爆破振动作用下巷道围岩中锚杆的运动规律研究

1、爆破振动作用下巷道围岩中锚杆的运动规律研究齐 昕(山东科技大学 交通学院，山东 青岛 266590)摘要锚杆支护是在边坡、岩土深基坑等地表工程及隧道、采场等地下硐室施工中广泛采用的一种加固支护方式。在实际工程中，巷道中锚杆支护结构除了受到地压等静载作用外，还常常受到爆破、采掘、地震等动荷载的影响。本文侧重从理论的角度上推导出巷道围岩中锚杆在爆破振动作用下的运动规律，从而得到锚杆上轴力与剪切力的变化。研究成果对钻孔爆破法施工中锚杆支护结构的防护有重大的指导作用，为判断在爆破的过程中锚杆是否发生破坏提供了理论依据。关键词：爆破振动 锚杆支护 运动规律1、巷道围岩中锚杆的运动规律解析在巷道围岩爆破过

2、程中，锚杆的振动是由其周围岩体振动引起的，因此锚杆两端A、B的振动则完全由端部周围岩体的振动所决定，而锚杆中部的振动则是由两端的振动共同作用引起的。锚杆的振动简图如图1.1(a)所示。由于锚杆四周的围岩以及端部的锚固对锚杆有约束作用，并且锚杆两端A、B有振动作用，因此锚杆两端A、B并非完全固结，所以将锚杆两端的运动看成是固结和自由状态下的叠加，如图1.1(b)和图1.1(c)所示。 (a) (b) (c)图1.1 锚杆的振动计算简图1.1 杆的轴向振动计算 为了方便计算，将锚杆简化成普通杆件。由于杆的竖向振动对轴向振动没有影响，因此将杆的竖向振动与轴向振动分开讨论，杆的轴向振动计算简图如图1.

3、2所示： 图1.2 杆的轴向振动计算简图 杆轴向振动的微分方程为： (1.1)其中：杆中波的传播速度为；E材料的弹性模量；单位体积的质量密度。假设可以用以为自变量的函数与以为自变量的函数的乘积来表示，即 (1.2)将式(1.2)代入式(1.1)中可得： (1.3)由于式(1.3)等号左边只与有关，而等号右边只与有关，要维持恒等关系，两边必须等于同一个常数。假设为这个常数，则式(1.3)可改写成如下两个常微分方程： (1.4) (1.5)其通解为： (1.6) (1.7)由于杆的固定端位移和自由端应变在任意时刻都等于零，故边界条件为： (1.8)将式(1.8)代入式(1.2)中，得： (1.9)

4、如果上式中恒等于0，则也恒等于0，即整个杆将处于静止状态。这样的解虽然满足方程，但没有应用价值，不是所需要的。所以，当杆件振动时，不会恒等于0，因此由式(1.9)可知: (1.10)将式(1.10)代入式(1.7)中，可得: (1.11)将式(1.11)整理可得： (1.12)当杆件发生振动时，则。当时，杆件将处于不动的状态。因此由式(1.12)可知: (1.13)则有：整理得： (1.14)将式(1.14)代入式(1.7)中，得 (1.15)将式(1.2)、式(1.6)、式(1.15)联立，整理可得： (1.16)令、，则式(1.16)可变为： (1.17)则杆件的轴向振动方程为： (1.1

5、8)则杆件的任意点在任意时刻的速度为： (1.19)将时的杆件端部位移与杆件端部速度代入式(1.19)中，得： (1.20) (1.21)由于较低频率相对应的振型对杆件体系动力响应的作用要远大于较高频率相应的振型的作用。因此现只考虑时的振型，忽略其它振型的影响，则有： (1.22)解得： (1.23) (1.24)将式(1.23)、式(1.24)代入式(1.18)中，得： (1.25)即： (1.26)圆形巷道围岩在爆破地震波作用下径向位移的表达式为： (1.27)将式(1.26)中端部位移换成，则图1.1(b)中所示杆件的轴向振动方程为： (1.28)同理，当时，式(1.26)中端部位移替换

6、成，将用替换，则图1.1(c)中所示杆件的轴向振动方程为： (1.29)则图1.1(a)中所示杆件的轴向振动方程为式(1.28)与式(1.29)叠加，得： (1.30)杆件的轴向力表达式为： (1.31)其中：是总截面面积。杆件受拉时表现为正应力，杆件受压时表现为负应力。1.2 杆的竖向振动计算杆件的竖向振动计算简图如图1.3所示： 图1.3 杆的竖向振动计算简图杆件竖向振动的微分方程为： (1.32)其中：杆件单位长度上的质量，E材料的弹性模量，材料惯性矩。这是一个偏微分方程，假设可以用以为自变量的函数与以为自变量的函数的乘积来表示，即： (1.33)将式(1.33)代入式(1.32)中得：

7、 (1.34)由于上式等号左边只与有关，而等号右边只与有关，要维持恒等关系，两边必须等于同一常数。假设为这个常数，式(1.34)可改成两个独立的常微分方程： (1.35) (1.36)其中： (1.37)解得： (1.38)式(1.35)和式(1.36)的通解为： (1.39) (1.40)由于杆件固定端的挠度和曲线斜率在任意时刻都等于零，故边界条件为： (1.41)由于杆件自由端的端弯矩和剪力在任意时刻都等于零，故边界条件为： (1.42)即： (1.43)将式(1.41)和式(1.43)代入式(1.39)中，得： (1.44) (1.45)将式(1.44)代入式(1.45)中，消去、，可得

8、： (1.46)式(1.46)为齐次方程组，有非零解，为： (1.47)即： (1.48)解得：，。当时， (1.49)令： (1.50)则： (1.51)将式(1.40)和式(1.51)代入式(1.33)中，得： (1.52)令、，则式(1.52)可变形为： (1.53)则杆件的竖向振动方程为： (1.54)而杆件的任意点在任意时刻时的速度为： (1.55)将时的杆件端位移与杆件端部速度代入上式中，得： (1.56) (1.57)由于较低频率相对应的振型对杆件体系动力响应的作用要远大于较高频率相应的振型的作用。因此现只考虑时的振型，忽略其它振型的影响，则有： (1.58)解得： (1.59)

9、 (1.60)将式(1.59)和式(1.60)代入式(1.54)中，得： (1.61)即： (1.62)圆形巷道围岩在爆破地震波作用下轴向位移的表达式为： (1.63)将式(1.62)中端部位移换成，则图1.1(b)中所示杆件的竖向振动方程为： (1.64)同理，由于初始位移为0时，则图1.1(c)中所示杆件的竖向振动方程为： (1.65)则图1.1(a)中所示杆件的轴向振动方程为式(1.64)与式(1.65)的叠加，得： 由材料力学可知，杆件所受的剪切力表达式为： (1.66)整理得： (1.67)式中：杆件的截面系数，对于圆形截面有；F总截面面积；剪切模量，钢材取0.792×10

10、11MPa；上述计算显示的是锚杆对应于围岩有了最大初位移以后的运动规律和受力状态。1.3 算例分析巷道围岩中锚杆采用直径为20mm的HRB400钢筋。将相关参数代入式(1.30)中，得到爆破地震波作用下锚杆的轴向位移变化曲线图，如图1.4-1.6所示。 (a)在l=1m,z=3m,x=0m处的轴向位移随时间的变化 (b)在l=1m,z=3m,x=0.5m处的轴向位移随时间的变化 (c)在l=1m,z=3m,x=1m处的轴向位移随时间的变化 (d)在l=1m,z=3m,t=0s时的轴向位移随位置的变化 图1.4 在l=1m,z=3m时的轴向位移曲线图 (a)在l=1.5m,z=3m,x=0m处的

11、轴向位移随时间的变化 (b)在l=1.5m,z=3m,x=0.75m处的轴向位移随时间的变化 (c)在l=1.5m,z=3m,x=1.5m处的轴向位移随时间的变化 (d)在l=1.5m,z=3m,t=0s时的轴向位移随位置的变化 图1.5 在l=1.5m,z=3m时的轴向位移曲线图 (a)在l=2m,z=3m,x=0m处的轴向位移随时间的变化 (b)在l=2m,z=3m,x=1m处的轴向位移随时间的变化 (c)在l=2m,z=3m,x=2m处的轴向位移随时间的变化 (d)在l=2m,z=3m,t=0s时的轴向位移随位置的变化 图1.6 在l=2m,z=3m时的轴向位移曲线图 从图1.4-1.6

12、中可以看出：在巷道轴向距离相同时，锚杆端部有了最大初位移以后开始返回，对应于锚杆的中间部分也相应的达到最大位移处开始返回。靠近巷道围岩表面的锚杆部分始终是沿着径向向内运动，而另一端可能是沿着径向向外运动也可能向内运动，这与锚杆的长度有关。在爆破振动的作用下由于围岩径向速度方向与径向距离有关，导致不同锚杆的长度远离围岩表面的锚固段的速度方向不同。而锚杆中部的运动主要是沿着径向向内运动，这是由靠近巷道围岩表面的锚杆部分的振动振幅大于另一端振动的振幅叠加所决定的。从图1.4(d)中可以看出，对于不同长度的锚杆，当锚杆轴向位移过大时，锚杆会被围岩挤出，从而使锚杆失效。根据位移与速度的关系，对式(1.3

13、0)进行求导，带入相关参数，得到爆破地震波作用下巷道围岩中锚杆轴向速度的变化曲线图，如图1.7-1.9所示。 (a)在l=1m,z=3m,x=0m处的轴向速度随时间的变化 (b)在l=1m,z=3m,x=0.5m处的轴向速度随时间的变化(c)在l=1m,z=3m,x=1m处的轴向速度随时间的变化图1.7 在l=1m,z=3m时的轴向速度曲线图 (a)在l=1.5m,z=3m,x=0m处的轴向速度随时间的变化(b)在l=1.5m,z=3m,x=0.75m处的轴向速度随时间的变化(c)在l=1.5m,z=3m,x=1.5m处的轴向速度随时间的变化图1.8 在l=1.5m,z=3m时的轴向速度曲线图

14、 (a)在l=2m,z=3m,x=0m处的轴向速度随时间的变化 (b)在l=2m,z=3m,x=1m处的轴向速度随时间的变化 (c)在l=2m,z=3m,x=2m处的轴向速度随时间的变化 图1.9 在l=2m,z=3m时的轴向速度曲线图 从图1.7-1.9中可以看出：在巷道轴向距离相同时，对于不同锚杆长度对应的远离围岩表面的锚固段的速度方向会发生改变，而靠近巷道围岩表面的锚固段的速度方向与大小是基本不变的。将相关参数代入式(1.66)中，得到爆破地震波作用下锚杆的竖向位移变化曲线图，如图1.10-1.11所示。 (a)在l=1m,z=3m,x=0.5m处的竖向位移随时间的变化 (b)在l=1m

15、,z=3m,x=1m处的竖向位移随时间的变化 (c)在l=1m,z=3m,t=0s时的竖向位移随位置的变化 图1.10 在l=1m,z=3m时的竖向位移曲线图 (a)在l=1.5m,z=3m,x=0.75m处的竖向位移随时间的变化 (b)在l=1.5m,z=3m,x=1.5m处的竖向位移随时间的变化(c)在l=1.5m,z=3m,t=0s时的竖向位移随位置的变化图1.11 在l=1.5m,z=3m时的竖向位移曲线图 (a)在l=2m,z=3m,x=1m处的竖向位移随时间的变化 (b)在l=2m,z=3m,x=2m处的竖向位移随时间的变化( c)在l=2m,z=3m,t=0s时的竖向位移随位置的

16、变化图1.12 在l=2m,z=3m时的竖向位移曲线图 从图1.10-1.12可以看出：在巷道轴向距离相同时，锚杆端部的竖向振动只与端部的初位移有关；由于巷道表面围岩的轴向速度为0，所以巷道表面处的锚杆端部竖向位移为0；锚杆的振动主要是由于远离巷道围岩表面的端部振动引起的，其它部分会发生不同程度的振动，并且振动的方向与锚杆端部振动方向相同。同理，根据位移与速度的关系，对式(1.66)进行求导，带入相关参数，得到爆破地震波作用下巷道围岩中锚杆竖向速度的变化曲线图，如图1.13-1.15所示。 (a)在l=1m,z=3m,x=0.5m处的竖向速度随时间的变化 (b)在l=1m,z=3m,x=1m处

17、的竖向速度随时间的变化 图1.13 在l=1m,z=3m时的竖向速度曲线图 (a)在l=1.5m,z=3m,x=0.75m处的竖向速度随时间的变化 (b)在l=1.5m,z=3m,x=1.5m处的竖向速度随时间的变化 图1.14在l=1.5m,z=3m时的竖向速度曲线图 (a)在l=2m,z=3m,x=1m处的竖向速度随时间的变化 (b)在l=2m,z=3m,x=2m处的竖向速度随时间的变化 图1.15 在l=2m,z=3m时的竖向速度曲线图 从图1.13-1.15中可以看出：在巷道轴向距离相同时，巷道轴向速度的大小与径向距离有关，从而导致不同锚杆长度端部的速度大小不同。将相关参数代入式(1.

18、31)中，得到爆破地震波作用下锚杆的轴向力变化曲线图，如图1.16-1.18所示。 (a)在l=1m,z=3m,x=0m处的轴力随时间的变化 (b)在l=1m,z=3m,x=0.5m处的轴力随时间的变化 (c)在l=1m,z=3m,x=1m处的轴力随时间的变化 (d)在l=1m,z=3m,t=0s时的轴力随位置的变化图1.16 在l=1m,z=3m时的轴力曲线图 (a)在l=1.5m,z=3m,x=0m处的轴力随时间的变化 (b)在l=1.5m,z=3m,x=0.75m处的轴力随时间的变化 (c)在l=1.5m,z=3m,x=1.5m处的轴力随时间的变化 (d)在l=1.5m,z=3m,t=0

19、s时的轴力随位置的变化 图1.17 在l=1.5m,z=3m时的轴力曲线图 (a)在l=2m,z=3m,x=0m处的轴力随时间的变化 (b)在l=2m,z=3m,x=1m处的轴力随时间的变化 (c)在l=2m,z=3m,x=2m处的轴力随时间的变化 (d)在l=2m,z=3m,t=0s时的轴力随位置的变化图1.18 在l=2m,z=3m时的轴力曲线图从图1.16-1.18中可以看出：在巷道轴向距离相同时，不考虑锚杆之前的受力状态，靠近巷道围岩表面的锚杆部分可能受拉也可能受压，远离围岩表面的部分始终受拉；由于不同长度的锚杆对应于远离围岩表面的锚固段的速度方向不同，导致锚杆的振动产生的应变状态不同

20、，锚杆总体处于受拉状态。将相关参数代入式(1.68)中，得到爆破地震波作用下锚杆的剪切力变化曲线图，如图1.19-1.21所示。 (a)在l=1m,z=3m,x=0m处的剪切力随时间的变化 (b)在l=1m,z=3m,x=0.5m处的剪切力随时间的变化 (c)在l=1m,z=3m,t=0s时的剪切力随位置的变化图1.19 在l=1m,z=3m时的剪切力曲线图 (a)在l=1.5m,z=3m,x=0.75m处的剪切力随时间的变化 (b)在l=1.5m,z=3m,x=1.5m处的剪切力随时间的变化 (c)在l=1.5m,z=3m,t=0s时的剪切力随位置的变化 图1.20 在l=1.5m,z=3m时的剪切力曲线图 (a)在l=2m,z=3m,x=1m处的剪切力随时间的变化 (b)在l=2m,z=3m,x=2m处的剪切力随时间的变化 (c)在l=2m,z