反证法应用举例

1、反证法应用举例 1.1.了解反证法是间接证明的一种重要的方法了解反证法是间接证明的一种重要的方法. .2.2.理解反证法的思考过程与特点，掌握反证法的步理解反证法的思考过程与特点，掌握反证法的步骤骤. .（重点）（重点）3.3.能正确应用反证法解决一些简单问题能正确应用反证法解决一些简单问题. .（难点）（难点）1.1.反证法的证题步骤是：反证法的证题步骤是：(1)(1)作出否定结论的假设作出否定结论的假设. .(2)(2)进行推理，导出矛盾进行推理，导出矛盾. .(3)(3)否定假设，肯定结论否定假设，肯定结论. .复习回顾复习回顾原词语原词语 否定词否定词 原词语原词语 否定词否定词 等于

2、等于任意的任意的是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 对所有对所有x,x,成立成立对任何对任何x x，不成立不成立2.2.一些常见的结论的否定形式一些常见的结论的否定形式. . 不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)n-1)个个至少有（至少有（n+1)n+1)个个存在某存在某x，不成立不成立存在某存在某x, ,成立成立不等于不等于某个某个()2abcaabcbabccabcdabc否定自然数 、 、 中恰有一个偶数时的正确反设为

3、 、 、 都是奇数 、 、 或都是奇数或至少有两个偶数 、 、 都是偶数 、 、 中至少有两个偶数小试牛刀小试牛刀请抢答请抢答1., ,0. , ,0. , ,0. , ,0. , ,0()a b ca a b cb a b cc a b cd a b c实 数不 全 为 是 指 均 不 为中 至 少 有 一 个 为至 多 有 一 个 为至 少 有 一 个 不 为d db b3., ,0,., ,0., ,0(., ,0., ,0)a b caa b cba b cca b cda b c用反证法证明至少有一个大于下列假设正确的是 假设都小于假设都大于假设都不大于假设中至多有一个大于4.ab两

4、直线 与 异面的否定为c ca b与 相交或平行合做探究合做探究你的地盘你做主你的地盘你做主1.请你来展示：请你来展示：要求：书写规范，步骤完整要求：书写规范，步骤完整其余同学起立讨论其余同学起立讨论1.,.2abca b c例的 三 边的 倒 数 成 等 差 数 列 ，求 证 ： b.x,y,z0,2 ,2,2,z 21yyzx例2若求证：x不可能都大于221223.,2,22.a b ca xb xcyb xcxaycxa xbx例 3 已 知是 互 不 相 等 的 实 数求 证 ：由 y和确 定 的 三 条 抛 物 线至 少 有 一 条 与轴 有 两 个 不 同 的 交 点合做探究合做探

5、究你的地盘你做主你的地盘你做主2.你来做评委：你来做评委：从规范度，完整度，正确度做出你从规范度，完整度，正确度做出你的点评的点评类型一类型一 用反证法证明直接证明难以下手的命题用反证法证明直接证明难以下手的命题1.,.2abca b c例的 三 边的 倒 数 成 等 差 数 列 ，求 证 ： b,ba, bc,21111211,+.bbb,211211+,+bb.2bacaca b cacacb证 明 ： 假 设所 以所 以所 以又 因 为的 倒 数 成 等 差 数 列 ，所 以这 与矛 盾 .所 以 假 设 不 成 立 ， 故注：注：直接证明难以下手的命题直接证明难以下手的命题，改变其思维

6、方向，改变其思维方向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。.x,y,z0,2 ,2,2,z 21yyzx例2若求证：x不可能都大于类型二类型二 用反证法证明否定性命题用反证法证明否定性命题 221,21,21,2221,202,021,221,21,2221, ,.2,221xyyzzxxyzxyzxxxxxyzxyzxyzxyyzzx【 证 明 】 假 设且均 成 立则 三 式 相 乘 有 由 于所 以同 理 0y0z三 式 相 乘 得 与 矛 盾故 假 设 不 成 立所 以，不 可 能 都 大 于注：注：否定型命题否定型命题( (命题的结论是命题

7、的结论是“不可能不可能”，“不能表示为不能表示为”，“不是不是”，“不存不存在在” ” ，“不等于不等于”，“不具有某种性质不具有某种性质”等等) ) 常用反证法常用反证法类型三类型三 用反证法证明存在性命题用反证法证明存在性命题221223., ,2,22.a b caxbxc ybxcxaycxaxbx例3已知是互不相等的实数 求证：由y和确定的三条抛物线至少有一条与 轴有两个不同的交点注注:结论出现结论出现“有且只有有且只有”、“至少至少”、“至至多多”等等 存在型命题常用反证法存在型命题常用反证法 212221222222222222,= 240= 240= 2402,2,23,xba

8、ccababcabcabbcacabab bcbc acacabcabbcac假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与 轴有两个不同的交点 则以例 证明：上三式相加得又因为互不相等，由基本不等式得相加得以上两式矛盾因此假设不成立 从而命题得证 ().10)2(1)f xababf af bfafbr1已知函数是 ，上的增函数， ，若 ，求证： ；判断中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论课堂检测课堂检测22222.x4430,x(1)0,x220,aaxaaxaaxa若三个方程至少有一个方程有实数解，求实数 的取值范围。反证法的一般步骤反证法的一般步骤: :假设命题不成立假设命题不成立引出矛盾引出矛盾假设不成立假设不成立求证的命题正确求证的命题正确假设假设归谬归谬结论结论从假设出发从假设出发得出结论得出结论与假设、已知、与假设、已知、定义、定理、定义、定理、公理或者事实公理或者事实矛盾等矛盾等回顾本节课你有什么收获？回顾本节课你有什么收获？（1）直接证明有困难）直接证明有困难正难则反正难则反!2.2.哪些命题适宜用反证法加以证明？哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一反证法是数学家最精当的武器之一” ” （2）否定性命题）否定性命题(