随机信号分析课后习题答案

1、第一次作业：练习一之1、2、3题1.1 离散随机变量x由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。解：1.2 设连续随机变量x的概率分布函数为求（1）系数a；（2）x取值在（0.5，1）内的概率。解：由 得 1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。（1）（2）（3）（4）解：（1）当时，对于，有，是单调非减函数；成立；也成立。所以，是连续随机变量的概率分布函数。求得，（2）在a>0时，对于，有，是单调非减函数；欲使和成立，必须使a=1。所以

2、，在a=1时，是连续随机变量的概率分布函数。同理，欲满足，也必须使a=1。所以，（3）上式可改写为对于，不成立。所以，不是连续随机变量的概率分布函数。（4）当时，不满足，所以不是连续随机变量的概率分布函数。第二次作业：练习一之4、5、6、7题1.4 随机变量x在，上均匀分布，求它的数学期望和方差。解：因x在，上均匀分布1.5 设随机变量x的概率密度为，求y=5x+1的概率密度函数。解：反函数x = h(y) = (y-1)/5h(y) = 1/5 1y6fy (y) = fx (h(y)h(y)= 1 ×1/5 = 1/5于是有 1.6 设随机变量上均匀分布，且互相独立。若,求（1）

3、n=2时，随机变量y的概率密度。（2）n=3时，随机变量y的概率密度。解：n=2时，同理，n=3时，1.7 设随机变量x的数学期望和方差分别为m和，求随机变量的数学期望、方差及x和y的相关矩。解：数学期望：方差： 相关矩： 第三次作业：练习一之9、10、11题 1.9随机变量x和y分别在0,a和0,上均匀分布，且互相独立。对于，证明：证：rv. x和y分别在0,a和0,上均匀分布有 和 因为rv. x和y相互独立命题得证1.10 已知二维随机变量（）的联合概率密度为，随机变量（）与随机变量（）的关系由下式唯一确定 证明：（）的联合概率密度为证：做由到的二维变换=1.11 随机变量x,y的联合概

4、率密度为求：（1）系数a；（2）x,y的数学期望；（3）x,y的方差；（4）x,y的相关矩及相关系数。解：（1）（2）同理 （3）（4）相关矩协方差相关系数第四次作业：练习一之12、13、14、15题1.12 求随机变量x的特征函数，已知随机变量x的概率密度解： 利用傅氏变换：1.13 已知随机变量x服从柯西分布，求他的特征函数。解： 利用傅氏变换：1.14 求概率密度为的随机变量x的特征函数。解： 利用傅氏变换：1.15 已知相互独立的随机变量x1，x2，x3，xn的特征函数，求x1，x2，x3，xn线性组合的特征函数。ai和c是常数。解：互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数

5、之积。第五次作业：练习二之1、2、3、4、5题2.1 随机过程，其中为常数，a、b是两个相互独立的高斯变量，并且，。求x(t)的数学期望和自相关函数。解： （） （） （）2.2 若随机过程x(t)在均方意义下连续，证明它的数学期望也必然连续。证： 由均方连续的定义，展开左式为：=固有，证得数学期望连续。2.3 证明随机过程存在均方导数的充分条件是：自相关函数在他的自变量相等时存在二阶偏导数。证：在时存在，也就是存在。2.4 判断随机过程是否平稳？其中为常数，a、分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。； 解： 与时间的起点无关，且因此，是广义平稳的随机过程。2.5 证明由不相关的两个

6、任意分布的随机变量a、b构成的随机过程是宽平稳而不一定是严平稳的。其中为常数，a、b的数学期望为零，方差相同。证： （）因此，是广义平稳的随机过程。可见，该随机过程构不成三阶平稳，因此不符合严平稳过程的要求。第六次作业：练习二之6、7、8、9、10题2.6 有三个样本函数组成的随机过程，每个样本函数发生的概率相等，是否满足严平稳或宽平稳的条件？解：由于数学期望与时间相关，不为常数，因此不满足一阶平稳，也就不满足严平稳或宽平稳的条件。2.7 已知随机过程，为在内均匀分布的随机变量，a可能是常数、时间函数或随机变量。a满足什么条件时，是各态历经过程？解： （1）考查为平稳过程的条件在a为常数或与不

7、相关的随机变量时，满足（2）考查为各态历经过程的条件在a为常数或与不相关的随机变量时，满足而只有在a为常数时，满足。欲使是各态历经过程，a必为常数。2.8 设和是相互独立的平稳随机过程，他们的乘积是否平稳？解：令又和的乘积是平稳的。2.9 求用自相关函数及功率谱密度表示的的自相关函数及功率谱密度。其中，为在内均匀分布的随机变量，是与相互独立的随机过程。解：2.10 平稳高斯过程的自相关函数为，求的一维和二维概率密度。解：（1）的一维概率密度：（2）平稳高斯过程n维概率密度等于n个以为概率密度的乘积。第七次作业：练习二之11、12、13、14、15题2.11 对于两个零均值联合平稳随机过程和，已

8、知，说明下列函数是否可能为他们的自相关函数，并说明原因。解：（a）自相关函数是偶函数，仅有(1)、(2)、(3)、(6)满足；（b），（a）中仅有(2)、(3)、(6)满足；（c）对于非周期平稳过程有，（b）中仅有(6)满足。因此，(6)是自相关函数。2.12 求随机相位正弦信号的功率谱密度，为在内均匀分布的随机变量，是常数。解：2.13 已知随机过程，式中是常数，是平稳过程，并且相互之间是正交的，若表示的功率普密度，证明功率谱密度为证：因是平稳过程，并且相互之间是正交的，。2.14 由和联合平稳过程定义了一个随机过程（1）和的数学期望和自相关函数满足那些条件可使是平稳过程。（2）将（1）的结

9、果用到，求以和的功率谱密度和互谱密度表示的的功率谱密度。（3）如果和不相关，那么的功率谱密度是什么？解：（1）欲使与时间无关，不随时间函数、t变化，和的数学期望必须是；在时，上式可写作与时间起点无关的表达式：因此，当，时，是平稳过程。（2）对两边同时作傅氏变换：（3）和不相关，的互功率谱密度为零。2.15 设两个随机过程和各是平稳的，且联合平稳式中，为在内均匀分布的随机变量，是常数。他们是否不相关、正交、统计独立。解：和是相关的，不是统计独立的；又，和是非正交的。第八次作业：练习三之1、2、3、4、5题3.1 rc积分电路的输入电压为，其中和分别是在0，1和0，上均匀分布的随机变量，且相互独立。求输出电压y(t)的自相关函数。解：rc积分电路的=3.2 若图示系统的输入x(t)为平稳随机过程，求输出的功率谱密度。解：3.3 冲激响应为和的两个系统并联，求、和x(t)的自相关函数表示的和的互相关函数。解：设x(t)为平稳过程，和为线性时不变系统，有3.4 随机过程x(t)作用到