初等数学研究(八)轨迹ppt课件

1、1第八讲第八讲轨迹及探求轨迹及探求2n一、轨迹的意义一、轨迹的意义1. 1.轨迹定义：轨迹定义：满足某种条件满足某种条件C C的一切点所构成的图形的一切点所构成的图形F F，称为符合条件称为符合条件C C的点的轨迹。的点的轨迹。2. 2.关于轨迹的证明：关于轨迹的证明：要判定一个图形要判定一个图形F F是符合条件是符合条件C C的点轨迹，必须从以下两方面去证明：的点轨迹，必须从以下两方面去证明：(1)(1)符合条件符合条件C C的所有点都在图形的所有点都在图形F F上；上；( (完备性完备性) )(2)(2)图形图形F F上的点都符合条件上的点都符合条件C C。( (纯粹性纯粹性) )3n 完

2、备性、纯粹性的等价命题完备性、纯粹性的等价命题(1)完备性：不在图形完备性：不在图形F上的点都不符合条件上的点都不符合条件C；(2)纯粹性：不符合条件纯粹性：不符合条件C的点都不在图形的点都不在图形F上。上。 也就是说也就是说(1) (1)，(2) (2)， 所以，轨迹的证明可取：所以，轨迹的证明可取：(1)(2)；(1)(2)；(1)(2)；(1)(2)四种不同的形式四种不同的形式(其实质相其实质相同同) 一般先选择一般先选择(1)(2)证明，非必须，一般不用其他方法。证明，非必须，一般不用其他方法。 4例题选讲例题选讲n例例1.求证：求证： 对定线段对定线段ABAB张的角等于定角张的角等于

3、定角的点的点P P的轨迹，是以的轨迹，是以ABAB为弦，所含为弦，所含的圆周角等于的圆周角等于的两个弧：弧的两个弧：弧AmBAmB和弧和弧AmAm B B。P.PABmmPPPPPP5二、原人教版中学教材中六个基本轨迹定理二、原人教版中学教材中六个基本轨迹定理n中学几何课本中的六个基本轨迹定理中学几何课本中的六个基本轨迹定理： 1、2、3、4、5、6 这六个基本轨迹定理，在以后的证(解)题或其他轨迹命题的证明中，可直接引用而不必证明。6n1.到两个已知点的距离相等的点的轨迹,是 连结这两点的线段的垂直平分线连结这两点的线段的垂直平分线; ;n2.和两条相交直线距离相等的点的轨迹,是 平分这两条

4、已知直线所成角的两条互相垂直平分这两条已知直线所成角的两条互相垂直的直线的直线; ;n3.和两条平行直线距离相等的点的轨迹,是 和这两条直线平行并且距离相等的一条直线和这两条直线平行并且距离相等的一条直线; ;n4.和一条直线的距离等于定长线段的点的轨迹,是 和这条直线平行并且距离等于定长的两条直和这条直线平行并且距离等于定长的两条直线线; ;n5.和已知点的距离等于定长线段的点的轨迹,是 以已知点为圆心以已知点为圆心, ,以定长线段为半径的圆以定长线段为半径的圆; ;n6.对一条线段所张的角等于定角的点的轨迹,是 以这条线段为弦以这条线段为弦, ,所含的圆周角等于这定角所含的圆周角等于这定角

5、的两个弧的两个弧. .7三、轨迹命题的三种类型三、轨迹命题的三种类型n 轨迹命题的一般形式是轨迹命题的一般形式是“具有性质的点的轨迹是图形具有性质的点的轨迹是图形”。其中命题的题设部分就是轨迹的条件其中命题的题设部分就是轨迹的条件C C，结论部分就是轨迹的图形结论部分就是轨迹的图形F F。由于由于对轨迹的图形对轨迹的图形F F的叙述的方式不同，轨迹命题通常分为三种类型。的叙述的方式不同，轨迹命题通常分为三种类型。 81.第一类型第一类型n 命题的结论中明白的给出了轨迹图形的形状、大小命题的结论中明白的给出了轨迹图形的形状、大小(如果有大小可言如果有大小可言)和位置。和位置。 如：平面内到两个定

6、点距离相等的点的轨迹是以两定点为端点的线段的垂直平如：平面内到两个定点距离相等的点的轨迹是以两定点为端点的线段的垂直平分线。分线。 这类命题具有定理的形式，解题时只需要进行证明即可。证明步骤是：这类命题具有定理的形式，解题时只需要进行证明即可。证明步骤是：证完备性；证纯粹性；下结论。证完备性；证纯粹性；下结论。92.第二类型第二类型n 命题的结论中给出了轨迹图形的形状，而对其大小命题的结论中给出了轨迹图形的形状，而对其大小(如果有大小可言如果有大小可言)和位和位置叙述不完全，或没有涉及。置叙述不完全，或没有涉及。 如：平面内到两个定点距离相等的点的轨迹，是一条直线。如：平面内到两个定点距离相等

7、的点的轨迹，是一条直线。10n 这类轨迹命题同样具有定理的形式。但在解题方面与第一类型又有所不同。首这类轨迹命题同样具有定理的形式。但在解题方面与第一类型又有所不同。首先需要探知轨迹的大小和位置。因此，解决这类命题的方法步骤大致为：先需要探知轨迹的大小和位置。因此，解决这类命题的方法步骤大致为：探求轨迹图形的位置和大小，使其基本轮廓确定；探求轨迹图形的位置和大小，使其基本轮廓确定；证明包括证完备性、纯粹性、下结论证明包括证完备性、纯粹性、下结论讨论：即研究给定的条件对轨迹图形的影响。讨论：即研究给定的条件对轨迹图形的影响。(有些特殊的点、线问题有些特殊的点、线问题)113.第三类型第三类型n

8、命题中只给出了题设条件，没有结论，属于问题形式，故称为命题中只给出了题设条件，没有结论，属于问题形式，故称为轨迹问题轨迹问题。 如如: :求平面内到两个定点的距离相等的点的轨迹。求平面内到两个定点的距离相等的点的轨迹。 解决此类问题的方法步骤与第二类型轨迹命题类似：解决此类问题的方法步骤与第二类型轨迹命题类似：探求轨迹探求轨迹图形的形状、和位置；证明；讨论。探求过程可能较繁难，这是图形的形状、和位置；证明；讨论。探求过程可能较繁难，这是轨迹命题中最难的一种类型。轨迹命题中最难的一种类型。12四、轨迹命题举例四、轨迹命题举例(一一)n第一类型第一类型 例例3. 一底边固定而其邻边为定长的平行四边

9、形的对角线的交点的轨迹，为以固定底边的中点为圆心，以定长为直径的圆。 13lABCD.O 已知：已知：AB为定线段，另一定长为为定线段，另一定长为 l (如图如图)，ABCD是以线段是以线段AB为一边、邻边为一边、邻边 AD=l 的一平行四边形，的一平行四边形， O是以是以AB中点中点为圆心，为圆心， 为半径的圆。为半径的圆。 求证：这样的平行四边形的对角线交点求证：这样的平行四边形的对角线交点的轨迹就是的轨迹就是 O.2lP14证明：证明：(1)完备性完备性 设P为平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，连OP，则因O是AB的中点，P是BD的中点，知OP是ABD的中位线，从而 ，即点P在

10、 o上 lABCDP.Ol21AD21OP.O15l(2)纯粹性纯粹性 设P是 O上的任一点，连AP并延长至C点，使PC=AP,连BP并延长到D点，使PD= BP，则ABCD是一个平行四边形，对角线交点为P。 l.OABCDPCD. P 由于O、P分别是AB、BD的中点，因而AD=2OP，而P在 O上，OP= 。 因此，AD=2OP=2 = l 。 即 O上任一点(与AB的交点除外)均为以AB为一边，定长l为邻边的平行四边形的对角线交点。 综合综合 (1)、(2)命题得证。命题得证。l21l2116关于轨迹上的特殊点关于轨迹上的特殊点n极限点极限点题设图形处于极限位置时产生的点；n临界点临界点

11、在轨迹端点处的极限点；n终止点终止点处在轨迹端点位置，本身又属于轨迹，不是临界点。 这些特殊点对于确定轨迹图形的形状、大小和位置有时起着决定性作用，通常在解决轨迹的讨论部分，应指出哪些是特殊点才算完整。n静点静点相对于轨迹上的一般动点，位置确定的点。另外还有孤立点等。17第二类型第二类型 解决这类命题与第一解决这类命题与第一类命题比较，需增加探求类命题比较，需增加探求过程，即通过合理的猜测过程，即通过合理的猜测或预测确定轨迹图形的大或预测确定轨迹图形的大小小(有大小可言有大小可言)和位置，和位置，再如同第一类命题进行证再如同第一类命题进行证明、讨论。明、讨论。 18n 例例4. 和两个定点距离

12、等于定比和两个定点距离等于定比(不等于不等于1)的点的轨迹是一个圆周，称为阿氏圆。的点的轨迹是一个圆周，称为阿氏圆。 已知：已知：A、B为两定点。求：点为两定点。求：点P的轨迹，使的轨迹，使 PAPB=m(常数常数) (m1) 探求：探求：倘若倘若P P点合乎条件，易知点合乎条件，易知P P点关点关于直线于直线ABAB的对称点也合乎条件，即所求圆的对称点也合乎条件，即所求圆周应以周应以ABAB为对称轴，那么圆周直径就在直为对称轴，那么圆周直径就在直线线 ABAB上了。上了。.A.BP.19.A.BP. 在线段在线段AB及延长线上分别取及延长线上分别取C、D，并并使使ACCB=ADDB=m,则则

13、C、D合乎条件合乎条件，故轨迹可能是以，故轨迹可能是以CD为直径的圆周。为直径的圆周。 连连PC、PD，则则PC、PD分别为分别为PAB中中APB的的内、外角平分线，因而内、外角平分线，因而PCPD，可见可见P确为以确为以CD为为直径的圆周上一点。直径的圆周上一点。.C.D20证明：证明：(1)完备性完备性 由探求可知，凡符合条件的点都在以CD为直径的圆上。F(2)纯粹性纯粹性 设P是以CD为直径的圆周上任一点，连PA、PB 、PC、PD，过点C作直线平行于PD，分别交PA、PB于E、F两点。则ECPD=ACAD，CFPD=CBBD . 由于ACCB=ADDB=m； 所以ACAD=CBBD(交

14、换内项)； 则ECPD=CFPD；于是 EC=CF. 又 PCPD，EFPD .PCEF . 从而PC平分APB， 因此PAPB=ACCB=m; 即点即点P符合条件，命题得证。符合条件，命题得证。E.A. B.C.DP.21第三类型第三类型轨迹命题的第三类型解轨迹命题的第三类型解决起来比第二类型更复杂一决起来比第二类型更复杂一些，主要体现在探求上，因些，主要体现在探求上，因为命题中并未告知图形的形为命题中并未告知图形的形状、大小和位置，均需由解状、大小和位置，均需由解题者探求、预测。题者探求、预测。 22常用的五种探求方法常用的五种探求方法n1. .性质预测法性质预测法. .n2.2.找特殊点

15、法找特殊点法. .n3.3.初等变换法初等变换法. .n4.4.描迹法描迹法. .n5.5.间接求迹法间接求迹法. .231.性质预测法性质预测法主要是根据轨迹的对称性和范主要是根据轨迹的对称性和范围来探求轨迹。围来探求轨迹。 例例7.从已知半圆直径从已知半圆直径AB延长线上取一延长线上取一点点C，作切线作切线CT及及OCT的平分线的平分线CP，从圆心从圆心O作这条角平分线的垂线，求定作这条角平分线的垂线，求定垂足垂足P的轨迹。的轨迹。PTCOAB24过过O作直径作直径AB的垂半径的垂半径OD，则已知图形关于则已知图形关于OD对称；由于条件也关于对称；由于条件也关于OD对称，故轨迹应关对称，故

16、轨迹应关于于OD对称。当点对称。当点C趋近于趋近于B时，所论角平分线趋时，所论角平分线趋近于近于BD，动点动点P趋近于趋近于BD的中点的中点G，因而点因而点G及及和和G关于关于OD对称的点对称的点H(AD的中点的中点)为轨迹的两个为轨迹的两个端点。端点。M H D探求：探求：GNEFPTABOCE252.找特殊点法找特殊点法探求轨迹时可以使其动点移动到一些特殊的位置上，从而求轨迹上相应的特殊点，然后再根据这些特殊点的位置来判断所求的图形，这种方法称为特殊点法特殊点法。这种方法常同性质预测法一起使用。26n例8.AB是定半圆所在圆的直径，O是 圆 心 ， C 是 半 圆 上 一 个 动 点 ，C

17、DAB，D是垂足，在半径OC上截取OP使OPCD，求P点的轨迹。(如图)CPBAOD27M CBAPOD 探求：由已知条件看出，动点探求：由已知条件看出，动点P随随C点点的移动而移动。当的移动而移动。当C点移动到点移动到A点的位置点的位置时，时，OPCD0，即点即点P与圆心与圆心O重合，重合，故而故而O是轨迹上一个特殊点。当是轨迹上一个特殊点。当C点移动点移动到到AB弧的中点弧的中点M的位置时，的位置时，OPCDOM，即即P点与点与M点重合，因此点重合，因此M是轨迹是轨迹上的又一特殊点。上的又一特殊点。28M CBAPOD 给定的半圆及条件皆关于给定的半圆及条件皆关于OM对称，所对称，所以轨迹

18、也应以以轨迹也应以OM为对称轴。为对称轴。 设设P是满足条件的任意点，连是满足条件的任意点，连PM，则则CDOP，OCOM，OCDMOP，有有 OCD MOP，OPMCDO90 故可预测所求轨迹应为以故可预测所求轨迹应为以OM为直为直径的圆。径的圆。293.描迹法描迹法按照题设条件作出轨迹若干点，再用光滑的曲线按照题设条件作出轨迹若干点，再用光滑的曲线(直线直线)把它把它们连接起来，初步得到所求轨迹的大致形状和位置，然后们连接起来，初步得到所求轨迹的大致形状和位置，然后按照定形、定位的条件来确定轨迹。这种方法称为描迹法。按照定形、定位的条件来确定轨迹。这种方法称为描迹法。请大家留意关于描迹法的

19、注意点！30例例12三角形有一内角固定，夹此角的两边的和为定值，求第三边中点的轨三角形有一内角固定，夹此角的两边的和为定值，求第三边中点的轨迹。迹。 n题设：题设：在ABC中，角A的位置固定，ABACl(定长)，P为BC的中点。n求：求：点P的轨迹。ABCP31探求：探求： 先寻求轨迹中的一些特殊点。当C点移动到A点处，则P在P1位置：AP1 ；当B点移动到A点处，则P在P1位置，AP1 。因此，P1与P1为轨迹的临界点，因而轨迹可能是线段或圆弧。l21l21ABCPB1C1P1 P1BBCCCCC32继续探求：继续探求：；的中点为取，令；的中点为取，令3333322222PCB43AC41ABPCB32AC31ABllllB2 C2 ABCPB1C1P1 P1B3 C3P3 顺次连接顺次连接P P1 1、P P2 2、P P3 3、P P1 1，可可以看到它们大致在一条直线上，故可以看到它们大致在一条直线上，故可猜测：轨迹的图形可能是以猜测：轨迹的图形可能是以P P1 1、P P1 1为端点的线段。证明可参看赵振威为端点的线段。证明可参看赵振威本本P P144144例例2 2，请大家自行完成，请大家自行完成 P2334间接求迹法间接求迹法n(1)直接求迹