直线与圆圆与圆的位置关系新题培优练

1、刷好题基础题组练1. (2019陕西榆林二校联考)圆X + y2 + 4x 2y+ a = 0截直线x+ y 3 = 0所得弦长为2, 则实数a等于()A. 2C. 4解析：选D.由题知，圆的标准方程为(x+ 2)2 + (y 1尸=5 a,所以圆心为(2, 1)，半 径为，5 a，又圆心到直线的距离为 |2+23|=" ，所以 2 ( 5 a) 2 ( 2 2= 2, 解得a= 4.2. 已知圆 C： x2 + y2 2x 2my+ m2 3= 0关于直线I : x y+ 1 = 0对称，则直线 x = 1与圆C的位置关系是()A .相切B .相交C.相离D .不能确定解析：选A.

2、由已知得C: (x 1)2 + (y m)2= 4,即圆心C(1, m),半径r = 2,因为圆C 关于直线I: x y+ 1 = 0对称，所以圆心(1, m)在直线I: x y+ 1 = 0上，所以m= 2.由圆心 C(1, 2)到直线x= 1的距离d = 1+ 1 = 2 = r知，直线x= 1与圆C相切.故选 A.3. 已知圆01的方程为x2 + y2= 4,圆。2的方程为(x a)2 + y2 = 1,如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是()A . 1 , 1B . 3 , 3C. 1 , 1, 3, 3D. 5 , 5, 3, 3解析：选C.因为两圆有且只有一

3、个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|= 1,外切时，|a|= 3，所以实数a的取值集合是1 , 1, 3, 3.4. 已知圆 C： (x 1)2+ y2= r2(r>0)，设条件p： 0<r<3，条件q :圆C上至多有2个点 到直线x 3y+ 3= 0的距离为1，贝U p是q的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选C.圆心C(1, 0)到直线x 3y + 3= 0的距离d = 2.若圆C上至多有2个点到直 线x 3y+ 3 = 0的距离为1,则0<r<3，所以p是q的充要条件.5. 若直线y = 2与圆

4、x2+ y2 2x= 15相交于点A, B，则弦AB的垂直平分线的方程为.解析：圆的方程可整理为(x 1)2+ y2= 16,所以圆心坐标为(1 , 0)，半径r = 4，易知弦AB的垂直平分线l过圆心，且与直线 AB垂直，而kAB =-2，所以ki = 2由点斜式方程可得直线I的方程为y 0 = 2(x 1)，即y= 2x-2.答案：y= 2x 26. 在平面直角坐标系中，A, B分别是x轴和y轴上的动点，若以 AB为直径的圆C与直线2x+ y 4= 0相切，则圆C面积的最小值为 .解析：因为/ AOB= 90°,所以点 O在圆C上设直线2x+ y 4= 0与圆C相切于点 D，则点

5、C与点O间的距离等于它到直线 2x+ y 4= 0的距离，所以点 C在以O为焦点， 以直线2x+ y 4= 0为准线的抛物线上，所以当且仅当 O, C, D共线时，圆的直径最小为QD|.又|OD|= |2X 爲0- 4| =希，所以圆C的最小半径为；，所以圆C面积的最小值为n答案：4 n57. 已知圆C : (x 1)2+ (y+ 2)2= 10,求满足下列条件的圆的切线方程.(1) 过切点 A(4, 1);(2) 与直线12： x 2y+ 4= 0垂直.2 + 1 1解: (1)因为kAc=1所以过切点A(4, 1)的切线斜率为3，所以过切点A(4,1 431)的切线方程为 y+ 1 = 3

6、(x 4)，即 3x+ y 11 = 0.设切线方程为 2x+ y+ m= 0，则m= 10，所以 m= ±5/2，所以切线方程为2x+ y± , 2 = 0.&已知圆C经过点A(2, 1)，和直线x+ y= 1相切，且圆心在直线 y= 2x 上.(1) 求圆C的方程；(2) 已知直线l经过原点，并且被圆 C截得的弦长为2，求直线l的方程.解：(1)设圆心的坐标为 C(a, 2a),则寸(a 2) 2+( 2a+ 1) 2 = |a-黑-1 .化简，得 a2 2a+ 1 = 0，解得 a = 1.所以 C(1, 2)，半径 |AC|= . (1 2) 2+( 2 +

7、 1) 2 = 2.所以圆C的方程为(x 1)2+ (y+ 2)2= 2.当直线I的斜率不存在时，直线I的方程为x = 0,此时直线I被圆C截得的弦长为2, 满足条件.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y= kx,由题意得-1k+ 2| = 1,+ k23解得k= 3,4所以直线l的方程为y条综上所述，直线I的方程为x= 0或3x+ 4y= 0.综合题组练1. （2019贵州黔东南联考）在厶ABC中，若asin A + bsin B csin C= 0,则圆C: x2 + y2=1与直线I: ax+ by+ c= 0的位置关系是（）B 相交A 相切C.相离D .不确定解析：选 A.因为 a

8、sin A + bsin B csin C= 0,所以 a2 + b2 c2= 0，故圆心 C(0, 0)到直线 I: ax+ by + c= 0 的距离 d = = 1，故圆 C： x2 + y2= 1 与直线 l: ax + by+ c= 0 相 Qa2+ b2切.2.已知直线3x+ 4y 15 = 0与圆O: x2 + y2= 25交于A, B两点，点C在圆O上，且Saabc= 8，则满足条件的点C的个数为（）C. 3解析：选C.圆心O到已知直线的距离为 d= J= 3,因此|AB|= 2寸52 32 = 8,设寸32+ 42*1点C到直线 AB的距离为h，贝U Saabc = x 8X

9、 h = 8, h= 2,由于d+ h= 3 + 2 = 5= r(圆的半 径），因此与直线 AB距离为2的两条直线中的一条与圆相切，一条与圆相交，故符合条件 的点C有三个.3. （2019洛阳市统考）已知直线x+ y 2= 0与圆O: x2+ y2= r2（r>0）相交于A, B两点,C为圆周上一点，线段 OC的中点D在线段AB上，且3AD = 5DB，贝V r =解析：如图，过O作OE丄AB于E,连接OA,则|OE|=羽,易知|AE|= |EB|,不妨令 AD|= 5m(m>0),由 3AD = 5DB可得：|BD|= 3m, |AB|= 8m,则 |DE|= 4m 3m =

10、m,1 2在 Rt ODE 中，有？r = ( .2)2+ m2,在 Rt OAE 中，有 r2= ( 2)2+ (4m)2 ,联立，解得：r = v 10.答案：104. (2019黑龙江大庆诊断考试)过动点P作圆：(x 3)2+ (y 4尸=1的切线PQ，其中Q 为切点，若|PQ|= |PO|(O为坐标原点)，则|PQ|的最小值是 .解析：由题可知圆(x 3)2+ (y 4)2 = 1的圆心N(3, 4).设点P的坐标为(m, n),则|PN|2 =|PQ|2 + |NQ|2= |PQ|2+ 1，又 |PQ|= |PO|,所以 |PN|2=|PO|2+ 1,即(m 3)2+ (n 4)2=

11、 m2 + n2 + 1,化简得3m+ 4n = 12,即点P在直线3x+ 4y= 12上，则|PQ|的最小值为点 O到直线12 123x+ 4y= 12的距离，点O到直线3x+ 4y= 12的距离d="5，故|PQ|的最小值是.答案：乎55已知点P(2, 2)，圆C: x2 + y2 8y= 0,过点P的动直线I与圆C交于A, B两点, 线段AB的中点为M , O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；当|OP|= |OM|时，求I的方程及厶POM的面积.解：(1)圆C的方程可化为x2+ (y 4)2= 16，所以圆心为C(0, 4)，半径为4.设 M(x, y),则 CM = (x,

12、y 4), IMP = (2 x, 2 y).由题设知 CM MP = 0,故 x(2 x)+ (y 4)(2 y) = 0, 即(x 1)2+ (y 3)2= 2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x 1)2+ (y 3)2= 2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点 N(1 , 3)为圆心，.2为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上，从而ON丄PM.1因为ON的斜率为3,所以I的斜率为一-,3故I的方程为y= fx+ 3.又|OM|=|OP|= 2 2, O到I的距离为土尹，|PM|= 2 . (2.2) 2- 4510 =牛。，所以 POM的

13、面积为歿.56.(综合型)(2019湖南东部六校联考)已知直线1: 4x+ 3y + 10= 0,半径为2的圆C与I 相切，圆心 C在x轴上且在直线I的右上方.(1) 求圆C的方程；(2) 过点M(1, 0)的直线与圆 C交于A, B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分/ ANB ?若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设圆心 C(a, 0)(a> 5)，则 |4a；10|= 2? a = 0或 a=-5(舍).所以圆 C: x2 + y2= 4.当直线AB丄x轴时，x轴平分/ ANB，此时N点的横坐标恒大于 0即可.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y= k(x- 1), N(t, 0), A(X1, y1), B(x2, y2),x2 + y2= 4由得，(k2+ 1)x2-2k2x+ k2-4= 0