2020-2021学年学年北师大版必修51.3.1等比数列的概念及通项公式学案

1、3等比数列第1课时 等比数列的概念及通项公式自主预习学案自主预习学案-情景引入 %ing jing yin ru 从 1979年至 1999年在我国累计推广种植杂交水稻 35亿多亩，增产稻谷 3 500 亿公斤.年 增稻谷可养活 6 000 万人口.西方世界称他的杂交稻是东方魔稻”，并认为是解决下个世纪 世界性饥饿问题的法宝.世界杂交水稻之父-袁隆平在培冇某水稻新品种时，培育出第一代 120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的 120粒种子，到第 5 代时大约 可以得到这个新品种的种子多少粒？新知导学；：Ain zhi dao xue *1. 等比数列的定义一般地，

2、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比.公比通常用字母q表示 (狞 0).2. 等比数列的通项公式：设等比数列“”的首项为 g,公比为 g,则通项公式是：如=(以 1(1工 0,狞 0).3. 等比中项：如果在“与 b 中插入一个数 G,使得“，G, b 版等比 数列,那么根据 等比数列的泄义，弓=纟，G2=,.我们称 G为，b的等比中项.4.等比数列的通项公式可以看作是 指数 型函数y=c(f(co,qHO).5. 等比数列的增减性(1) 当丄0 或 0彳1, 50 时，等比数列“”是递增数列.(2) 当炉

3、1,】0 或 0“1 ,山0时，等比数列“是递减数列.(3) 当。=1 时,等比数列“”是常数列.(4) 当 gO时，等比数列如是摆动数列.Zl ZHUYU - XI XUE-AN预习自测解析由题意知 f 5十 mg 十十旳二 15 , 解得7b 二 2 ,= 3aq2+ 4/ir.3 二才二 4.故选 C 3下列数列为等比数列的是（D ）A. 0 0.0,0, B. 22-42,62C(?-1)2, (G2= abG二翩.这表明：只有同号的 两项才有等比中项,并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.异号的两数没有等比 中项.反之，若 G?二“b(“bHO)，则二纟，即“，G “成等比数列

4、.所以“，G ,b成等比数aG列 OG?二ab(ab=O).跟踪练习 3若仏 2“+2,3+3 成等比数列，求实数“的值.解析因为亿加十 2,3“十 3成等比数列，所以(2“ + 2)2= “(3a + 3).解得ci=- 1 或“二-4.因为当二-1 时，5 十 2,3“ + 3均为 0 ,故应舍去故“的值为-4.命题方向 4二等比数列的应用题例题 4 某人买了一辆价值 13.5 万元的新车，专家预测这种车每年按 10%的 速度贬值.(1) 用一个式子表示第“(“WNQ 年这辆车的价值.(2) 如果他打算用满 4 年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？分析 1 根据题意，每年车的价值存在倍数关

5、系，所以能建立等比数列模型来解决.I 解析(1)从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为：5 , “2 , “3 ,，”，由题意,得尙二 13.5 , “2 二 13.5(1 - 10%),“3 二 13.5(1 - 10%)2, .2 银行储蓄复利公式:按复利计算利息的一种储蓄，本金为“元,每期的利率为/,存期 为n ,由等匕邀列走义,知数列如是等比数列，首项 5 二 13.5 ,公比q = ( -10%) = 0.9 ,：.a=-3 4= 13.5 X (0.9) J.第“年车的价值为”二 13.5 X (0.9)万元.(2)当他用满 4年时，车的价值为心二 13.5 X (0.9)5-1

6、二 8.857.用满 4年时卖掉时，他大概能得 8.857 万元.r 规律总结常见等比数列应用题模型的求解方法(1) 产值模型:原来产值的基础数为N .平均增长率为p,对于时间“的总产值y = W+则本利和y = a( +r)n.3 银行储蓄单利公式:利息按单利计算,本金为“元,每期的利率为 r ,存期为”,则本 利和y =1)的容器盛满酒精后倒岀 1 L,然后加满水，再倒出 1 L混合溶液后又用水 加满，如此继续下去，问第次操作后溶液的浓度是多少？当“=2 时，至少应倒出几次后才 可能使酒精浓度低于 10%?I 解析开始的浓度为 1，操作一次后港液的浓度是二 1 -夕设操作”次后溶液的浓度是

7、 ，则操作n十 1次后溶液的浓度是如+1二血(1 - ) 所以构成以a -1 - 土为首项，g 二 1 -+为公比的等t 黴列所以 5 二(1 -办,即第“次操作后溶液的浓度是(1 - +)当“二 2 时， 由ai =，得心 4.因此，至少应倒 4次后才可以使酒精浓度低于 10%.命题方向 5构造等比数列的技巧317h列题 5设数列“满足关系式：如=0“ + 55鼻 2), t/i = -y.求数列“”的通项公式：问数列“”从第几项开始大于 0? (ln20.301 0, lg3=0.477 1)分析求“”的通项公式可考虑构造辅助数列的方法.解析由题意，得 66r+10 = |(t/M-l+1

8、0)(M2),33数列 a十 io是首项为尙十 io二办公比为湖等比数列，- io.令0 ,即(弓)10 ,两边取常用对数,得“11 ,A(lg3 - lg2)lr即叱 1 .含5 7gN+)flg3 - lg2数列仏从第 6项开始大于 0.规律总结 题中“伽十 10”中 T0“可以用如下方法求得：令” + 2 苏”一+X),即3x .Un二伽1十亍伽常用来求已知条件形如“如】二皿十心工 1厂的递推关系的通项公式,可以证明 + P -1 为等比数列.跟踪练习 5在数列“”中,若山=1,如 1=2 為+3(”21, GNJ,求数列如的通项公式.解析令 an+i +2 =2(an十 2),与已知an+1 =2an+ 3 比较知 2 = 3,：.an+i + 3 = 2(a” + 3),.仏+ 3是首项为 5 + 3=4 ,公比为 2的等比数列,.n+ 3 = (al+ 3)X2/,-,=2n*1，.皿= 2,+ l- 3.易混易错警示：ri hun yi cuo jing shiio=|x(|r-,=(|r|s -1十 5相比较，得专二 5 ,即 x 二 10.这种方法称为“构造等阕列法”,列题 6在等比数列伽中，心 小是方程 718兀+7=0的两个根，试求r isas十 t/9 = -y 误解、的是方程 18x + 7