线性系统理论状态观测器设计教学课件PPT

1、15.5.1 5.5.1 观测器问题的提法观测器问题的提法5. 5 状态观测器设计状态观测器设计 状态观测器问题的引入是实现反馈控制的需要。状态观测状态观测器问题的引入是实现反馈控制的需要。状态观测器分为：全维状态观测器，降维状态观测器。器分为：全维状态观测器，降维状态观测器。 状态重构的实质，对于线性时不变观测系统状态重构的实质，对于线性时不变观测系统 ，构造与其，构造与其具有相同属性的一个系统具有相同属性的一个系统 ，利用，利用 中可直接测量的输出中可直接测量的输出y和输入和输入u作为作为 的输入，并使的输入，并使 状态状态 在一定指标下等价于在一定指标下等价于 状态状态 x。x )( l

2、im)( limtxtxtt2b+a+cxy状态观测器ux 图5.2 状态观测器定义定义 设设n n维系统维系统 的状态的状态x x 不可测，对给定矩阵不可测，对给定矩阵 ，若有，若有 一系统一系统 , ,以以 的输入的输入u u和输出和输出y y作为它的输入，作为它的输入， 的输出的输出 满足：满足：nlk1)(ltw0)()(limtwtkxt(5-31)则称则称 为为 的的kx观测器。观测器。3若若k k = =i,i,则称则称 为为 的状态观测器。的状态观测器。（1）观测器构造思路：）观测器构造思路：a.a. 以原系统以原系统 的输入的输入u u 和输出和输出 y y作为观测系统作为观

3、测系统 的输的输 入；入；b. b. 引入反馈引入反馈 。) (xcylu(abc)bsalc+ +_xx y图5.3 状态观测器实现结构y 4适当选适当选 ，可使，可使 a-lc a-lc 有希望特征值。有希望特征值。qnl )(xkylybuxlcax 这种闭环观测器结构，可以克服开环系统容易发散、收敛这种闭环观测器结构，可以克服开环系统容易发散、收敛速度慢及鲁棒性差等缺点。速度慢及鲁棒性差等缺点。状态观测器方程为状态观测器方程为(5-32)（2 2）唯一性）唯一性 观测器不唯一观测器不唯一 gs若有一系统若有一系统r r维维 , ,它以它以u u和为输入，并和为输入，并有5.5.2 5.

4、5.2 观测器存在条件观测器存在条件5nrmyezwgynufzzsg :符合什么条件符合什么条件 sgsg 为为 的的 kx kx 观测器。观测器。 即有即有0)()(limtwtkxt(5-33)定理定理 5.85.8 若若 能控能观能控能观, , 则则sgsg成为成为 的的kxkx观测器的充分必观测器的充分必要条件是：要条件是：1 1）（）（f f，e e）完全能观；）完全能观；2 2） f f的全部特征值的全部特征值 具有负实部，具有负实部，即)(firifi, 2 , 1 0)( re即即sgsg是渐近稳定的；是渐近稳定的；63）rjnifaii1 ; 1 )()(4）mcepk5）

5、gcfppa6）pbn 其中，其中， 必唯一存在。必唯一存在。nrp 这一定理不仅判断这一定理不仅判断sgsg是否为是否为 的观测器，也是设计观测器的观测器，也是设计观测器的依据。的依据。设计步骤：设计步骤：（1 1）按）按 2 2）和）和3 3）选）选f f；（2 2）选一）选一g g阵，并由阵，并由5 5）定）定p p ；（3 3）由）由6 6），解），解n ;n ;7验证（验证（f f，e e）是否完全能观测；）是否完全能观测；kcpme （4 4）由）由 4 4）求解）求解 ，导出，导出e e，m m；（5）可见，可见，f f，g g选择不同，存在不同的选择不同，存在不同的p p，即对

6、，即对 构造的构造的kxkx观测器观测器不只是一个。不只是一个。可以证明：可以证明： 1 1）这些观测器之间必是代数等价的。）这些观测器之间必是代数等价的。 2 2）若）若 能控能观，能控能观， 都有（都有（5-335-33）形式的动态系）形式的动态系统，若统，若 为为 的的kxkx观测器，且观测器，且 也必是也必是 的的kxkx观测器。观测器。21 , ggss1gs221sgsgsg若若 ， , ,则（则（5-335-33）式为）式为 ezwgynufzz nr0 m(5-34)8若若 ， ，相应观测器称为降维观测器。，相应观测器称为降维观测器。nr 0m称为全维观测器。称为全维观测器。

7、对对 全维观测器，参数除按上述设计步骤外，又有全维观测器，参数除按上述设计步骤外，又有特定取法：特定取法：nrlglcaf ,则则有有lclcpappaplcapafppa)(nip 从而从而 ekbn , 于是得到一特定的于是得到一特定的n n 维维kxkx观测器。观测器。9 )(kzwlybuzlcaz )(xkylybuxlcax为与一般观测器区别，以为与一般观测器区别，以 代代z z， 代代 w wxy称此为称此为 的一个全维的一个全维kxkx观测器；观测器；k=ik=i为为 的一个全维状态观测的一个全维状态观测器器 因为满足结构条件的因为满足结构条件的l l 不唯一不唯一, ,全维观

8、测器也不唯一。全维全维观测器也不唯一。全维观测器设计较简单。观测器设计较简单。5.5.2 5.5.2 全维状态观测器设计全维状态观测器设计(5-35)10 若若 能观，其对偶系统能观，其对偶系统 必是能控的。必是能控的。因此，可用对偶关系设计观测器因此，可用对偶关系设计观测器),(ttca),(tttbca任意配置极点，这些极点也正是（任意配置极点，这些极点也正是（a,b,c)a,b,c)观测器中观测器中的极点。的极点。 xbyucxaxttt那么对任意指定的极点那么对任意指定的极点，可求得状态反馈可求得状态反馈xgvut使得闭环系统使得闭环系统vcxgcaxtttt)(gca（a,b,ca,

9、b,c）能观）能观 能控能控 能控能控),(tttbca),(tttbca极点配置11算法算法1 1 两次反馈两次反馈 1 1）先求）先求 ，使对单输出系统能观，使对单输出系统能观g 若若 能观，且有能观，且有rank c=mrank c=m。xcybuxcgax11)(11, yc分别为分别为c c的第一行行向量和的第一行行向量和y y的第一分量。的第一分量。2 2）再求）再求z z，使，使 有希望极点有希望极点)(1zccga令令0 zg 则则)(1zccga与与)(cgcga有相同极点有相同极点(5-36)12ggg令令 ，则gybuxgcax)( 关键是求关键是求 ，下面给出具体方法：

10、，下面给出具体方法：g由于（由于（a a，c c）能观，所以）能观，所以ncacacrankwrankn10 (5-36)13tmnttnttmttttmttntttttcacacacacccacacw1111110)( ,)( , )(,的秩为的秩为n n，将，将 的列向量重新排列为的列向量重新排列为tw0tmnttmttmtnttttcacaccacac11111)(,)( ,并自左向右挑选最前面的几个线性无关列向量，以其为列向量构造矩阵tmttmttmttttttttttcacaccacaccacacwm121221111)( , )( ,)(,2114其中其中 ，且，且 , 令令mjj

11、n1nrankw ijji1构造矩阵构造矩阵列0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 032meees 列列列121mm其中其中 为单位阵为单位阵 的第的第 i 列列向量。令列列向量。令iemittswg1)(15则则xcybuxcgax11 )(是能观的。是能观的。算法算法2 利用利用luenbergerluenberger标准形标准形设所考虑系统为设所考虑系统为luenbergerluenberger能观标准形所示，即能观标准形所示，即 21212222111211ubbbxaaaaaaaaaubxaxppppppp(5-37)16xcccxcyp, 21其中jiaaijii 00

12、0000 ,10100pjici, 1, 0010000000i17现构造观测器，设所要求的观测器的特征多项式为现构造观测器，设所要求的观测器的特征多项式为01110)(asasassfnnn那么那么 的伴随阵的伴随阵 （能观形式）为（能观形式）为)(0sf*a110*10100naaaa设设 是是 阶方阵，显然阶方阵，显然 . .iiaiimm ijjipiimnm11 ,18 不难看出矩阵不难看出矩阵 与与 的差别仅在第的差别仅在第 诸列，由这些列构成的矩阵记为诸列，由这些列构成的矩阵记为 和和 。因而。因而 与与 的的差别仅在差别仅在 与与 的不同。同样，在的不同。同样，在 中取出第中取

13、出第 等等p p 列，由它构成的矩阵记为列，由它构成的矩阵记为 ，易知，易知 为如下为如下三角形阵三角形阵a*ap,21*papaa*ac,21pcpc11pcpa*pap,为了构造观测器，只需选择矩阵为了构造观测器，只需选择矩阵 使得使得0g*0acga19因而只需因而只需*0pppacga即有即有1*0)(pppcaag根据根据 ，就可构成所需的观测器为，就可构成所需的观测器为0gygubxcgax00)(5-38)5.5.3 5.5.3 降阶状态观测器设计降阶状态观测器设计 当系统阶数很高时，构造的全维观测器是很复杂的。降低当系统阶数很高时，构造的全维观测器是很复杂的。降低维数意味着观测

14、器只需较少个数积分器来构成。维数意味着观测器只需较少个数积分器来构成。20 cxybuaxx 任选任选 ，使，使 非奇异。非奇异。nqnr)(rcp令令211qqpq(5-39)若若rank c= qrank c= q。定理定理5.9 5.9 系统（系统（5-395-39）完全能观，它的最小观测器维数为）完全能观，它的最小观测器维数为 n-q.n-q. 定理定理5. 10 通过非奇异变换通过非奇异变换 ，线性定常系统（，线性定常系统（5-39）可以变成如下形式的系统可以变成如下形式的系统pxx 121212221121121xyubbxxaaaaxx (5-40)21其中， 为q维分状态， 是

15、n-q维分状态. 1x2x 因为 可直接测量，因此需要构造的是n-q维状态观测器。1x定理定理5. 11 分状态分状态 的的n-q维状态观测器为维状态观测器为 2xublbyalalalazalaz)()()()(12112212221222(n-q) q阵阵 取为使取为使 满足期望极点配置。满足期望极点配置。l)(1222ala (5-41)定理定理5. 12 对于线性时不变观测系统(5-39)，确定系统状态x重构状态 的关系式为x )(21ylzqyqx(5-42)降维观测器结构下图：22算法：算法：（1） 对给定c，任取r，使 非奇异；rcp（2）)( , ,21211qnnqqnqqq

16、pq为为（3）21222112111 ,bbpbbaaaapapa23（4）计算期望特征多项式qniiss1*)()(（5）对 采用极点配置算法，求 使ttaa1222,k)()det(*1222skaasitt（6）取tkl （7）计算ublbyalalalazalaz)()()()(12112212221222)(21ylzqyqx（8）停止。24+vu+wy(a b c)观测器受控系统的状态受控系统的状态x x，观测器的状态，观测器的状态z z，其中，其中z z是是r r维的，状态方程维的，状态方程式是式是 cxybvaxx 5.5.4 5.5.4 利用观测器构成的状态反馈系统利用观测器

17、构成的状态反馈系统25wuvmyezwnvgyfzz 进一步可表示为cxynuznefxnmcgczbubezxbmcax)()()(或者26 0cy zxunbzxnefnmcgcbebmcazx这就是带有观测器后闭环系统状态方程。 （1）若若x x是是n n维，维，z z是是r r维维 , ,则闭环系统维数为则闭环系统维数为n+r;n+r; （2）闭环极点具有分离性闭环极点具有分离性, , 即它可变为：即它可变为：性质：性质：ubzxfbebkazx0027mcepkpbngcfppa证明：证明：存在p，有zxcy 0 则ipip0显然显然 是非奇异的，且是非奇异的，且 ，作坐标变换，作坐

18、标变换 也即：也即： ，则有，则有ppp1zxpzxzpxzxx,28 0cy 0zxunbzxfbebkazx证毕。 所以观测器的引入不会影响极点配置，也不会影响解耦。所以观测器的引入不会影响极点配置，也不会影响解耦。 （3） 是系统的不能控不能观部分。是系统的不能控不能观部分。z或者表示成 )(cxyzfzbuzbexbkax295.5.5 5.5.5 离散观测器离散观测器 离散系统观测器的讨论方法和连续系统相似，设离散定常系统 能观，并且 是可逆阵。 ),(ch)()()()() 1(kcxkykhukxkxnrankwcccwn01030如果系统的能观性指标为如果系统的能观性指标为 ，则，则ncccrank1对于离散系统，作为全维状态观测器，可取为对于离散系统，作为全维状态观测器，可取为)()()()()()() 1(kkklykhuklck其中其中l是要选择的反馈阵，这时是要选择的反馈阵，这时)()()() 1() 1(kkxlckkx 连续系统连续系统l l的选择可以控制观测误差的速度，但不能在有限的选择可以控制观测误差的速度，但不