正余弦函数的奇偶性与单调性

1、X 复习复习:正弦、余弦函数的图象和性质正弦、余弦函数的图象和性质 x6yo-12345-2-3-41y=sinx (x R) x6o-12345-2-3-41y y=cosx (x R) 定义域定义域值值 域域x Ry - 1, 1 一、函数的奇偶性一、函数的奇偶性x6yo-12345-2-3-41y=sinx (x R)设设(x,y)是正弦曲线是正弦曲线y=sinx(xR)上任意一点，即上任意一点，即(x,sinx)是正弦是正弦曲线上的一点，它关于原点的对称点是曲线上的一点，它关于原点的对称点是(-x,-y)即即(-x,-sinx)。由诱导公式由诱导公式sin(-x)=-sinx可知，这个

2、对称点就是可知，这个对称点就是(-x,sin(-x)。它显然也在正弦曲线上，它显然也在正弦曲线上， 所以所以正弦曲线关于原点对称正弦曲线关于原点对称，正弦函数是奇函数。，正弦函数是奇函数。奇函数：一般地，如果对于函数奇函数：一般地，如果对于函数f(x)f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x x，都有都有f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)，则称，则称f(x)f(x)为这一定义域内的为这一定义域内的奇函数奇函数。 奇函数的图象关于原点对称。奇函数的图象关于原点对称。 x6yo-12345-2-3-41y=cosx (x R)设设(x,y)是余弦曲线是余弦曲线y=cosx(xR

3、)上任意一点，即上任意一点，即(x,cosx)是是余弦曲线上的一点，它关于余弦曲线上的一点，它关于y轴的对称点是轴的对称点是(-x,y)即即(-x,cosx)。由诱导公式。由诱导公式cos(-x)=cosx可知，这个对称点就可知，这个对称点就是是(-x,cos(-x)。它显然也在余弦曲线上，。它显然也在余弦曲线上， 所以所以余弦曲线关于余弦曲线关于y轴对称轴对称，余弦函数是偶函数。，余弦函数是偶函数。偶函数：一般地，如果对于函数偶函数：一般地，如果对于函数f(x)f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x x，都有都有f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)，则称，则称f(x)f(x)

4、为这一定义域内的为这一定义域内的偶函数偶函数。 偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y轴对称。轴对称。 sin(-x)= - sinx (x R) y=sinx (x R)x6yo-12345-2-3-41是是奇函数奇函数x6o-12345-2-3-41ycos(-x)= cosx (x R) y=cosx (x R) 是是偶函数偶函数定义域关于原点对称定义域关于原点对称 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性例例1：判断函数奇偶性：判断函数奇偶性(1) y=-sin3x xR (2) y=|sinx|+|cosx| xR(3) y=1+sinx xR解解:(1)f(-x)=-sin3(

5、-x)=-(-sin3x)=-f(x),且且f(x)的定义域关于原点对称，所以此函数是奇函数。的定义域关于原点对称，所以此函数是奇函数。(2)f(-x)=|sin(-x)|+|cos(-x)|=|sinx|+|cosx|=f(x)且且f(x)的定义域关于原点对称，所以此函数是偶函数。的定义域关于原点对称，所以此函数是偶函数。(3)f(-x)=1+sin(-x)=1-sinx f(-x)-f(x)且且f(-x)f(x)所以此函数既不是奇函数也不是偶函数。所以此函数既不是奇函数也不是偶函数。 二、正弦函数的单调性二、正弦函数的单调性 y=sinx (x R)增区间为增区间为 ， 其值从其值从-1增

6、至增至12 2 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 x sinx2 2 23 0 -1 0 1 0 -1减区间为减区间为 ， 其值从其值从 1减至减至-12 23 +2k , +2k ,k Z2 2 +2k , +2k ,k Z2 23 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 y=cosx (x R) x cosx2 2 - 0 -1 0 1 0 -1增区间为增区间为 其值从其值从-1增至增至1 +2k , 2k ,k Z 减区间为减区间为 ， 其值从其值从 1减至减至-12k , 2k + , k Zyxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 例例2

7、.求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间： y=3sin(2x- )4 222242kxk838 kxk2324222 kxk8783 kxk单调增区间为单调增区间为83,8 kk所以：所以：解：解：单调减区间为单调减区间为87,83 kkk Zk Zk Zk Zk Zk Z例例3 不通过求值，指出下列各式大于不通过求值，指出下列各式大于0还是小于还是小于0： (1) sin( ) sin( )18 10 (2) cos( ) - cos( ) 523 417 解：解：218102 又又 y=sinx 在在 上是增函数上是增函数2,2 sin( ) 018 10 解：解： 5340cos

8、cos 4 53 即：即： cos cos 053 4 又又 y=cosx 在在 上是减函数上是减函数, 0 cos( )=cos =cos 523 523 53 417 cos( )=cos =cos 417 4 从而从而 cos( ) - cos( ) 0523 417 演示文稿 后 等福音影视网 http:/ 福音影视网 峦孞尛练习:增区间)26sin() 1xy2)sincos( 2 ,2 )22xxy在内的增区间sin(2)43)2xy单调区间。4)lgtan(2 )3yx减区间小小 结：结： 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 奇偶性奇偶性 单调性（单调区间）单调性（单调区间）奇函数奇函数偶函数偶函数 +2k , +2k ,k Z2 2 单调递增单调递增 +2k , +2k ,k Z2 23 单调递减单调递减 +2k , 2k ,k Z