【精品】高中数学必修一对数及对数运算讲义_知识讲解+巩固练习(含答案)_基础

1、对数及对数运算【学习目标】1. 理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；2. 了解常用对数与自然对数的意义；3能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明5能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用【要点梳理】要点一、对数概念1. 对数的概念如果ab N a 0,且a 1 ,那么数b叫做以a为底N的对数，记作:log aN=b.其中a叫做对数的底数，N 叫做真数.要点诠释：对数式log aN=b中各字母的取值范围是：a>0且al, N>0, b R.2. 对数loga N a 0，且a

2、1 具有下列性质：(1)0 和负数没有对数，即N 0；(2)1 的对数为0，即loga1 0；3. ) 底的对数等于1，即 loga a 1.3两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，logio N简记作lg N .以e (e是一个无理数，e 2.7182 )为底的对数叫做自然对数，logeN简记作lnN.4对数式与指数式的关系由定义可知: 对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.对数式对数指数式 指数产真数lo&N=bII底数由此可见a, b, N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化 要点二、对数的运算法则已知 loga

3、M,logaN a 0且a 1, M、N 0(1)正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和;loga MN loga M loga N推广：logaN1N2LNklogaN1loga N2 L loga Nk N1、N2、L、Nk0(2)两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；,M .lOga lOga M lOga N(3)正数的幕的对数等于幕的底数的对数乘以幕指数；loga M loga M要点诠释：(1)利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存 在时等式才能成立.如：10g 2(-3)(-5)=log 2(-3)+log 2(-5)是不成立

4、的，因为虽然10g 2(-3)(-5) 是存在的，但10g 2(-3)与log 2(-5)是不存在的.(2)不能将和、差、积、商、幕的对数与对数的和、差、积、商、幕混淆起来，即下面 的等式是错误的：log a(M N) = log aM log aN,log a(M - N) = log aM- log aN, M log a M log a N loga N要点三、对数公式1 .对数恒等式：abNloga N baioga N2 .换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在 a>0, a*1, M>0的前提下有：(1) logaM log n M n (n R) a令

5、logaM=b,则 有 ab=M,(ab)n=M ,即(an)b M n , 即 b log an Mn ,即:loga M log n M n. a(2) loga M logcM (c Qc 1), 令 logaM=b, 则 有ab=M , 则 有logcalogc ablog c M (c 0,c 1)log c Mlog c M即 b log c a log c M , 即 b ,即 logaM (c 0, c 1)log c alogca当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而 且由(2)还可以得到一个重要的结论：logablog ba

6、(a 0, a 1,b 0, b 1).(1) 10g 2(x【答案】(1)【解析】(1)由题意x 5(2)由题意0,0,且x1 1,2,1,且xx2,1,且 x 2.【典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x的取值范围:25) ; (2) 10g(x 1)(x 2) ； (3) 10g仪 1)(x 1).x 5; (2) x 1,且x 2； (3) x 1 且x 0,x 121 1,(3)由题意(x ),x 1 0,且 x解彳x x1且x 0,x 1 .【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大 于零且不等于1.举一反三：【变式1】函数y log2

7、x 1(x 2)的定义域为.1 一【答案】x | x 一且x 12类型二、指数式与对数式互化及其应用例2.将下列指数式与对数式互化：3,L、C 11 小、12c 10g216 4; 10g1273;(3)logpx 3; (4) 5125; (5) 2- ; (6) -9.323【解析】运用对数的定义进行互化.3-413,、，、,1,(1) 2 16;(2) -27;(3) V3x;(4)1og5125 3;(5)1og2二 1;(6)1og192.323【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互 化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式11求下列各式中x

8、的值：1 2(1) 10gl6x- (2) 1og x8 6 (3)1g1000=x (4)-21n e x【答案】(1) 1 ； (2)艮(3) 3; (4) -4 .4【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幕的运算性质求出x.1 112 ()(1) x (16) 2(4 2) 2 4 24 1 1 ;411J )(2) x6 8,所以 x (x6)6 (8)6 (23)6 22、5;10x=1000=1d,于是 x=3;x(4)由 21n e2 x,得-1n e；即 e 2 e2 所以 x4 .2高清课程：对数及对数运算例1【变式2】计算：log24;log 28;log 232并比较.【

9、解析】log 2 4 log 2 22 2;34log 2 8 log2 23;一一 , 二5 一log 2 32 log2 25 .类型三、利用对数恒等式化简求值例3.求化7110g75【答案】35【解析】7110g75 7 710g75 7 5 35.【总结升华】对数恒等式alogaN N中要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数 形式；其值为真数.举一反三：【变式 11 求 alogab10gbclogcN 的值（a, b, cCR+,且不等于 1, N>0）【答案】N【解析】将幕指数中的乘积关系转化为幕的幕，再进行运算loga b 10gbe logcN.ogab)logb cl

10、ogc N(b10gbeloglogc N c类型四、积、商、幕的对数高清课程：对数及对数运算例3x2. y3z例4.用l0ga x,l0g a y,l0g a z表示下列各式logaX；(2)log a(x3y5);(3)log a 色;(4)log zyz【解析】(1) loga 过 logaX loga y l0ga Z ； z35、，3.5(2) loga(x y ) loga X loga y 3log a x 5log a y ；l0ga l0ga Vx l0ga(yz) 1 loga x l0gaY loga z ； yz2(4)x . y2、，31.1.loga=loga(x

11、y)logaVz2l0g a x- log ay二loga z.3z23【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径， 因此我们必须准确地把握它们.在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注 意积、商、幕的对数运算对应着对数的和、差、积得运算.举一反三：【变式11求值2(1) 210g 5 25 310g 2 64 810g1。1(2)lg2 lg50+(lg5)(3)lg25+lg2lg50+(lg2)【答案】(1) 22; (2) 1; (3) 2.【解析】(1) 210g 5 25 310g 2 64 810g /2 10g 5 52 310

12、g 2 26 8 0 4 18 0 22. 原式=1g2(1+1g5)+(1g5)2=1g2+1g21g5+(1g5) 2=1g2+1g5(1g2+1g5)=1g2+1g5=1(3)原式=21g5+1g2(1+1g5)+(1g2)2=21g5+1g2+1g21g5+(1g2)2=1+1g5+1g2(1g5+1g2)=1+1g5+1g2=2.类型五、换底公式的运用例 5.已知 10g18 9 a,18b 5 ,求 10g3645.答案圣2 a【解析】解法一：Q 10g18 9 a,18b 5,10g第5 b,a b a b一 18 2 a 1 10g18G9于是 10g36 45 10g遂10g

13、18(9 5)10g189 10g18510g1836 10g18(18 2)1 10g182解法二：Q 10g18 9 a,18b 5 ,10gl85 b ,于是 10g 36 4510g18 4510g 18(9 5)_ 210g18 361810g18 910g18 9 10g18 5a b210g 18 18 10g18 92 a解法三：Q 10g18 9 a,18b5,1g9a1g18,1g5b1g18 ,10g 36 45lg 45 1g361g(9 5)1g1821g9 1g5a1g18 b1g18a b21g18 1g921g18 a1g182 a解法四：Qlog189 a,1

14、8a 9.又Q18b 5, 45 5 9 18bgi8a 18ab.令 log 36 45 x,则 36x 45 18a b ,2即 36x (yg18)x 18a b,(!)x 18ab182 xlog18 a b.9a b a bx 2.log18 18 log18 92 a【总结升华】(1)利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用 对数运算的性质.(2)题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形 式.(3)解决这类问题要注意隐含条件" logaa 1”的灵活运用.举一反三：1【变式 1】求值:(1) (log 4 3 log8

15、3)(log32 log 9 2) ； (2) log 8 9 log 27 32 ; (3) 910g3 5o2(2log35) O1log3 25eg3五 3【答案】(1) 5; (2) ; (3)4925【解析】(1) (log 4 3 log8 3)(log3 2 皿2)25535- log2 3 -log3 2 "log23 log2 3log32()(log3223221g 3 51g 2103lg2 3lg39法lg 9 lg 32 log8 9 log 27 32Xlg8 lg 271一110g352 1og9 259 2# 929299910g925325类型六、对

16、数运算法则的应用例6.求值,1 ,1 ,1log64 32 log2 log3- log5- 2589lg14 2lg 7 lg7 lg18 3,，.3log 2(log2 32 log 1 - log4 36)42log2125 log4 25 logg5 (log3g 唠254logs2)【答案】(1) -10; (2) 0; (3) 3; (4) 13【解析】(1)原式= log26 2510g2 5 210g3 2 310g5 3 210(2)原式= lg(2 7) 2(lg7 lg 3) lg7 lg(32 2)=lg 2 lg7 2lg7 2lg3 lg7 2lg3 lg 2 0原

17、式= log2(5 log - 1 - 10go2 62) log 2(5 10g 2 32 424113原式 (3log25 10g2 5 log2 5)(310g5 2) 一 33log 2 6) log2 8 3310g 5210g 2 5 13举一反三:【变式U计算下列各式的值“、2 2 _(1) lg52 21g8 lg5glg20 lg2 3【答案】(1) 3; (2) 1.23；(2) (lg 2)一 一, 一 ，一、 3 3lg 2gg5 (lg5).【解析】（1）原式=2lg5 2lg2lg5(2lg 2 lg5).八2 八一 2lg2 =2lg10 (lg 5 lg 2)

18、=2+1=3;(2)原式=lg22lg5 lg2一 一一 _ 2lg 2gg 5 (lg 5) +3lg 2gg5 = lg 22 2lg 2gg5 (lg5)2lg2【变式2】求信:71g2 J、*7(2)【答案】271og7 2【解析】71g2（广7E71 1g 1g（-） 10 1g m ,22=m,即 71g21 1g-7（2）102（1）1g7 1（7% 2）1og710（ 1）1og710 （1）1（2 1）1og710 22222222.另解：设 71g 2 （1a=m （m>0）. . . 1g 71g 227.1,lg2lg7 1g而" lgm，' l

19、g2lg7 （lg7 1）（ lg2） lgm，【巩固练习】1 .下列说法中错误的是（）A.零和负数没有对数B.任何一个指数式都可化为对数式C.以10为底的对数叫做常用对数D.以e为底的对数叫做自然对数2 .有以下四个结论： 1g（1g10）=0 ； 1n（1ne）=0 ；若 10=1gx ,贝U x=10；若 e=1nx , 则x=e2,其中正确的是（）A.B.C.D.3 .下列等式成立的有（） 1g，2;10g33石 3; 210g25 5 ;e1ne 1; 31g3 3;1002A. B.C.D.4 .对数式1oga2（5 a） b中，实数a的取值范围是（）A. ,5 B. 2,5 C.

20、 2,3 U 3,5 D. 2,5 .若a 0,a 1,则下列说法正确的是（）若 M N,贝 U1ogaM 1ogaN;1ogaM 1ogaN,贝 UM N;小.2222 loga M log a N ，贝u M N ;右 M N ,贝U log a M log a N oA. B. C. D. 6.已知3a2,那么10g38 210g 3 6用a表示是（）A. a 2B. 5a 2 C. 3a (1 a)2D. 3a a27.已知x2A. m n2y i,xB.0, y 0,且 loga(1 x) m,loga-1 xm n C. 1 m n D.2n,贝lloga y等于(1 m n28

21、.若 y log5 6 10g6 7 10g 7 8 logs 9 log 910 ,则(A. y (0,1) B. y (1,2) C. y (2,3) D. y (3,4)9.3的 次幕等于8._ 41 2x 一10 .右 log3 1,贝U x= 。911 .若 loga2 m,log a 3 n, a2mn ；1 112. 若 2a5b 10,则1 1 oa b13. (1)设 10g 3 4 log 4 8 log8 m log 416 ,求 m；(2)已知10gl4 2 a ,用a表示log万7。214.计臂 21g 2 lg3 111 31g0.36 -1g8【答案与解析】|1.【答案】B【解析】由对数的概念知，指数式ax中，只有a 0,且a1的指数式才可以化为对数【解析】由1ogaa 1,1oga 1 0知正确3.【答案】B【解析】1g1001g10 22；以原式= lg2 lg5 1。4 .【答案】C5 a 0,【解析】 由对数的定义可知 a 2 0,所以2 a 5且a 3,故选Ca 2 1,5 .【答案】C【解析】 注意使logaM log a N成立的条件是 M N必须为正数，所以不正确，而是正确的，故选Co6 .【答