvd )()(xvvdd ,ddxuu 例例1 1 求积分求积分.cos xdxx解（一）解（一） 令令,cos xu dvdxxdx 221 2coscos2xxdxdxx xdxxxxsin2cos222显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu ,解（二）解（二） 令

2、令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossincxxx .dduvuvvu .2 dxxex求求例例 .dxdueveddxedvxuxxx ，则则，取取解解 .1cxecexedxexedxxexxxxxx 由公式由公式 (2)，得，得 从以上两例可见：当被积函数是幂函数与三角从以上两例可见：当被积函数是幂函数与三角函数乘积或幂函数与指数函数乘积时，可用分部函数乘积或幂函数与指数函数乘积时，可用分部积分法，并取积分法，并取 u 为幂函数为幂函数.?2 dxexx问问：.dduvuvvu 例例2 2 求积分求积分.2 dxexx解解,

3、2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexdexxxx222.22)(2 222222cexeexcexeexdxexeexxdeexxxxxxxxxxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex 总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 , 使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)u.dduvuvvu .ln4 xdx求求例例.1 lndxxduxvdxdvxu ，于于是是，取取解解 .1lnln1lnlncxx

4、cxxxdxxxxxxdx 则则用同样的方法可以求：用同样的方法可以求：.arcsinarctan等等， xdxxdx 当分部积分公式运用比较熟练之后，当分部积分公式运用比较熟练之后，u ,dv 可以可以不必写出，以便简化计算不必写出，以便简化计算.dduvuvvu 例例3 3 求积分求积分.arctan xdxx解解令令,arctan xu dvxdxdx 22 2arctanarctan2xxdxdxx)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22cxxxx .ddu

5、vuvvu 例例4 4 求积分求积分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx 4lnln43xxdxdxx dxxxx3441ln41.161ln4144cxxx 总结总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .u.dduvuvvu 例例6 6 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexe

6、xxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2cxxex 注意循环形式注意循环形式.dduvuvvu 例例5 5 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2cxxx .dduvuvvu .sectan82 xdxx求求例例 xxdxdxxsectansectan2解解移项解得移项解得

7、.tanseclnsectan21sectan2cxxxxxdxx ,sectantanseclnsectan2 xdxxxxxx xdxxxdxxxsectansecsectan2 dxxxxx2tan1secsectan xdxxxx2secsecsectan xxdxxtansecsectan.sec83 xdx求求例例 xxxxxxxtandsecdsecsecdsec23解解移项解得移项解得 .tanseclnsectan21dsec3cxxxxxx ,dsectanseclnsectan3 xxxxxx xxxxxxdsecdsecsectan3 xxxxxdsectantanse

8、c2 xxxxsecdtantansec xxxxxdsec)1(sectansec2例例7 7 求积分求积分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecctt )tanln(seccxx )1ln(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2cxx 例例 8 8 已知已知)(xf的一个原函数是的一个原函数是 2xe

9、, 求求 dxxfx)(. 解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 cedxxfx ),()(xfdxxf 两边同时对两边同时对 求导求导, 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2cex .dduvuvvu _)(,ln)()2002(92dxxfxxxf则则的的一一个个原原函函数数已已知知例例 dxxfxxfxxdfdxxfx)()()()(解：解：xxxxf1ln2)(ln)(2 cxdxxf 2ln)(cxxdxxfx 2lnln2)(是是正正整整数数。求求积积分分例例naxdxinn,)(1022 122222

10、)( nnninaniaxx xaxinnd)(122解：解：dxaxaaxnaxxnn 12222222)(2)( 12222222)(2)(2)(nnnaxdxnaaxdxnaxxdxaxxnaxxnn 122222)(2)( nnaxxaxx)(1d)(2222 xaxxnxaxxnnd)(2)()(12222.arctan1212222，等等，如如于于是是由由公公式式可可得得出出caxaaxxaiin caxaaxdxi arctan1221,)12()(212221nnninaxxnai ,)32()()1(2111222 nnninaxxani,)12()(22212nnninax

11、xina .1d:22 xx求不定积分求不定积分例例 xxxxxxxxxxd111d111d:2222222222解解 2222221d121arctand1221d11xxxxxxxxxx 2221d121arctan11d21arctanxxxxxxxx.arctan121arctan121arctan22cxxxcxxxx . 1,211xdxexexx求求例例解解 首先设法去掉被积函数中的根式，为此首先设法去掉被积函数中的根式，为此 ，则，则令令2ln2222 txtetexx dxexexx2于是于是 dtt2ln22 dtttttt2222ln222dtttdx222 .12arc

12、tan282422ceexexxx dtttttt2222ln222 dttttt22242ln2222 ctttt 2arctan2842ln22ceexexxx 22arctan282422 dxxxex22arctan)1()18( tdtetdttedttttetxtxttt2sin21costan)tan1(sectan,tan,arctan:2222原式原式令令解解合理选择合理选择 ，正确使用分部积，正确使用分部积分公式分公式vu ,dxvuuvdxvu 小小 结结.dduvuvvu ,cos,sin ,arctan ,arcsin, ,cos ,sin ,ln:xexebxxbx

13、xexbxxbxxxxxxkkxkkkk 积积函函数数为为适适合合使使用用分分部部积积分分的的被被思考题思考题 在接连几次应用分部积分公式时，在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？应注意什么？思考题解答思考题解答注意前后几次所选的注意前后几次所选的 应为同类型函数应为同类型函数.u例例 xdxexcos第一次时若选第一次时若选xucos1 xdxexcosdxxexexx sincos第二次时仍应选第二次时仍应选xusin2 一、填空题：一、填空题：1 1、 xdxxsin_；2 2、 xdxarcsin_；3 3、计算、计算 xdxx ln2， u可设可设_ _ , , dv_；4 4

14、、计算、计算 xdxexcos， u可设可设_ _ _ , , dv_；5 5、计算、计算 xdxx arctan2， u可设可设_ _ , , dv_； 6 6、 计计算算 dxxex， u可可设设_ _ _ _ _ _ _, , dv_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二、二、 求下列不定积分：求下列不定积分：1 1、 dxxx2cos22； 2 2、 dxxx23)(ln；练练 习习 题题3、 nxdxeaxcos； 4、 dxex3；5、 dxx)cos(ln； 6、 dxxxex232arctan)1( .三三、 已已知知xxsin是是)(xf的的原原函函数数，求求 dxxxf)(. .四四、 设设 cxfdxxf)()(，)(xf可可微微，且且)(xf的的反反函函数数)(1xf 存存在在，则则 cxffxxfdxxf )()()(111. .一、一、1 1、cxxx sincos； 2 2、cxxx 21arcsin； 3 3、dxxx2,ln； 4 4、,xe xdxcos； 5