7.数学建模-差分方程法

1、§8.常见的数学建模方法(4)-差分方程法差分与差分方程基本知识(1)差分的定义给定函数 y =f(x), x 曰 0,1,2,3,4、5 . 简记 f(x)=yx , x 0,1,2,3,4, 5 .称yx+i -yx为y =f(x)在x处的一阶差分,并记为Ayx,即 Ay* 三 yx+i-yx二f(x+i)-f(x).类似地，可以规定：人2办三 A(Ayx) = A(yx+1 -yx ) = yx+2-2 yx+1 + yx =f ( x+2 ) - 2 f ( x+1) +f ( x )称之为yx的二阶差分;儿=A(Anyx),称之为yx的n阶差分.(2)差分运算的基本性质如果

2、A为常数，则A(Ayx )=AAyx ；A(yx ± zx) = Ayx 土Az“(儿乙)=j4 +儿丄人(孑)=- zz一阶常系数线性差分方程称yx+i-ayx = h(x)(a为常数，h(x)为已知函数)为关于 yx的一阶常系数线性差分方程.它的特征方程为：r- a = 0.这个差分方程的通解为:yx = A ax + y*x，其中y*是一个特解，A为任意常数特别地，当h(x)三h为常数时，则(i)当时，可取：*h儿一 1a(ii)当 a = 1 时，可取：y*x = h x 求解一阶差分方程时，为了确定一个具体的解，也就是爲了確定 常數A，还需一个定解条件。通常的定解条件是“初

3、始条件” 即y(o)= y° (已知常数)类似于微分方程的稳定性讨论，也电迖论一阶常系数线性差分 方程的稳定性问题。h当a点1时，女口令 ux =1a则 yx+i - a yx = h 可以化成 ux+iaux=° -类似于微分方程，这个差分方程的平衡点为关于u的代数方程u-au=O 的解， 而对于差分方程即 u* = 0 .ux+1-au=O ,其解为：ux =A-ax.睥衡点，才是稳定的。因此，这个差分方程的平衡点是否稳定，就变成判断lai是否小 于1的问题了。也就是说，当且仅当31 v 1时，差分方程 a-ux=O的平衡点，从而导致差分方程yx+1 -a-yx =h对

4、于一阶非线性差分方程yx+1 =f(yx)的平衡点稳定性的结论, 完全与微分方程情况中的结论类似，即此时的平衡点为代数方程y = f (y)的解:y = y* ；如将非线性函数f (y)在点y = y*处作泰勒展开： f(y)u(y%)(y- y*) + f(y*)，于是，当|f'(y*)|vl时，非线性差分方程yx+1 =f(yx)的平 衡点y = y*是稳定的，而当|(厂)丨1时，非线性差分方程yx+1 = f(yx)的平衡 点y = y*是不稳定的。(4 )二阶常系数线性差分方程称 a yx+2 + b yx+i + cyx = h(x) ( a /O , b , c#0 为常数

5、， h(x)为已知函数)为关于yx的二阶常系数线性差分方程.它的特征方程为: ar2 + br + c = 0.这个差分方程的通解为：(i)当 b2-4ac>0 时，yx = Ax rxx + A2 r2x + y*x ,其中匚，抵为特征方程的两个不等的实根：十_4ac(ii) 当b? 4ac = 0 肉方程的重根：h yx =(A1 + A2x)r1x+y*x，其中 rx 为特征 b厂 1,2 二 9,La(iii)当b 2 一 4ac v 0 时，yx = (Ax sinkx + A2coskx) q x+ y*x，£，(以上A，A2为两个任意常数).其中 cosk =,

6、q =2y/acv a特别地，当h(x)三h为常数时，则当 a + b + c 上0 时，y* =.一.hQ + b + C当a + b + c = O,且2a + b#)时，y*x =h2a+ b4a + b2)1)3)求解二阶差分方程时，为了确定一个具体的解，也就是爲了確定常數A】和A?，还需两个定解条件。通常的定解条件是“初始条件”，即y(0) = y。(已知常数)和y(l) = yi (已知常数).9问题 购房人欲向银行申请按揭住房贷款60000元贷款的月利 率为0.01,期限为25年.如果购房人每月只可节余700元.问他是 否有能力按揭购房？模型建立:设人为第x个月欠银行的钱数,b为

7、每月还银行的钱数, r = 0.01 为月利率，则yx = yx.x (1 + r) - b , y0 = 60000 bb模型求解:yx = (jo-)(! + r)A +-bb令300 = 0（25年=300月），可得:（丁0）（1 + 厂）3°° H = 0rrrr解得q 631.93_ 儿厂（1 + r）300 _ 60000 x 0.01 x l.Ol300 （l + r）300 -l " L013OO-l故问题的解答是：该购房人有能力按揭购房.问题 如果社会上有一还贷公司向购房人提出_个优惠方案:银行 的贷款由还贷公司偿还，购房人只需向还贷公司每半月付

8、款316元, 还款期限只要22年即可。不过需先预付三个月的款.此方案对还贷 公司而言是否有利可图？bb问题求解:因为儿=（儿） （1 + r）¥ + rr在 y° = 60000，r = 0.014-2 = 0.005，b = 631.93 4-2316 的情况 下'由仇一：）.（1 +厂广+： = 0解出X,可以求得还/公司需要：厂in"兀=b-% q 598.53 （半月）=24.93 （年） ln（l + r）还清银行的债务，也就是还贷公司可以提前25 - 24.93 = 0.07年= 0.84个月还清银行的债务.如果考虑到购房人开始还预交了三个月

9、的还款,也就是初值应是：y。= 60000 - 3 X 631.93 - 58104.21,这时还贷公司需要还清银行的债务的时限变为:兀=上空503.5 （半月眉21年. ln（l + r）这表明还贷公司只用21年就可还清银聖债务，由此，还贷公司赚 了购房人一年諒钱：24 X 316 = 7584 （元）.故问题的解答是：此方案对还贷公司而言是有利可图的。3.实例 动态均衡价格棋型（价格的蛛网棋型数量化分析）模型I 模型假设：（1）t时刻的商品价格pt是現時期商品数量xt的直线下降函数 （价格上升，需耒下族；於詮下族，需求上升）：Pt = Pm _ a xt ；（2）这一时期的商品数量xt是上

10、一时期的商品价格的直线 上升函数（价格上升，供应上升；价格下跌，供应下跌）:模型建立:模型求解:模型分析:m乍ahabr Hr H2它的判别式=(砂)244 砂224 当 ab > 8 时，pt=Aj 吋 +A2r2t + p* ,其中PM axm p + ab模型求解：特征方程為-ab± Jab(ab - 8) rU =4当ab = 8时，p =(A, + 4。(-宁)'+ p =(A + 4。(-2丁 + p I 1当 ab v 8 时，pt = (A sinR+ 4 cosR)(ab *T)+p其中 cosk = -4模型分析: 当ab >时，Pt = Ai

11、 r/ + A2 r2 + P*， ab+ yfabab 8)4(t -> + oo )，即R动态发展不稳定； 厂 =z 2T + 00 ),即Pt动态发展仍不稳定；当 2 < ab < 8 时， 2 > 1二PtT + oo(tT+oo),即Pt动态发展还是不稳定;(2)当 ab = 8二 Ptri =pt > + 00 时，> + 00 ( tab 当 ab = 2 时，pt - Aj sin£f+令 cosR+ p = Asm(kt+ q) + p 发生动态等幅振荡；(5)当 0 v ab v 2，pt = (A sin kt + A2 co

12、skt)(y为衰减因子(t_ + oo), Pt动态发展趋于稳定5.菱分形式的生物数量Logistic （阻滞增长）棋型及其稳定性研究描述生物生长受到环境约束的微分方程模型是Logistic （阻滞增 长）模型。其形式是：y这个模型也可用差分形式表示：（厂+ 1）N1, 2, %（0= rv （1 三）女口果令 b = r+ 1 , xk （t）= 则上面的差分方程可简化为：耳+1 =bxkl-xk k = Q.这是个一阶非线性差分方程。在实际应用中没有必要找出它的解析 解，可以很方便地利用计算机的迭代算法求出耳任意精确度的解。 我们更为关心的是迭代算法是否有收敛性，或者说，当kT+00时,

13、yk或xk的收敛性，也就是差分方程平衡点的稳定性问题。对于Logistic微分方程它有两个平衡点：y = o与y = N,可以通过解代数方程得到它们:M-訐。这里W（l=）-八刃爷因为 /'（0） = r > 0故y = 0是不稳定的平衡点; 因为 广（N）二-厂<0 故y = N是稳定的平衡点。对于差分形式的Logistic方程九+1 =OV（1 #）， k = °, 1, 2,. 是否也是这个结论？即当k-> +8时，yk -> N?（当k很大时，y =y =y,解代数方程0二y （1 -三） N 得到解N ,也就是说，它是这个差分方程的平衡点）代

14、替差分方程儿+厂儿=OV（1 亓），£=°，1，2,.我们讨论化简的差分方程 耳+i =加厂（1耳），k = 0, 1, 2,. 解代数方程 = /（兀）=Zzx （1 劝 得到该方程的平衡点 兀* = 1-1 b可以验证 x* = 1 - u> y = Nb为了分析x*的稳定性，经计算得：广（兀*） = £>（1 2兀*） = 2_b根据非线性差分方程稳定性结论，当丨广（兀*）1 = 1 2"<1时 即1 vbv3时，x*是稳定的平衡点。这个条件相当于rv2 , 也就是仅当r <2时，y=N才是差分形式的Logistic方程 儿

15、+1一儿=巧厂（1一普），£ = °，1，2, 的稳定平衡点。这个结论与Logistic微分方程的稳定性结论：“不论y>Q多大, y=N都是它的稳定平衡点”，是不同的。(1)在条件lvbv3下，耳可以收敛于x*。这时的情况, 可以通过差分方程耳+i =bxk （1 耳），k = 0, 1, 2,的图解法表示出来，有一种情况中，这个图示法十分类似于一个 蛛网模型。i)单调收敛情况b = 1.5ii）非单调收敛情况（蛛网模型）41(2)在条件b>3下，xk不收敛于x*。这时的情况，也可以 通过图示看出：b = 3.30.80.20.40.6十分有趣的是，在不收敛的情

16、况中，有时会发生倍周期现象! 例如，当（a） 3 vb= 33 v 1+心时：10.20.40.60.8发生2倍周期现象!时：当(a) 1+6 < b = 3.5 < 3.5441发生22 = 4倍周期现象!0.80.60.40.20.20.40.80.6因为兀+ =/（兀）兀（1兀），k=0, 1, 2,. 当 | f（x*） 1 = 1 2-b |<1 时 Xk 收敛 d hmxk =x n 兀*二/（兀*） n 兀*二1 ；,这时 b<3 .b（1）即在条件1 < b < b0 = 3下（即r = b- 1 =2） , xk收敛于 x* ,或者说，x*

17、是稳定的平衡点。因为 兀+2 =/（兀+" = /（/（兀），当（/（/（兀）'|“ <1 时 此时兀+2收敛=> !叽=!輕"而=>%* = /(/(%*) = b (Zzx* (1 兀*)1 一 fcr * (1 兀*)1,2b + ly/b2 -2b-32b0<兀* <JT* <兀*2 <1 这时 Z? < 1 + a/6 ,（2）即在条件 b0 = 3<b<bi = l十心=3.449下，xk不收敛， 但发生21 =2倍周期现象。（3）类似研究可得:当b = 1 +心v b v b2时，xk发生22

18、倍周期现象；当b2 <b<b3耳发生23倍周期现象；当bni v b V bn时，xk发生2n倍周期现象等等。(4)进一步研究可得：limb =b* = 357<47?->+cO11即当b >沪= 3.57 后，就不再存在任何2"倍周期收敛现 象，兀的趋势呈现一片混乱。这就是所谓的"混沌现象”(Chaos )，可以编写以上发生收敛，2倍周期现象，4倍周期现象， 一个Math程序来观察这些现象:x 10.1; Do N x i 14 x iB1 xi , 10 fi, 1, 60;y 10 1000001; Do N y i 14 y ie 1 y ir 10 r i, 1, 60;z 10.10000001; Do N z i 14 z i. 1 z iz 10 , i, 1, 60Table x i z y i , z iTableForma Table x i z i, 1z 60;b Table y i , i 1, 60; c Table z i , i, 1, 60;ListPlot a, PlotJoined True, PlotStyleLis七Plot b, PlotJoined True, PlotStyleListPlot c, Pio七Joi