第5章点的合成运动习题解答080814

1、第五章 点的合成运动本章要点一、绝对运动、相对运动和牵连运动一个动点，两个参照系： 定系，动系；三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动，包括三种速度：绝对速度、相对速度和牵连速度； 三种加速度：绝对加速度、相对加速度和牵连加速度； 牵连点：动参考系上瞬时与动点相重合的那一点称为动参考系上的牵连点。二、速度合成定理动点的绝对速度，等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即解题要领1 定系一般总是取地面，相对定系运动的物体为动系，动点不能在动系上.2 牵连速度是牵连点的速度.3 速度合成定理中的三个速度向量，涉及大小方向共六个因素，能且只能存在两个未知数方能求解，因此，至少有一个速度向量的大小

2、方向皆为已知的.4 作速度平行四边形时，注意作图次序：一定要先画大小方向皆为已知的速度向量，然后再根据已知条件画上其余两个速度向量，特别注意，绝对速度处于平行四边形的对角线位置.5 用解三角形的方法解速度合成图.三、加速度合成定理1 牵连运动为平移时的加速度合成定理当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，即 ，当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成其中 ，依次为绝对轨迹、牵连轨迹和相对轨迹的曲率半径。解题要领1牵连运动为平移时的加速度合成定理只对“牵连运动为平移时”成立，因此，判定牵连运动是否为平移至关重要.2 牵连

3、运动为平移时的加速度合成定理涉及的三个加速度，每一加速度都可能有切向和法向加速度。但是，法向加速度只与速度有关，因此，可以通过速度分析予以求解，从而在此处是作为已知的。剩下的三个切向加速度的大小方向共有六个因素，能且只能有2个未知量时方可求解。3 因加速度合成定理涉及的矢量较多，一般不用几何作图的方法求解，而是列投影式计算，千万不能写成“平衡方程”的形式。4 在加速度分析中，因动点和动系的选择不当而出现了一种似是而非的分析过程。教材中例5.3.5的一个典型错误解法如下：例：半径为r的半圆凸轮移动时，推动靠在凸轮上的杆OA绕O轴转动，凸轮底面直径DE的延长线通过O点，如图所示。若在的图示瞬时位置

4、，已知凸轮向左的移动速度为u，加速度为且与u反向，求此瞬时OA杆的角速度与角加速度。（a） (b) “解”：取OA杆上与凸轮相接触的B点为动点，动系固结在凸轮上。设OA杆的角速度和角加速度分别为w 和a。1）速度分析：根据速度合成定理，可画出速度平行四边形如图所a示。由几何关系可得, 方向如图所示。由此可求得OA杆在图示瞬时的角速度为，转向如图所示。2） 加速度分析：根据牵连运动为平移时的加速度合成定理，有 大小： ？ ？ 方向： 指向O点 指向C点加速度矢量关系图如图b所示。在这个矢量关系式中，各加速度分量的大小、方向共有十个要素，已知八个要素，可以求解。将图示的加速度矢量关系向CB方向投影

5、，得，为负值说明的真实指向应与图设的指向相反。由此，可求得OA杆在图示瞬时的角加速度的大小为 ，转向如图所示（由的真实指向决定）。上述解法是“避免 ”了取OA 杆为动系时出现的科氏加速度，错在何处？这不难从杆OA 的转动方程 ，对时间求导求得OA 杆的角速度和角加速度值得到验证，式中。可以看到，速度分析的结果是正确的，而加速度分析结果是错误的。原因是“取OA杆上与凸轮相接触的B点为动点”，此动点只在此瞬时与凸轮相接触，随后就分道扬镳了，其相对轨迹不是凸轮轮廓线，相对轨迹不清楚，因此，上面分析中用凸轮轮廓线的半径作为相对轨迹的曲率半径的计算是错误的。2 牵连运动为转动时的加速度合成定理牵连运动为

6、转动时点的加速度合成定理：当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度，等于该瞬时动点的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和，其中科氏加速度为，当相对速度矢量与牵连角速度矢量垂直时，相对速度顺着牵连角速度转的方向就是科氏加速度的方向，大小为.当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成.解题要领：1 在加速度分析中要特别注意动系是否有角速度，如果有，就要考虑科氏加速度。2 牵连运动为转动时的加速度合成定理涉及的矢量较多，最多有7个矢量，分析和列投影式时不要遗漏了。3 法向加速度和科氏加速度只与速度和角速度有关，因此，在加速度分析时应作为是已知的。4 牵连运

7、动为转动时的加速度合成定理只可以解2个未知量。第五章 点的合成运动 习题解答 (a)( b)题5-1图5-1 在图a、b所示的两种机构中，已知mm，rad/s。求图示位置时杆的角速度。解：（1）取杆上的点为动点，杆为动系。，由作速度平行四边形（如题5-1图a所示），得 ， （逆时针）（2）取滑块为动点，杆为动系， ，由 作速度平行四边形（如题5-1图b所示），得，.（逆时针）题5-2图5-2图示曲柄滑道机构中，杆BC为水平，杆DE保持铅直。曲柄长m，并以匀角速度rad/s绕O轴转动，通过滑块A使杆BC作往复运动。求当曲柄水平线的交角分别为、时杆BC的速度。解：取滑块A为动点，动系为BCE杆。.

8、由 得 当 时， ；当时，；当时， .5-3图示曲柄滑道机构中，曲柄长，并以匀角速度饶O轴转动。装在水平杆上的滑槽DE与水平线成角。求当曲柄与水平线交角、时，杆BC的速度。解：取滑块A为动点，动系为杆BC，. 作速度矢量图如图示。题5-3图 由正弦定理 ， 解得.当时， ；当时， ；当时， (向右).题5-4图5-4如图所示，瓦特离心调速器以角速度绕铅垂轴转动。由于机器转速的变化，调速器重球以角速度向外张开。如该瞬间，。球柄长，悬挂球柄的支点到铅垂的距离为，球柄与铅垂轴间所成的夹角。求此时重球绝对速度的大小。解：取重球为动点，转轴AB为动系，则 ，方向如图示；牵连速度，方向与ADB垂直。根据，

9、 由勾股定理得 .题5-5图5-5图示L形杆BCD以匀速v沿导槽向右平动，。靠在它上面并保持接触的直杆OA长为l，可绕O轴转动。试以x的函数表示出直杆OA端点A的速度。解： 以L形杆上的B为动点，OA杆为动系，则动点相对于动系做直线运动。，设为，由速度合成定理得 ，由此可求得. 也可以利用以下关系解出。由，.题5-6图5-6如图所示，摇杆OC绕O轴转动，拨动固定在齿条AB上的销钉K而使齿条在铅直导轨内移动。齿条再传动半径mm的齿轮D。连线是水平的，距离 mm。在图示位置，摇杆角速度rad/s，。试求此时齿轮D的角速度。解： 解法一：分两步计算。（1）计算齿条AB的速度。取K为动点，OC杆为动系

10、，则. 由速度合成定理得：， （2）计算齿轮D的角速度。 .（逆时针）解法二：设齿轮D和齿条AB的啮合点到K点的距离为，则 ，从而有，代入数据，.其中负号表示是沿减小的方向，即向下。齿轮D的角速度为 .（逆时针）题5-7图5-7绕轴O转动的圆盘及直杆OA上均有一导槽，两导槽间有一活动销子M如图所示，。设在图示位置时，圆盘及直杆的角速度分别为和。求此瞬时销子M的速度大小。解： 取销子M为动点，分别将动系1，2固结在盘和杆OA上，则，方向与OA垂直. 由速度合成定理， ，故 ，将此式向水平方向投影，得 由此解出 题5-8图，代入数据得 ，所以销子速度.5-8如图所示，曲柄长mm，以等角速度rad/

11、s绕O轴逆时针转动。曲柄的A端推动水平板B，使滑杆C沿铅直方向上升。当曲柄与水平线间的夹角时，试求滑杆C的速度和加速度。解： 选OA杆的A点为动点，水平板B为动系，它做平移动。（1） 速度分析. ，由作速度平行四边形， 代入数据，. 方向向上（2） 加速度分析. ，由画加速度如图所示，代入数据， 方向向下 5-9 半径为R的半圆形凸轮D以等速沿水平线向右运动，带动从动杆AB沿铅直方向上升，如图所示。求，AB杆的速度和加速度。解： OA杆的A点为动点，凸轮为动系，它做平移.（1）速度分析. ，由作速度平行四边形，得题5-9图 ，代入数据，（2）加速度分析. ，由牵连运动为平移时的加速度合成定理为

12、 ，向凸轮的法向轴投影，解得，负号表示所画的绝对加速度方向与实际相反，即与所画速度方向相反。题5-10图5-10如图所示，半径为R的半圆形凸轮D以等速在水平面上滑动，长为的直杆 OA可绕O轴转动。求图示瞬时A点的速度与加速度，并求OA杆的角速度与角加速度。解：OA杆的A点为动点，凸轮为动系，它做平移.（1）速度分析. ，根据作速度平行四边形， 由正弦定理得 ，解得 ，其中角由正弦定理 ，求得，从而. , (逆时针). .（2） 加速度分析. ，.根据牵连运动为平移时的加速度合成定理 向凸轮的法向轴列投影式，其中. 解得 ， ，（顺时针）.5-11 如图所示，带滑道的圆轮以等角速度绕O轴转动，滑

13、块A可在滑道内滑动，已知，在图示瞬时，且，试求此瞬时：（1）滑块相对于圆轮的速度和加速度；（2）曲柄的角速度及角加速度。题5-11图解： 取杆的A点为动点，圆轮为动系，它作定轴转动.（1） 速度分析. ，.由，经过速度合成图分析可以看出 .其中 ，代入上式，得 ，.曲柄的角速度，顺时针方向.（2）加速度分析.，由牵连运动为定轴转动时的加速度合成定理 ，分别向水平和铅垂轴投影 ，解得：，.(方向向上). 曲柄的角加速度 ，(逆时针).题5-12图5-12 如图所示杆绕轴以等角速度转动，连杆一端的滑块B以等速沿滑槽运动，AB杆长为.试求图示瞬时AB杆的角速度和角加速度.解： 若以A点为动点，AB为

14、动系，则A点作合成运动。但AB杆作平面运动，平面运动刚体上点的速度和加速度分析要在第六章中学习，因此，这题我们用第四章讲述的方法解。 设在任意位置，杆AB和杆与水平线夹角分别为，如图示。按正弦定理得 ， (a)上式等号两边同时对时间求导，注意到， (b)得 ，（顺时针）. （a）式等号两边同时对时间求2次导，注意到（b）式和，得题5-13图b）点的加速度合成图，顺时针.5-13如图所示，杆OA绕定轴O转动，圆盘绕动轴A转动。一直杆长m，圆盘半径m，在图示位置，杆的角速度和角加速度为rad/s，圆盘相对于杆OA的角速度和角加速度为rad/s，。求圆盘上和点的绝对速度及绝对加速度。解： （1）动点

15、：圆盘上点；动系： OA杆。则OA延长线与重合的点为牵连点。可得 ，方向为垂直逆时针方向。又 ,方向与平行而反向。点的速度合成图 ,方向与相同。 点的加速度合成图如图b) ，其中 ； 由牵连运动为定轴转动时的加速度合成定理 ，得 ,点的加速度合成图(2) 动点：圆盘上点；动系： OA杆。OA杆的刚性延伸，与点重合的点为牵连点，有 ，速度合成图如图示，图中 由速度合成定理得 .作点的速度合成图如图示，其中 ，.加速度合成定理 ，得， ，由勾股定理，得 .5-14图示圆盘绕水平轴AB转动，角速度为rad/s，盘上M点沿半径方向槽按的规律运动（单位为mm，单位为s）。OM与AB轴成倾角。求当s时，M

16、点的绝对加速度的大小。解： 题5-14图取点M为动点，圆盘为动系，计算 时刻取值，得到M点在该瞬时的位置，相速度和相对加速度：，以及圆盘在该瞬时的角速度，角加速度：取坐标系如图示，与盘面重合，且轴为转轴，垂直盘面. 对点M作加速度分析如图，加速度合成定理为，其中，与轴同向平行；，与轴反向平行；，与轴同向平行；于是有 ； ； ，由此解出. 题5-15图5-15曲柄OBC绕O轴转动，使套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动，如图所示。已知mm，OB垂直于BC，曲杆角速度rad/s。求当时，小环M的速度和加速度。解：取小环M为动点，直角杆为动系.M点的速度和加速度图1） 速度分析. 根据速度合成定理 作出速度平行四边形，如图示，其中 ，由此解出 .2）加速度分析. 根据加速度合成定理，作出加速度图，如图示，其中 ，向与BC垂直的轴投影，有 ， 解得 .题5-16 图5-16 一牛头刨床的机构如图所示。已知mm，匀角速度rad/s。求图示位置滑枕CD的速度和加速度。解：1）速度分析（图a）。先取的点为动点，为动系，设。由速度合成定理，点的速度为 ，其中