高数曲线积分与曲面积分总结

1、（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系第十一章：小结第十一章：小结（三）各种积分的计算方法（三）各种积分的计算方法（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分第一型曲面积分第一型曲面积分（对面积）（对面积）第二型曲面积分第二型曲面积分（对坐标）（对坐标）第一型曲线积分第一型曲线积分（对弧长）（对弧长）第二型曲线积分第二型曲线积分（对坐标（对坐标)定义定义计算计算定义定义计算计算联系联系联系联系 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiil

2、sfdsyxf10),(lim),( ldyyxqdxyxp),(),(),(),(lim10iiiniiiiyqxp 联联系系dsqpqdypdxll)coscos( 计计算算 dtyxtytxfdsyxfttl22)(),(),(三个代换)( dtytytxqxtytxpqdypdxttl)(),()(),(二代一定 (与方向有关)与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域d上上),(),(yxqyxp具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . lqdypdxd与路径无关与路径无关内内在在)1(qdyp

3、dxduyxud 使使内存在内存在在在),()3(xqypd ,)4(内内在在等等价价命命题题 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiisrdxdyzyxr)( ),(lim),(10 联联系系 rdxdyqdzdxpdydz计计 算算一投,二代,三换(与侧无关)一投,二代,三定号 (与侧有关) dsrqp)coscoscos( dszyxf),( xydyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxr),( xyddxdyyxzyxr),(,（二）（二）各种

4、积分之间的联系各种积分之间的联系定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算green公式公式stokes公式公式guass公式公式点函数点函数)(,)(lim)(10mfmfdmfnii .)()(,1 badxxfdmfbar时时上区间上区间当当.),()(,2 ddyxfdmfdr 时时上区域上区域当当积分概念的联系积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分 dvzyxfdmfr),()(,3时时上区域上区域当当.),()(,3 dszyxfdmfr时时上空间曲线上空间曲线当当.),()(,3 dszyxfdmfr时时上曲面上曲面当当曲面积分曲面积分曲

5、线积分曲线积分三重积分三重积分.),()(,2 ldsyxfdmflr时时上平面曲线上平面曲线当当曲线积分曲线积分计算上的联系计算上的联系)( ,d),(d),()()(21面元素面元素 dyyxfxdyxfbaxyxyd )( ,),(),()()(),(),(2121体元素体元素dvdzzyxfdydxdvzyxfbaxyxyyxzyxz baldsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲线元素线元素 baldxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影线元素线元素 xydyxdxdyzzyxzyxfdszyxf221),(,),(其中其中dsrqpdxdyrqdzdx

6、pdydz)coscoscos( dsqpqdypdxll)coscos( )(曲曲面面元元素素ds)(dd,dd,dd(曲曲面面元元素素投投影影平平面面元元素素yxxzzy., ,xyzxyzdddxoyxozyoz面面投投影影，得得区区域域向向把把曲曲面面.),(),(),(dxdyzyxrdzdxzyxqdydzzyxp zxxyyzddddxdyyxzyxrdzdxzxzyxqdydzzyzyxp),(,),(,),(理论上的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxfafbfdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与

7、曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系)()(的正向的正向沿沿lqdypdxdxdyypxqld 格林公式格林公式3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 rdxdyqdzdxpdydzdvzryqxp)(高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyr)()()( rdzqdypdx斯托克斯公式斯托克斯公式（三）二型（三）二型积分计算积分计算,),(,),(),(,),(),(blalyxmttytxllyxqyxp运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为

8、的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 参数法：参数法： ( , )( , ) ( ),( )( ) ( ),( )( )lp x y dxq x y dyptttqtttdt 1.1.二型二型曲线积分计算曲线积分计算格林公式：格林公式：题等价：题等价：内连续，则下述四个命内连续，则下述四个命一阶偏导数在一阶偏导数在及其及其是平面单连通区域，是平面单连通区域，设设定理定理dyxqyxpd),(),(2.),(,)4(dyxypxq ;),(,),(3dyxqdypdxduyxu 使得使得存在二阶连续可导函数存在二阶连续可导函数）（内与积分路径无关；内与积分路径无关；在在d

9、qdypdxl )2(; 0,1 lqdypdxld内内任任意意一一条条闭闭路路径径对对）（积分与路径无关：积分与路径无关：定理定理 设设 为分段光滑的空间有向闭曲线为分段光滑的空间有向闭曲线, , 是以是以 为边界的分片光滑的有向曲面为边界的分片光滑的有向曲面, , 的正向与的正向与 的侧符合右手规则的侧符合右手规则, , 函数函数),(zyxp, ,),(zyxq, , ),(zyxr在包含曲面在包含曲面 在内的一个空间区域内具有在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数, , 则有公式则有公式 dxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyr)()()( rdzqdypdx ：

10、 ),(yxfz xydxyzon.,., ,重积分重积分化为三个坐标面上的二化为三个坐标面上的二进行三个代换进行三个代换面投影，得区域面投影，得区域向向把曲面把曲面xyzxyzdddxoyxozyoz2.2.二型二型曲线积分计算曲线积分计算投影法投影法dszyxr cos),( xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr),(,),( ,1 ,yxzzn ,0cos 取取上上侧侧，若若公公式式得得由由第第一一类类曲曲面面积积分分计计算算 dxdyzyxr),( 积积分分进进行行三三个个代代换换化化为为二二重重注：注：“一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号”xydxoy )1(面面投投影影

11、，得得区区域域向向把把曲曲面面.),()2(代代入入被被积积函函数数的的方方程程把把曲曲面面yxfz .)3(符符号号取取正正号号dxdyzzdszzyxyx22221 ,11cos , 0cos, 取取下下侧侧若若 xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr),(,),(则则有有给给出出由由如如果果,),(.2zyxx yzddydzzyzyxpdydzzyxp,),(),(则则有有给给出出由由如如果果,),(. 3xzyy zxddzdxzxzyxqdzdxzyxq),(,),(注意注意:(1):(1)对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .注：

12、注：“一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号”xydxoy 面面投投影影，得得区区域域向向把把曲曲面面yzdyoz 面面投投影影，得得区区域域向向把把曲曲面面xzdxoz 面投影，得区域面投影，得区域向向把曲面把曲面(2)若投影域面积是零，则积分值是零。若投影域面积是零，则积分值是零。 . 0,pdxdyz则则轴轴的的柱柱面面是是母母线线平平行行于于若若).10 ,0,0( ,1:);10( ,1:,)1(2221 zyxyxzyxdxdyyxi例例如如积积分分.0,021 xyzo n1 2 .cos,cos,cosdsdxdydsdzdxdsdydz xyodszdsdydzcos dsdxdycos ( , , )( , , )( , , ).p x y z dydzq x y z dzdxr x y z dxdy dsdxdz cos .cos,coscos,cosdsdxdydsdzdxdsdydz ),(yxzz 方程：方程：设曲面设曲面 yxzyxryxzyxqyxzyxpdd),(ddcoscos),(ddcoscos),( ( (三合一投影法）三合一投影法）( , , )d d( , , )d d( , , )d dxyp x y z zx