033平面向量的数量积复习设计师

1、专题 033：平面向量的数量积 （复习设计）（师） 考点要求：1考查平面向量数量积的运算2考查利用数量积求平面向量的夹角、模3考查利用数量积判断两向量的垂直关系紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平 4 面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系知识结构：1两个向量的夹角 a 0°时， )180°叫做向量 a 与 b 的夹角，当 a，OB b，则 AOB (0 ° OA 已知两个非零向量 a 和 b (如图 )，作 .a b 的夹角是90 °，我们说a 与 b 垂直，记作与b 同向；当180

2、76;时， a 与 b 反向；如果a与 b 180 。 在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0 注意C2 两个向量的数量积的定义|cos |ba · b |aa 与 b 的数量积 (或内积 )，记作a· b ，即 |已知两个非零向量a 与 b ，它们的夹角为，则数量a|b|cos 叫做 0. a，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0· 向量数量积的几何意义 3 的数量积在 a 的方向上的投影 |b|cos a· b 等于 a 的长度 |a|与 b 数量积 向量数量积的性质 4 的夹角则 b(或 e)a、b 都是非零向量， e 是单位向量，

3、为a 与设；· b 0(2) a b?a a· e |a|cos ；(1) e· a 2 ； a· |或者 |a|a· ab |a|b|，特别的，a· a |aba (3)当 a 与 b 同向时，· b |a|· |；当 a 与 b 反向时，b· a|.a|ba ·b| |(5)| (4)cos ；|b|a 5向量数量积的运算律. cc b·b(3)( a) ·c a· )ba · b (a· ) a· ( b；··

4、 (1)ab ba ；(2) 平面向量数量积的坐标运算 6 的夹角为，则 y)，向量 a 与 b ，)设向量 a (x， y， b (x 2112xx yy 221122； (4) a b?a·b 0?xx y，； yx a； (2)|y xx ba(1)· y| (3)cosab y 0.21111222112222y x x y2211-1 -22 平面内两点间的距离公式)y y a| x x ( ，7若 A(x ，y)B(x ，y)，AB a，则 |212122118特别注意： ，a 0) a·c(但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c 若满足 a&

5、#183;b；(1)若 a，b，c 是实数，则 ab ac?b c(a 0) c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量则不一定有b aabccabccabcab 共线的，这是由于 ( ·)(2) 数量积运算不适合结合律，即 (· ) ·表示一个与(表示一个与·共线的向量，)cabcaabc与(不一定共线，因此()·· )不一定相等与向量，而BCABCAB . 60 ° (3) 向量夹角的概念要领会，比如正三角形的夹角应为中，120 °，而不是与基础自测：a·b 3，则a 与b 的夹角为(

6、)，若 1已知|a| 3， |b| 23 2D.A.B.C.43343 21· baC .答案 .cos 32b|a|23× ( a· (b· mb与 b 的夹角为，则又0，解析设 a)， c 为任意向量，m R ，则下列等式不一定成立的是2若 a， bDc)答案 D(a· b)· c( B (ab)· c a·c b· cC ma b ) ma )A (a bc a( bc) 2b)(D 2 b，且B 3a c，则 c· (a 3 (2011 · 广东 )若向量CA4a， b， c满

7、足a0D答案实数c·b 0.2b) c·a 2a 由解析a b 及 a c，得xa4已知向量a (1,2) ，向量 b (x， 2) ，且 4DC0A9B4b c，则c· ()等于 ( (a b)，则A 9.答案 8 0. xx x,4) 由 a (a b)，得 1解析a b (1 的夹角为 _ 2，则 a与 bb (a 2) · (a b ) |)5 (2011 · 江西 已知 |a| |b 2， 2， b) 2， (a2b)(a|解析由|a| b| 12· bab.答案，又a，b0， 所以 a，得a·b 2，cosa，b

8、32|b |3a|22× 例题选讲：1 求两平面向量的数量积上的高，则的值等于（），中， 例 1：如下图，在，是边ACADBCAD303ABC ABCABBC99 DC A0B444，借助数量积的定义求出，【思路点拨】充分利用已知条件的ABCABBC330- 2 -92 ADAC cos CAD AD AC AD 3因为，是边上的高 , ，【答案】 B 【解析】 . AD 3 AB ABC 30 AC BCAD42 )D · AC 等于 (学生练习：在 ABC 中， AB 3， AC2， BC 10，则 AB3232D.C. A. B. 2323 2 利用平面向量数量积求夹

9、角与模61. ) (2a b | 4， |b | 3， (2a 3b)·【例 2】 ?已知 |a ；与 b 的夹角 (1) 求 a|.b 和 |a (2) 求 |a b | 的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角由平面向量数量积的运算法则得 a· b 分析：6. a· b (1)(2 a 3b)· (2a b) 61，解得 解6 2 1ba · .，cos ，又03b|2|a|3× 4222 a 13 2a· b b ， (2)|a b|13.b| |a 22237. |ba 2a· b |a b37. b | |

10、a 要引起足够重视，是求距a a·小结：在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a| 离常用的公式1)B ( a2 等于 b |b 学生练习：设向量 a， b 满足 |a| | 1， a· b ，则 |27D. C.5A.2B.33平面向量的数量积与垂直问题 x R) (2x 3， x)( 【例 3】 ?已知平面向量a (1 ， x) ，b 的值； b，求 x(1) 若 a|.b|a (2) 若 a b，求 0，求解 ?xy xy0 b ?xx yy 及 a b 分析： 利用 a12211212 b ，解 (1)若 a0. ) x( xxx) 1

11、× (2 3) 3则 a·b (1，x) ·(2x ， 2 3. 1 或 xx 2 3 0，解得整理，得xx 03) ， x) x(2x (2)若 ab ，则有 1× ( 2.或 x 0，解得 x 04) 即 x(2x 2,0)， b ( (1,0) ， b (3,0) aax 当 0 时， 222. 0 | 2 a | b 1,2)， a b (2 ， 4)， (b2)(1 a2x 当时， |a b| 25.- 3 -5.22 或综上，可知|ab|已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值 在计算数量积时要注意方法小结：的选

12、择： 一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算，求OBOA ， m) ， OB (n,1) ， OC (5，1)，且 2 学生练习：已知平面内 A ， B ， C 三点在同一条直线上，OA ( 的值， n 实数 m C三点在同一条直线上，B 解 由于 A ，)， AC AB ， AC OC OA (7， 1 m则 ， AB OB OA (n 2,1 m)， ) ( 1 m)(n 2) 07(1 m 即 mn n 5m 90，又 OA OB ， 2n m 0.，m 3， 6m联立，解得或

13、33n . n2 巩固作业： A 组： 方向上的投影为则向量在, 已知点、CD1)2,B(1,2)C( AB4)A(1,1)D(3, ）（2013年高考湖北卷（文） 1）（1533322315 A BC D2222A【答案】 5)(5,(2,1) AB 15AB (2,1),CD (5,5) CD ，,所以本题考查向量的投影以及数量的坐标运算。因为2315AB CD22CDCD ABcos AB,AB25 55 CD A.在，选方向上的投影为。所以向量225CD=,m2,2若 , nm n 1,1n, 则 m）（已知向量）2 （3 ）2013 年高考大纲卷（文3-2 4-1 CBD AB【答案

14、】06)(2)(2, 33) ( 1,1n m( n)(m )3，故选 B.，所以3 ABC.b,BaaO0,0A,0,有则必三角角形若点已知，为直）2013 3 （年文卷宁（）9 辽高考（）133a b abB Aa- 4 -1133330 b aba b ab 0 aDCaa C【答案】 1331KK0 ab0 b a ，为直角， 则利用若 A 为直角， 则根据 A、B 纵坐标相等， 所以得；若 BABOBaC所以选 ABCD)42, (1AC,2),BD( , ） 在四边形 , 中则该四边形的面积为（）（2013 年高考福建卷（文） 45525D10 A CBC【答案】 04) 2AC2

15、 BD 1 (BC AC ，所以四边形的本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长因为，所以222224) 2 ( 1|BDAC| |5面积为，故选 C22)k( 2,OB OA3,1) ( OAOB 数实 , 则的线矩形中 , 为边 , 为对角 ）文 14 ）庆 5（ 2013 年高考重卷（ k _.4【答案】 )k 2, 3,1),OB (OA (以所矩形中， ，积考题查向量的坐标运算以及向量的数量的运算。在本 4k k1 0 3 0AB OA AB OA1) 3,1) (1,k( OA2,k) (AB OB ，即，因为。，解得，所以o90ABO2)(1,tOB (2,OA xOy 则实数

16、, 若 , 在平面直角坐标系, 中 , 已知 ）15 ）年高考山东卷 （文6（ 2013 t 的值为 _5【答案】 o90 ABO 0 t 46 22)BA OB ( 3,t(BA 3,t 2) (2,2) 5 t 。，所以，故因为,12.cos Ab ， c，内角 A ， B ， C 所对边长分别为 a， 30 7 (2010 ·安徽 ) ABC 的面积是13 AC ；(1) 求 AB · a 的值1，求 b(2) 若 c bc，最后利用数量积及余弦定理可解决sin A ，再利用面积公式求分析：先求12512 2 )分.(2 A 解： 由 cos A ，得 sin 11313131 30，