大学物理振动学基础2

1、)sin(tAdtdxv)cos(222tAdtxda)cos(tAx位置、速度和加速度随时间的变化AvmAam2简谐振动：相对与平衡位置的位移是时间简谐振动：相对与平衡位置的位移是时间的正弦或余弦函数这样的振动就是简谐振动的正弦或余弦函数这样的振动就是简谐振动T1T2称为称为角频率角频率（或圆频率）（或圆频率）频率：单位时间内振动的次数kmT2mk21mk例如弹簧振子例如弹簧振子系统内在性质所决定的周期（频率系统内在性质所决定的周期（频率）, ,称为称为固有周期固有周期( (频率频率) )kmoxX2t相位 初相位初相位(初相初相)决定决定初始时刻物体运动状态初始时刻物体运动状态)sin(t

2、Av)cos(tAx)cos(2tAa相位是决定振动物体相位是决定振动物体运动状态运动状态的物理量的物理量已知的情况下在,A00, 0vvxxtcos0Ax sin0Av2020)(vxA00 xvtg)sin(tAv)cos(tAxmk2三个参量的计算 由初始条件求振幅和初相由初始条件求振幅和初相 解解: (1)cos(tAx22020vxA例例 1 一弹簧振子沿一弹簧振子沿X轴作简谐振轴作简谐振, 已知已知物体质量为物体质量为m=0.1kg. 在在t=0时物体对平时物体对平衡衡 位置的位移位置的位移X0=0.05m,速度为速度为v0= - 0.628m/s .mNk/8 .15求求: (1

3、) 振动方程振动方程 (2) 从初始位置到平衡从初始位置到平衡 位置所需最位置所需最短时间短时间14)/(57.121 . 08 .15ssradmkm22221007. 7)57.12()628. 0(05. 0cos0Ax sin0Av00 xvtgsmAv/628. 0sin0mtx)44cos(1007. 724或或0sin 445105. 057.12628. 0振幅已知，知道位振幅已知，知道位置和速度方向，就置和速度方向，就知道了相位知道了相位cos0Ax sin0AvX X0 0=0.05m,=0.05m,v v0 0= - 0.628m/s= - 0.628m/s时刻：设第一次

4、到平衡位置为t)44cos(02tAxst1610)44sin(2tAv244t 0.0707O0.050.0707x/mmtx)44cos(1007. 72例例2 已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根据图中已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根据图中数据写出振动表达式。数据写出振动表达式。 解：解：)cos(tAxxt02-22(m)(s)1当当t = 0时有：时有：0sin22cos200 vx4t = 1s时有时有: x=0, v00；3 0.24cos()3xtm所以振动方程为所以振动方程为: :o oA AP Px x t=0)(1t)(2t 32 23 x2): 画出两状态对

5、应的旋转矢量画出两状态对应的旋转矢量转过的角度转过的角度65st833. 065)3cos(24. 012. 01t21)3cos(1t3231t解析法解析法:时刻1tt时刻时刻0)3cos(2tv 02332tssttt83. 06512)(1t)(2t 32 23 x0)3sin(-1tA如何判定一个振动是不是简谐振动？mk)cos(tAx 第2节：简谐振动的动力学三个黄背底的式子可以互相推得，满足这三个关系就三个黄背底的式子可以互相推得，满足这三个关系就是简谐振动是简谐振动xa2makxF)cos(tAxmk称为谐振动的动称为谐振动的动力学微分方程力学微分方程0222xdtxd并求其周期

6、。谐振动这一结论常用来判断简的平方根系数而且其角频率就是谐振动的形式变化就一定是简足上述微分方程，它的只要它随时间的变化满是什么量不管,xx在力学的范畴内，上式依据牛顿定律、在力学的范畴内，上式依据牛顿定律、转动定理得到该方程转动定理得到该方程0222xdtxd 续： 简谐振动的动力学方程 单摆的振动mgtFsinmgl222dtdml022lgdtd在角位移很小的时候，上式子可写为：在角位移很小的时候，上式子可写为：lgglT222ml0222xdtxd复摆的振动sinmghCOmghOC 022ImghdtdImgh2角度很小时当22dtdImghIT2可见可见, ,振动的角频率、周期完全

7、振动的角频率、周期完全由振动系统本身来决定。由振动系统本身来决定。 glT20222xdtxdI为为m绕绕O点转动的转动惯量。点转动的转动惯量。Iox设平衡时侵入液体中的体积为设平衡时侵入液体中的体积为V,以平衡以平衡时比重计下端为原点建立如图所示坐标时比重计下端为原点建立如图所示坐标Vgmg是简谐振动。动推后，在竖直方向的运，证明比重计经下直径为的液体中，比重计圆管为的比重计放在密度质量为dm例例1ox浮力浮力：xgdVgF22重力：重力：mgxgdF22合mFa/合xgmddtxd4222gmd422坐标为坐标为x时的浮力：时的浮力：0222xdtxd例例2 设想地球内有一光滑隧道，如图所

8、示。证明质点设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质点m在在此隧道此隧道 内的运动为简谐振动，并求其振动周期。地球质内的运动为简谐振动，并求其振动周期。地球质量量Me和半径已知和半径已知ReMRrrGmF332建立建立oy坐标系：坐标系：解解:rRGmMe3OsinFFysin3rRGmMe0221rqkqF 1q2q0322 yRGMdtyde满足简谐振动微分方程，故为简满足简谐振动微分方程，故为简谐振动。其周期为谐振动。其周期为min3 .84223 eGMRT sinFFyyRGmMdtydme322 sin3rRGmMeyRGmMe30O0222xdtxd0Omin3 .84223 e

9、GMRT 简谐振动的能量弹簧振子的动能弹簧振子的动能221mvEk)(sin2122tkA)(sin21222tAm)sin(tAv2max21kAEk0minkEkmoxX)cos(tAxmk2221kxEp)(cos2122tkAPEkEt)cos(tAx)(sin2122tkAEkkmoxX弹簧振子的势能及机械能pkEEE221kA简谐振动的总能量简谐振动的总能量：系统机械能守恒系统机械能守恒TPdttkATE022)(cos211241kA221kxEp)(cos2122tkA)(sin2122tkAEk平均动能及平均势能20411kAdtETEtKk动能和势能动能和势能平均来说都平均

10、来说都不占优势不占优势PEkEt简谐振动能量与动力学方程之间的关系pkEEE222121kxdtdxm0dtdE0222xdtxd一种新的证明简谐振动、求简谐振动周期一种新的证明简谐振动、求简谐振动周期的方法的方法 简谐振动的动力学方程求解途径简谐振动的动力学方程求解途径1.1.由分析受力出发由分析受力出发(由牛顿定律转动定律由牛顿定律转动定律列方程列方程)2. 由分析能量出发由分析能量出发(将将能量能量守恒式对守恒式对t求导求导)例例3 一劲度系数为一劲度系数为k的轻弹簧，一端固定在墙上，另一的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连结一质量为端连结一质量为m1的物体，放在光滑的水平面上。将的物体，

11、放在光滑的水平面上。将一质量为一质量为m2的物体跨过一质量为的物体跨过一质量为M，半径为，半径为R的定滑轮的定滑轮与与m1相连，求其系统的振动圆频率。相连，求其系统的振动圆频率。解法一：以弹簧的固有长度的端点为坐标解法一：以弹簧的固有长度的端点为坐标原点，向右为正建立坐标。原点，向右为正建立坐标。由牛顿第二定律由牛顿第二定律22111ddtsmamksTOm1m2m2g/kRMkm1kST1T1T2T2m2gRMs22111ddtsmamksT222222ddtsmamTgm21221)(MRIRTTOm1m2m2g/kRMkm1kST1T1T2T2m2gRMs22dd1tSRRa解上面的方程

12、组得解上面的方程组得0)()21(22221kgmSkt dSdMmmkgmSx2令：02dd2122xMmmktx系统的振动角频率系统的振动角频率221Mmmk0222xdtxdOm1m2m2g/kRMk解法二：在该系统的振动过程中，只有重力和弹簧的弹性解法二：在该系统的振动过程中，只有重力和弹簧的弹性力做功，因此该系统的机械能守恒。力做功，因此该系统的机械能守恒。gSmvmIvmkS222221221212121常数常数Om1m2m2g/kRMk弹簧原长时为零重力势能点，则弹簧伸长为弹簧原长时为零重力势能点，则弹簧伸长为S时：时：代入和将221MRIRv0)(dd)21(22221kgmS

13、ktSMmm2/21Mmmk上式对上式对t求导并整理可得求导并整理可得gSmvmIvmkS222221221212121常数常数Om1m2m2g/kRMkU形管中液体形管中液体的振动的振动 例题例题4在横截面为在横截面为S的的U形管中有适量液液体总长度为形管中有适量液液体总长度为L,质质量为量为m,密度为密度为 ,求液面上下起伏的振动频率（忽略液体求液面上下起伏的振动频率（忽略液体与管壁间的摩檫）与管壁间的摩檫） 选如图所示的坐标，并选选如图所示的坐标，并选两液面相齐时的平衡位置为坐两液面相齐时的平衡位置为坐标原点，且取平衡时液体势能标原点，且取平衡时液体势能为零。为零。 解解: 液体受到初始

14、扰动后，液体受到初始扰动后，振动过程中没有机械能损失，振动过程中没有机械能损失，因此我们用能量方法来分析。因此我们用能量方法来分析。yyOy由于液体的由于液体的“不可压缩性，不可压缩性，因此整个液体的动能因此整个液体的动能2)(21dtdym2)(21dtdymdtdy左面液面的速度为左面液面的速度为由能量守恒得由能量守恒得yyOy两端对时间求导两端对时间求导平衡位置（两液面高平衡位置（两液面高度相同）为零势点度相同）为零势点常量2gSymgs2gsmT222gLT22LSm常量22)(21gSydtdym0222ymgsdtyd例例5 如图所示，弹性系数为如图所示，弹性系数为k，质量为，质量

15、为M的弹簧振子静止的弹簧振子静止地放置在光滑的水平面上，一质量为地放置在光滑的水平面上，一质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度v1射入射入M中，并很快与之一起运动。选中，并很快与之一起运动。选m、M开始共同运开始共同运动的时刻为动的时刻为 t = 0，求固有频率、振幅和初相位。，求固有频率、振幅和初相位。 解解kMV1mmMk 0 碰撞过程中动量守恒：碰撞过程中动量守恒：mMmvv 1020)(21vmM整个体系的能量整个体系的能量221kA)cos(0 tAx2120)(vmMkmvkmMA kMV1mxmMk 0 振动学一个基本的思路振动学一个基本的思路振动叠加原理振动叠加原理任何一个

16、复杂的振动都可以看成任何一个复杂的振动都可以看成是一种最基本的振动合成的是一种最基本的振动合成的简谐振动简谐振动研究清楚了简谐振动，再清楚了它们的研究清楚了简谐振动，再清楚了它们的合成问题，就可以研究任何复杂振动了合成问题，就可以研究任何复杂振动了分振动：分振动：x1 =A1cos( 1 t+ 1 ) x2 =A2cos( 2 t+ 2 )合振动：合振动： x= x1+x2=A1cos( 1 t+ 1 )+ A2cos( 2 t+ 2 ) 振动叠加原理振动叠加原理简谐振动的合成简谐振动的合成21xxx更一般的形式：更一般的形式：如果一个物体同如果一个物体同时参与了几个振时参与了几个振动，则物体

17、将按动，则物体将按它们的和振动来它们的和振动来运动运动分振动：分振动：x1 =A1cos( t+ 1 ) x2 =A2cos( t+ 2 )合振动：合振动： x= x1+x2=A1cos( t+ 1 )+ A2cos( t+ 2 ) 同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率同方向不同频率分振动：分振动：x1 =A1cos( 1 t+ 1 ) x2 =A2cos( 2 t+ 2 )合振动：合振动： x= x1+x2=A1cos( 1 t+ 1 )+ A2cos( 2 t+ 2 ) 我们要讲四种情形我们要讲四种情形分振动：分振动：x =A1cos( t+ 1 ) y =A2cos( t+ 2

18、 )振动方向垂直的同频率振动方向垂直的同频率分振动：分振动：x =A1cos( 1 t+ 1 ) y =A2cos( 2 t+ 2 )合振动：合振动：j yi xrjtAitA)cos()cos(2211振动方向垂直的不同频率振动方向垂直的不同频率j yi xr合振动：合振动：jtAitA)cos()cos(222111我们要讲四种情形我们要讲四种情形一一 同方向同频率的同方向同频率的简谐振动的合成简谐振动的合成1.分振动分振动 :x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)11cosA22cosA2AA1A21合振动是合振动是简谐振动简谐振动吗？吗？振幅多大？振幅多大？周期

19、多少？周期多少？XY0 x1=A1cos( t+ 1)x2=A2cos( t+ 2)2.合振动合振动 : x = x1+ x2x =A cos( t+ )合振动是简谐振动合振动是简谐振动, 其频率仍为其频率仍为 )cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintgAAAA2AA1A21X11cosA22cosA11sinA22sinAY两种特殊情况(1)若两分振动若两分振动同相同相 2 1= 2k (k=0,1,2,)2AA1A则则A=A1+A2 , 两分振动相互加强两分振动相互加强合振幅最大合振幅最大(2)若两分振动若两分振动反相反相 2 1= (2k+1) (

20、k=0,1,2,)则则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱两分振动相互减弱2AA1A如如 A1=A2 , 则则 A=0(3)一般情况：一般情况：|2121AAAAA1A2AA例例4 有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为程分别为cm)2cos(41txcm)2/2cos(32tx 求它们的合振动方程；求它们的合振动方程；2) 另有一同方向的简谐另有一同方向的简谐振动振动cm)2cos(233tx问当问当 3 为何值时，为何值时，x1+x3的振动为最大值？当的振动为最大值？当 3为为何值时，何值时，x1+x3的振动为最小值？的振动为最小值？)2co

21、s(0tAx解：解：1) 两个振动方向相同，频率相同的简谐振动两个振动方向相同，频率相同的简谐振动合成后还是简谐振动，合振动方程为合成后还是简谐振动，合振动方程为)2cos(0tAx)cm(5)cos(212212221AAAAA43coscossinsintan221122110AAAA)cm()5/42cos(5tx所求的振动方程为所求的振动方程为540590相位相同时当,), 2, 1, 0(213kk2)，振幅最大即), 2, 1, 0(23kk相位相反时（当,), 2, 1, 0() 1213kk，振幅最小即), 2, 1, 0(23kkcm)2cos(41txcm)2cos(233txX(m)o)(st4