公开课《立体几何中的向量方法 》(第一课时)ppt课件

1、3.2 3.2 立体几何中的向量法立体几何中的向量法 (1) (1)研究研究 从今天开始从今天开始, ,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用. .引入引入1 1、立体几何问题立体几何问题( (研究的基本对象是点、直线、平面研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形以及由它们组成的空间图形) ) 空间中的基本研究对象是点、线、面，我们首先研究一下如何用空间向量表示点、空间中的基本研究对象是点、线、面，我们首先研究一下如何用空间向量表示点、线、面的位置。线、面的位置。思考思考1 1 如何确定一个点在空间的位置？如何确定一个点在

2、空间的位置？OPlPa 换句话说换句话说, ,直线上的非零向量直线上的非零向量叫做叫做直线的方向向量直线的方向向量思考思考2 2 一个点和一个向量能确定一条直线吗？一个点和一个向量能确定一条直线吗？A直线直线的向量式方程的向量式方程APta 思考思考3 3 一个点和几个向量能确定一个平面？一个点和几个向量能确定一个平面？OOPO 通过上的一点 和两个不共线的向量a,b,设P是平面内任一点，平面的向量表示形式=xa+yb(x,yR)（向量a,b是平面内相交于点的两直线的方向向量）通过平面上一定点和与平面垂直的向量通过平面上一定点和与平面垂直的向量An l 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量

3、,那么过点那么过点A,以向量以向量 为法向量的平面是确定的为法向量的平面是确定的.n n 几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向量是平面的法向量，向量 与平面平行或在平面内，则有与平面平行或在平面内，则有0n m n m ,n直线l,取直线l的方向向量n 则向量n，向量 叫做平面 的法向量例例1 1 如图所示如图所示, , 长方体的棱长为长方体的棱长为2 2，E E为为AAAA1 1中点中点. .直线直线ACAC1 1的一个方向向量坐标为的一个方向向量坐标为_平面平面A

4、BCDABCD的一个法向量坐标为的一个法向量坐标为_平面平面BDEBDE1 1的一个法向量的坐标的一个法向量的坐标 典例展示典例展示E 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系. 用向量方法解决立体问题用向量方法解决立体问题(2)空间位置关系的向量表示空间位置关系的向量表示位置关系位置关系向量表示向量表示直线直线l1 1, ,l2 2的方向向量分别为的方向向量分别为n1 1, ,n2 2l1 1l2 2n1 1n2 2_l1 1l2 2n1 1n2 2_直线直线l的方向向量为的方向向量为n,

5、 ,平面平面的法向量为的法向量为mlnm_lnm_平面平面,的法向量分别为的法向量分别为n,mnm_nm_n1=n2n1n2=0nm=0n=mn=mnm=0)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行垂直垂直平行平行1 1、根据方向向量确定两直线的位置关系、根据方向向量确定两直线的位置关系设设 分别是不重合的两直线分别是不重合的两直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据下列条件根据下列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.,a b 设设 是平面是平面 的法向量，

6、的法向量， 是直线是直线 的方向向量的方向向量,根据下列条件根据下列条件,判断直线判断直线 和平面和平面 的位置关系的位置关系.(1)(1,0,2),( 2,0, 4)(2)(1, 1,1),(2,1, 1)auau 垂直垂直平行平行2 2、根据直线的方向向量和平面的法向量确定线面的位置关系、根据直线的方向向量和平面的法向量确定线面的位置关系ualll设设 分别是不重合的两个平面分别是不重合的两个平面,的法向量的法向量,根据下列条件根据下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.,uv(1)( 2,2,5),(6, 4,4)(2)(1,2, 2),( 2, 4,4)(3)(1, 1,2),( 2

7、,1, 3)uvuvuv 垂直垂直平行平行相交相交3 3、根据平面的法向量确定两平面的位置关系、根据平面的法向量确定两平面的位置关系例例1 1 如图所示如图所示, , 长方体的棱长为长方体的棱长为2 2，E E为为AAAA1 1中点中点. .直线直线A A1 1C C的一个方向向量坐标为的一个方向向量坐标为_平面平面ABCDABCD的一个法向量坐标为的一个法向量坐标为_平面平面BDEBDE的一个法向量的坐标的一个法向量的坐标 典例展示典例展示E（1） A A1 1C C 平面平面BDEBDE（2 2） A A1 1C C 平面平面BDCBDC1 1（3 3）平面）平面BDE BDE 平面平面B

8、DCBDC1 1 例例2 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的中点，的中点， 求证：求证：PA/平面平面EDB.ABCDPEXYZG解解1 立体立体几何法几何法证明：连结证明：连结AC,ACAC,AC交交BDBD于点于点G,G,连结连结EGEG在在 中，中，E，G分别为分别为PC，AC的中点的中点PAC / /PAEGPA 又又平平面面E ED DB B，E EG G平平面面E ED DB B/ /PAEDB平平面面ABCDPEXYZG解解2 2：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D D

9、为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1DC=1证明：连结证明：连结AC,ACAC,AC交交BDBD于点于点G,G,连结连结EGEG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0,)2 2APE依依题题意意得得G1 1 1 1( (, , ，0 0) )2 2 2 211(1,0, 1),(,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA平面所以，/ABCDPEXYZ解解3：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1证明：证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0,),2 2APE依依题题意意得得B B( (1 1, , 1 1，0 0) )(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA平面所以，/1 1(0,)2 2DE D DB B = =( (1 1, , 1 1，0