微积分授课课件：12-6二阶常系数线性非齐次方程

1、第六节 二阶常系数线性非齐次方程xmxPqyypy e )( 非齐次线性方程非齐次线性方程的特解的特解: :试解：试解：设非齐次方设非齐次方 程特解为程特解为,e )(xxQy 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 0 2 qp 则则),()( , )()(xQxQxPxQm 设设的的次次数数相相同同与与则则可可取取是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(, 0 2 qp 则则, 02 p ),()(xxQxQm 可设可设;e )(xmxQy ;e )(xmxxQy )3(是是特特征征方方程程的的重

2、重根根，若若 , 0 2 qp 则则, 02 p ),()(2xQxxQm 可可设设综上讨论综上讨论,)(exQxymxk 设设 ., 2;, 1;, 0是重根是重根是单根是单根不是根不是根 k注意注意.e )(2xmxQxy )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm )(xQm上述结论的意义是将上述结论的意义是将 代入原方代入原方程程, ,用待定系数法确定用待定系数法确定 的系数，从而确定的系数，从而确定了特解了特解 ，找到原方程的一个特解，找到原方程的一个特解. . y)(exQxymxk 例例1 1. 2 yxyy的的一一个个特特解解求求解解).( ,010bxbxy 设设是

3、是特特征征方方程程的的单单根根因因为为 代代入入方方程程得得将将 )( ,)( , yyy; 222100 xbxbb得到方程组得到方程组,2212100 bbb;3 ,21 10 bb解解得得.321 2xxy 为为故所给方程有一个特解故所给方程有一个特解例例2 2. e )1(65 4的通解的通解求求xxyyy 解解,rr0652 特特征征方方程程为为; 3 , 2 21 rr解得解得的的通通解解为为对对应应的的齐齐次次方方程程 065 yyy;ee3221xxCCY ,e )(4 xbaxy 设设特特解解为为 ,e44)(4xabaxy ;e81616)(4xabaxy ,e )( ,)

4、( , 4xyyy边边的的代代入入方方程程并并消消去去方方程程两两将将 , 1)(6)44(581616 xbaxabaxabax得得到到从而从而,13212 aba.41 ,21 ba解得解得.e4121 4xxy 得方程一个特解得方程一个特解方程通解为方程通解为. e4121ee43221xxxxCCyYy 解解, 032 rr特特征征方方程程为为;e i2 xay 可可设设特特解解,ei 2)(i2 xay 代代入入方方程程，整整理理得得将将 )( ,)( , yyy, 1i 64 aa; i263131i 641 a解得解得),eIm()2sini2Im(cos2sini2xxxx 因

5、因为为.2sin3 e3 i2的的解解解解的的虚虚部部为为故故xyyyyx . e3 i2的的特特解解现现求求xyy ;e4)(i2 xay ),2sin2cos( i(*) )2sini2)(cosi(e131263526524i2xxxxax 原方程的一个特解为原方程的一个特解为.2sin1312cos263xxy 例例3 3.2sin3的的一一个个特特解解求求xyy 解解),eRe(2cose) i21(xxx 因因为为. 2cose52 e52 )2i(1的的解解解解的的实实部部为为故故xyyyyyyxx . e52 )2i(1的的特特解解现现求求xyyy , 0522 rr特特征征方

6、方程程为为. i21 , i21 21 rr解解得得例例4 4. 2cose52 的通解的通解求求xyyyx ; i21 ,e xaxy可可设设特特解解,e )(ee)(xxxxaaxaay ,e )2(e )(e)(22xxxxaaxaaay 代代入入方方程程，整整理理得得将将 )( ,)( , yyy; i411121 a解得解得(*),i2sine41 )2sini2(cosei41e) i21( xxxxxaxxxx原方程的一个特解为原方程的一个特解为.2sine41xxyx . 1)22()52(2 aaax 解解 (1),|(| )(11!1118!815!512!21 xxxxx

7、xy),|(| )(10!1017!714!41 xxxxxxy;exyyy (2); i e23212, 1 ryyyx的特征方程的解为的特征方程的解为 .sincose 2322312 xCxCYx 齐次方程的特解为齐次方程的特解为)|(| 1)(12!1219!916!613!31 xxxxxxy;31 ,e aayx代入原方程得到代入原方程得到非齐次方程有特解非齐次方程有特解; 0 ,32 , 0)0(, 1)0( 21 CCyy得到得到代入初始条件代入初始条件 .sincosee31 2322312xCxCyxx 原方程的通解为原方程的通解为xyxx232cose32e31 数数总之

8、，原幂级数的和函总之，原幂级数的和函型)(e)(xPxfmxxxPxflxcos)(e)(型sin)(xxPn一、一、二、二、常系数非齐次线性微分方程 二、二、型xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(xmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(第第第第 2求出如下两个方程的特求出如下两个方程的特解解xmxPyqypy)i(e)( yqypy分析思路分析思路:第第 1步步将将 f (x) 转化为转化为第第 3步步 利用叠加原理求出原方程的特解利用叠加原理求出原方程的特解第第 4步步 分析原方程特解的特点分析原方程特解的特点xmxP)i(e)(第一步第一步利用欧拉公式将利用欧拉公式将

9、 f (x) 变形变形xxfe)(i2)(2)(xPxPnlx)i(ei2)(2)(xPxPnlx)i(exmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(则令,maxlnm )(xPl2eeiixx)(xPni2eeiixx 第二步第二步 求如下两方程的特解 i是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), xmkxQxy)i(1e)()(次多项式为mxQm故故xmxPyqypy)i(111e)()()( 等式两边取共轭等式两边取共轭 :xmxPyqypy)i(111e)(1y这说明为方程为方程 的特解的特解 .xmxPyqypy)i(

10、e)( xmxPyqypy)i(e)( 设设则则 有有特解特解:第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果利用第二步的结果, 根据叠加原理根据叠加原理, 原方程有特解原方程有特解 :11*yyy xkxexmxmQQiiee原方程原方程 yqypy xxPxxPnlxsin)(cos)(exkxe)sini(cosxxQm)sini(cosxxQm xkxexRmcosxRmsinmmRR,其中均为均为 m 次多项式次多项式 .xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(第四步第四步 分析的特点yxRxRxyyymmxksincose11因因11yy*yy所以mmRR,因此均为均为 m 次实次

11、实多项式多项式 .11yyy本质上为实函数本质上为实函数 ,11yy小小 结结: :xxPxxPnlxsin)(cos)(e对非齐次方程对非齐次方程yqypy ),(为常数qpxRxRxymmxksincose*则可设特解则可设特解:其中其中 为特征方程的为特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.例例4.4. xxyy2cos 求方程的一个特解的一个特解 .解解: 本题本题 特征方程特征方程, 2, 0故设特解为故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根不是特征方程的根,i

12、2i代入方程得代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比较系数比较系数 , 得得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb例例5.5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解的通解. 解解: 特征方程为特征方程为, 092r其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数比较系数, 得得,5a,3b因此特解为因此特解为)3sin33cos5(*xxxy

13、i32, 1r代入方程代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根为特征方程的单根 ,3i)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为因此设非齐次方程特解为例例6.6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根有二重根i,r所以设非齐次方程特解为所以设非齐次方程特解为(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程特征方程, 024 rr0)1(22rr即有根有根i, 04, 32, 1rrxxyyxsin3e)2()4( 利用

14、叠加原理利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为可设非齐次方程特解为)(*2baxxyxce)sincos(xkxdx设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:思考与练习思考与练习时可设特解为时可设特解为 xxxfcos)() 1当xxxxf2e2cos)()2当xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xk2e)(xfyy 时可设特解为时可设特解为 xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(xkxye*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空填空) 设设sin)(cos)(xxRxxRmm2.2. 求微分方程xyyye44 的通解的通解 (其中其中为实数为实数 ) .解解: 特征方程特征方程,0442rr特征根特征根:221 rr对应齐次方程通解对应齐次方程通解:xxCCY221e)(2时时,exAy令代入原方程得代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为故原方程通解为xxCCy221e)(xe2)2(12时时,e2xxBy令代入原方程得代入原方程得,21B故原方程通解为故原方程通