大学文科数学2极限应用的一个例子连续函数

1、1第三节 极限应用的一个例子连续函数主要内容： 一、连续函数的概念二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质2一、连续函数 连续函数是微积分研究的主要对象连续函数是微积分研究的主要对象. .00000()()()()( )(. )yf xxf xyf xf xf xf xx 对对应应的的函函数数值值由由变变化化到到，其其差差称称作作函函数数的的增增量量，即即增量的定义增量的定义00,.xxxxxx 自自然然xyo)(xfy x 0 xxx 0y 3 注意注意: :x可能是正的可能是正的, ,也可能也可能 是负的是负的. .比如：比如：05 . 0; 5 . 1, 105 . 0; 5 .

2、1, 20000 xxxxxxxxxx4下面的问题帮助我们理解连续的定义：下面的问题帮助我们理解连续的定义： )(lim1xfx(1).f 1lim(1). 2xx( )1f xx 从从图图形形看看的的曲曲线线在在处处是是连连续续的的. .112lim ( )lim11xxxgxx 1(1)2limxx ( )1,( )1,.g xxg xx 而而在在处处没没有有定定义义 从从图图形形看看的的曲曲线线在在处处是是不不连连续续的的 是是间间断断的的( ), ( )1,1,f xg xxx 尽尽管管在在点点的的性性质质不不同同但但当当时时 它它们们的的极极限限却却是是一一样样的的. .( )1f

3、xx oxy 1。21( )1xg xx xoy1 5连续函数的定义连续函数的定义0000000(,),00lim0lim(0)xxf xu xxyf xffxxxxxyxf 设设函函数数（ ）在在内内有有定定义义 如如果果当当自自变变量量的的增增量量趋趋向向于于 时时，对对应应的的函函数数增增量量也也趋趋向向于于 ，即即，或或（）- -（），那那么么就就称称函函数数，也也定定义义一一（ ）在在点点连连续续是是的的 称称连连续续点点. .xy0)(xfy x 0 xxx 0y 6 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. .xyo)(xfy 这个定义可以帮

4、助理解函数在一点连续这个定义可以帮助理解函数在一点连续的本质：的本质： 自变量变化很小时，函数值的变化也很小自变量变化很小时，函数值的变化也很小.7 在考虑函数的连续性时，我们一般分三在考虑函数的连续性时，我们一般分三步考虑：步考虑：1x ）先先给给定定；2y ）求求出出；030.xy ）考考察察当当时时，是是否否有有8例例1 证明证明 y = sinx 在定义域内连续在定义域内连续.22sin, 1)2cos(xxxx xx sin由于由于xxxxy 2sin)2cos(2于是于是2sin)2cos(2sin)sin(xxxxxxy 证证2sin2cos2sinsin 000.xyxy 用用

5、定定义义一一证证明明函函数数在在某某点点连连续续， 需需先先求求出出，考考察察当当时时，是是 分分否否析析与与提提示示：90,x 显显然然当当时时0.y 因此因此 y = sinx 在定义域内连续在定义域内连续.00 xy xxxxy 2sin)2cos(2于是于是10000lim ()()0 xf xxf x 即即f (x)000000(,)i,l mxxf xf xu xxxf xff xfxxx 设设函函数数（ ）在在内内有有定定义义如如果果当当时时，（ ）的的极极限限存存在在且且等等于于（），即即，那那么么就就（ ）= =（）（ ）在在点点称称函函数数定定义义二二 连连续续. .0li

6、m0 xy 由由定定义义一一 0000lim0limxxxxf xf xf xf x （ ）- -（ ）（ ）= =（ ）. .1100 xx先先确确定定函函数数的的定定义义域域，在在定定义义域域内内任任取取一一点点 ，再再由由 的的任任意意性性，从从而而证证明明函函数数在在定定义义域域内内分分析析是是与与提提示示：连连续续的的. .12( ).2f xx 例例 证证明明函函数数的的连连续续性性000221()2xf xx 证证 设设 为为定定义义域域（- - ，- - ）（- - ，+ + ） 内内任任意意一一点点，显显然然, ,000111lim.2lim(2)2xxxxxxx又又1200

7、011lim(),22xxf xxx001( )( )2xxf xf xx 该该函函数数在在点点连连续续，由由任任意意性性可可知知在在定定义义域域内内, ,是是连连续续的的. .oxy13函数的间断点函数的间断点0( ):f xx函函数数在在点点处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个条条件件0(1)( );f xx在在点点处处有有定定义义0(2) lim( );xxf x存存在在).()(lim)3(00 xfxfxx 00,( )(),( )().f xxxf x 上上述述三三个个条条件件中中只只要要有有一一个个不不满满足足则则称称函函数数在在点点处处不不不不连连续续点点连连续续 或或或或

8、间间间间断断并并称称点点为为点点的的断断14,1,2)( )1,1,2xxyf xx 从图形中可以看出从图形中可以看出 x = 1是分段是分段点点,)1(1)(lim1fxfx 1x 所所以以是是间间断断点点. .)311) (0,f xxx 在在处处没没有有定定义义例例0.x 所所以以是是间间断断点点00lim( )()xxf xf x xoy2111 xxf1)( yxo1500sin0( ),0 ,3) ( )1 ,0 ,sin,lim( )lim1(0)xxxxf xxf xxxxf xfx 是是的的分分段段点点但但是是0sin:lim1.xxx 这这里里用用到到第第一一个个重重要要极

9、极限限0()xfx 所所以以是是的的连连续续点点. . 分分段段函函数数的的间间断断点点只只可可能能在在分分须须注注意意：段段点点处处. .16000( )()(imlim)lxxxxxf xfxf 代入法代入法: : 利用连续函数的定义利用连续函数的定义, ,求函数极求函数极限的方法限的方法. .例例4211)lim(234)xxx 21lim(2)xx . 1 1lim3xx 1lim( 4)x212(lim )34xx 21lim(234)xxx 方方法法二二 21(234)xxx 212 13 14. lim.f函函数数符符号号 与与求求极极限限符符号号可可以以交交换换次次序序解解（方

10、方法法一一）由求极限四由求极限四则运算法则则运算法则由连续函数由连续函数的定义的定义17二、初等函数的连续性000( ),( ),( )( )( ),( )( ),( ()0)( )f xg xxf xf xg xf xg xg xg xx 若若函函数数在在点点处处连连续续 则则 定定理理在在点点处处 也也连连续续. .例如例如, ,sin ,cos(,),xx 在在内内连连续续tan,cot,sec,cscxxxx故故在在其其定定义义域域内内连连续续. .四则运算的连续性四则运算的连续性18反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性定理定理 严格单调的连续函数必有严格单调的连续严格单调

11、的连续函数必有严格单调的连续 反函数反函数.推论推论 反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续. .arcsinyx arctanyx 19该定理表明极限符号可以与函数符号互换该定理表明极限符号可以与函数符号互换. .22222sinsilinmlimsinxxyxxx （例例如如：）2,sinxuuy 00000( ),(),( ),). (uxxxxuyf uuuyfxxx 设设函函数数在在点点连连续续 且且而而函函数数在在点点连连续续则则复复合合函函数数在在定定点点理理连连续续 也也 2sin.42 20 初等函数的连续性初等函数的连续性 基本初等函数在定义域内是连续的基

12、本初等函数在定义域内是连续的. . 一切初等函数在其定义区间内都是一切初等函数在其定义区间内都是连续的连续的. .定义区间是指定义域内的子区间定义区间是指定义域内的子区间. .21例例51limsin1.xx 求求e e1sin1原原式式e esin1. e e例例62011lim.xxx 求求解解解解2220( 11)( 11)lim( 11)xxxxx 原原式式11lim20 xxx20 0. sin1sin,1,sin1,xxxyu u 是是由由复复合合而而得得的的是是连连续续函函数数 所所以以由由代代入入法法e ee ee e2,11xx是是初初等等函函数数它它是是连连续续的的. .2

13、21）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理三、闭区间上连续函数的性质2112( ) , , , , , (),( ).(),(f xf xa bxf xxa bxa bf xf x 若若在在上上连连续续 则则使使得得有有abxoy)(xfy 2x1x23注意注意: :定理中的两个条件缺一不可定理中的两个条件缺一不可. . 若区间是开区间，定理不一定成立若区间是开区间，定理不一定成立; ; 若区间内有间断点，定理不一定成立若区间内有间断点，定理不一定成立. .例如例如: :,0,1()f xxx （ ）f（x）无最大值和最小值）无最大值和最小值. . xoy1124xyo)(xfy 211(

14、)0 2( )1( )(2)1(1)0.f xf xxf xff 的的定定义义域域（ ，不不是是闭闭区区间间，在在该该区区间间不不连连续续，是是不不连连续续点点，但但既既有有最最大大值值，也也有有最最小小值值01( )112xxf xxx ，25( ) , ( )( ),( )( )( )( )( , )( ).2f xa bf af bf af bf af ba bf 设设函函数数在在闭闭区区间间上上连连续续，且且或或，则则至至少少存存在在一一个个内内点点得得值值定定理理使使）介介xyo1 2 3 f (b)ab)(xfy b f (a)a ( ).yf xy 连连续续曲曲线线弧弧与与水水平

15、平直直线线至至少少有有一一个个交交点点26( )0( , ).f xa bx 即即方方程程在在内内至至少少存存在在一一个个实实根根( ) , ( )( )( , )( )0.f xa bf af ba bf设设函函数数在在闭闭区区间间上上连连续续，且且与与异异号号，则则至至少少存存在在一一个个内内点点，推推论论（根根的的存存在在定定使使得得理理） xyo( )f xba ( )0f b ( )0f a ( )0f 27例例733112.xx 证证明明方方程程在在 和和 之之间间至至少少有有一一实实根根 由由已已知知先先做做一一个个辅辅助助函函数数，再再根根据据“根根 的的存存在在定定理理”，看

16、看它它是是否否满满足足定定理理的的已已 知知条条件件，即即可可证证明明提提存存示示与与分分析析：在在实实根根. .331yxx 28证证3( )31,1 2f xxx 令令该该函函数数是是初初等等函函数数，在在，上上连连续续，(1)3 0,(2)10,ff 又又由推论由推论,(1,2),( ), 0f 存存在在使使3310,即即3310(1,2).xx 方方程程在在内内至至少少有有一一个个实实根根例例733112.xx 证证明明方方程程在在 和和 之之间间至至少少有有一一实实根根29四、极限和连续的应用78mm 第第一一章章的的应应用用问问题题中中例例 ，给给出出了了每每期期结结算算次次的的复

17、复利利模模型型，如如果果结结算算次次数数越越来来越越多多，且且趋趋于于，意意味味着着每每个个瞬瞬时时立立即即存存入入立立即即结结算算，这这样样的的复复利利成成为为连连续续复复利利. .这这归归例例 结结为为 连连续续复复利利问问题题下下面面的的极极限限: :lim(1)mtmram 30即本利和将按照指数规律增长即本利和将按照指数规律增长. .现实世界中不少现象的数学模型是现实世界中不少现象的数学模型是如细胞的繁衍，放射元素的衰变，树木的生如细胞的繁衍，放射元素的衰变，树木的生长等长等. .(1)mtmraam 1lim(1)exxx e e 1lim(lim(1)1).mtrtn tnmrr

18、amnmnramna 令令，当当时时，从从而而得得到到 e e3110km10km1010km20km20km1520km30km30km209某某城城市市的的出出租租汽汽车车，出出租租费费用用如如下下：路路程程在在之之内内，包包括括，为为元元，到到，包包括括，为为元元，到到，包包括括，为为元元，依依此此类类推推，写写出出出出租租汽汽车车的的价价格格函函数数，并并讨讨论论此此函函数数在在分分例例 出出租租汽汽车车段段点点的的极极限限及及的的价价格格函函数数连连续续性性. .32km( )10,010 ,( )15,1020 ,20,2030 .xc xxc xxx 解解 设设 表表示示路路程程（）， 表表示示价价格格函函数数（元元）， 则则： 20202020, li