二重积分复习题1

1、第九章第九章 二重积分二重积分 第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二、二重积分的概念二、二重积分的概念三、二重积分的性质三、二重积分的性质一、问题的提出一、问题的提出特点：平顶特点：平顶. .柱体体积柱体体积= =？特点：曲顶特点：曲顶. .),(yxfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积曲顶柱体曲顶柱体高高底面积底面积柱体的体积柱体的体积 一、问题的提出一、问题的提出用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii 先分割曲顶柱先分割曲顶柱体的底，并取典型体的底，并取典型小区域，小区域

2、，.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “ “分割、求和、取极限分割、求和、取极限”的方法步骤如下：的方法步骤如下：求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(ii将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM xyo ),( ),( ),( , 质量为多少？质量为多少？上连续，平面薄片的上连续，平面薄片的在在，假定，假定处的面密度为处的面密度为在点在点域域面上的闭区

3、面上的闭区设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有DyxyxyxDxoy ,),( ), 2 , 1( , ),( ),( , , ),( 1 21iniiiiiiiiiinfnifinDDyxf 并作和并作和作乘积作乘积，点点上任取一上任取一在每个在每个域，也表示它的面积，域，也表示它的面积，个小区个小区表示第表示第其中其中个小区域个小区域任意分成任意分成界函数，将闭区域界函数，将闭区域上的有上的有是有界闭区域是有界闭区域设设定义定义二、二重积分的概念二、二重积分的概念. ),(lim),( ),( ),( 10iniiiDDfdyxfdyxfDyxf 即即上的二重积分，记为上的二重积分，记

4、为在闭区域在闭区域，则称此极限为函数，则称此极限为函数时，这和式的极限存在时，这和式的极限存在趋近于零趋近于零径的最大值径的最大值如果当各小闭区域的直如果当各小闭区域的直. ),( ),( ),( 1叫做积分和叫做积分和叫做积分区域，叫做积分区域，叫做积分变量叫做积分变量与与叫做面积元素，叫做面积元素，表达式，表达式，叫做被积叫做被积叫做被积函数，叫做被积函数，其中其中iniiifDyxddyxfyxf 对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义：二重积分的几何意义：当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分

5、是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值 . )1( 任意的任意的对闭区域的划分是对闭区域的划分是在二重积分的定义中，在二重积分的定义中，. ),( )2( 积分必存在积分必存在的极限必存在，即二重的极限必存在，即二重义中和式义中和式在闭区域上连续时，定在闭区域上连续时，定当当yxf 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D D，.),(),( DDdxdyyxfdyxf dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质2 2 Ddyxgyx

6、f ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）为常数时为常数时当当 k性质性质1 1三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质3 3对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质4 4.1 DDddD 的面积，的面积，为为若若性质性质5 5若在若在D D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 则有则有（二重积分中值定理）（二重积分中值定理） DMdyxfm ),( ),(),(

7、fdyxfD（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）的面积，则的面积，则为为的最大值和最小值，的最大值和最小值，上上在闭区域在闭区域分别是分别是、设设DDyxfmM ),( 性质性质 6 6使得使得上至少存在一点上至少存在一点的面积，则在的面积，则在为为上连续，上连续，在闭区域在闭区域设函数设函数),( ),( DDDyxf性质性质 7 7神医嫡女最新章节：http:/ 0 仐摋吂,16)(1),(2 yxyxf)0(41 yxM5143122 m)2, 1( yx. 5 . 04 . 0 I解解. 20 , 10: 162 22 yxDxyyxdID的值，其中的值，其中估计估计 ，区域面积区域面积2 的最大值为的最大值为上上在在 ),( yxfD ),( 的最小值为的最小值为yxf 4252 I故故例例1 1解解2 yxoxy121D ).0 , 2(),1 , 1(),0 , 1( )ln( )ln( 2顶点分别为顶点分别为是三角形闭区域，三个是三角形闭区域，三个的大小，其中的