抛物线的简单几何性质经典实用

1、2.4.22.4.2抛物线抛物线的简单几的简单几何性质何性质(2)(2)抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质一、温故知新一、温故知新( (一一) ) 抛物线的定义抛物线的定义 平面内，到定点平面内，到定点f的距离与到定直线的距离与到定直线l的距离的距离相等的点的轨迹相等的点的轨迹.(定点定点f不在定直线不在定直线l上上)( (二二) ) 抛物线的标准方程抛物线的标准方程(1)开口向右开口向右y2 = 2px (p0)(2)开口向左开口向左y2 = -2px (p0)(3)开口向上开口向上 x2 = 2py (p0)(4)开口向下开口向下x2 = -2py (p0)图形图形标准方程标准方程焦

2、点坐标焦点坐标准线方程准线方程)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx)02(，p)20,(p)20,(p)0(22ppxy)02(，p2px2px 2py2py 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质范围范围1、yox)0 ,2(pf由抛物线由抛物线y2 =2px（p0）220pxy有有 0p 0 x 所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为0 x 二、探索新知二、探索新知如何研究抛物线如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性）的几何性质质?抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质( , )x y关于关于x轴轴对称对称( ,)xy 由于点由于点 也满也满足足 ，故抛物线，故抛

3、物线(p0)关于关于x轴轴对称对称.( ,)xyy2 = 2pxy2 = 2px2、对称性、对称性yox)0,2(pfp(x,y)抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质定义：抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线定义：抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线的的顶点顶点。yox)0,2(pfp(x,y)由y2 = 2px （p0）当当y=0时时,x=0, 因此抛物线的顶点顶点就是坐标原点（0，0）。注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有双曲线有两个顶点不同。两个顶点不同。、顶点、顶点抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质离心率离心率4、yox)0 ,2(pfp(x,y) 抛物线上的点与

4、焦抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的点的距离和它到准线的距离之比，叫做距离之比，叫做抛物线抛物线的的离心率离心率。 由定义知，由定义知， 抛物线抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为的离心率为e=1.抛物线的离心率为一定值，那么什么在影响抛物线形状？抛物线的离心率为一定值，那么什么在影响抛物线形状？图形图形标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率)0(2ppxy2 2)0(2ppyx2 2)0(2ppyx2 2ryx, 0)0,0(ryx, 0rxy, 0rxy, 0)0,0()0,0()0,0(关于关于x 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于x 轴轴对称，无对称

5、，无对称中心对称中心关于关于y 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于y 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心e=1e=1e=1e=1)0(2ppxy2 2fmloyxpxy22 1、范围、范围2、对称性、对称性3、顶点、顶点4、离心率、离心率)0,2(pf焦点坐标2px准线方程：抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质补充补充（1）通径：）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。|pf|=x0+p/2xoyfp通径的长度通径的长度：2pp越大越大,开口越开阔开

6、口越开阔（2）焦半径：）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的线段叫做抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：),(00yx（标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义）利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。反映抛物线基本特征的草图。练习：练习：求适合下列条件的抛物线的方程求适合下列条件的抛物线的方程（2）顶点在原点，焦点是（）顶点在原点，焦点是（0，5）（3）焦点是）焦点是f（0，-8-8），准线是），准线是y8（1）顶点在原点，关于）顶点在原点，关于x轴对称，并且

7、经轴对称，并且经过点过点m（5，-4-4）（4）顶点在原点，以）顶点在原点，以x轴为对称轴，轴为对称轴，通径长为通径长为m(m0)例1西湖隧道的横断面由抛物线弧及一个西湖隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸如图（单位：矩形的三边围成，尺寸如图（单位：m），一辆卡车空车时能通过此隧），一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽道，现载一集装箱，箱宽3m，车与，车与箱共高箱共高4.5m，此车能否通过隧道？，此车能否通过隧道？并说明理由并说明理由。623xa(-3,-3)623yob(3,-3)cd解解:如图如图,建立坐标系建立坐标系,则则a(-3,-3),b(3,-3).设抛物线方

8、程为设抛物线方程为 将将b点代入点代入,得得 .抛物线方程为抛物线方程为因为车和箱共高因为车和箱共高4.5米米,则集装箱上表面则集装箱上表面距抛物线型隧道拱顶距抛物线型隧道拱顶0.5米米.设抛物线上的设抛物线上的d点的坐标为点的坐标为(x0,-0.5),)0(22ppxx23p)03(32xyx. 36|2|.26.230020 xcdxx所以故此车不能通过隧道故此车不能通过隧道.抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而

9、成的曲面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。的理论依据。抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质例例2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物

10、线的焦点处，已知灯部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为口圆的直径为60cm,灯深灯深40cm，求抛物线，求抛物线的标准方程及焦点的位置。的标准方程及焦点的位置。fyxo解：如图所示，在探照灯的轴截解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，反光镜的顶点与原点重合，x轴轴垂直于灯口直径。垂直于灯口直径。ab 设抛物线的标准方程是：设抛物线的标准方程是：由已知条件可得点由已知条件可得点a的坐标是的坐标是（40，30），代入方程可得），代入方程可得230240p22(0)ypx p454p所求的标准方程为所求的标准方程为焦点

11、坐标为焦点坐标为2252yx45(,0)8抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质2320.ypx p例 、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线（）上，求这个正三角形的边长yoxba分析分析:观察图观察图,正三角形及抛物线都是轴正三角形及抛物线都是轴 对称图形对称图形,如果能证明如果能证明x轴是它们的公共轴是它们的公共的对称轴的对称轴,则容易求出三角形的边长则容易求出三角形的边长.抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质线线上上，在在抛抛物物、的的顶顶点点解解：如如图图，设设正正三三角角形形baoabyoxba），则则，）、（，且且坐坐标标分分别别为为（2211yxyx.222

12、22121pxypxy ，所所以以：又又22222121|yxyxoboa ，即即：022212221 pxpxxx. 022121 ）（pxxxx，020021 pxx.21xx .|21轴轴对对称称关关于于，即即线线段段由由此此可可得得xabyy 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质，且且轴轴垂垂直直于于因因为为设设oaoxabxyxa30),(11 yoxba.3330tan11 oxy，pyx2211 .342|1pyab .321py 所以所以抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质0020202020122222322422 ,.( ),|;( ),| -( ),|( ),|

13、-p xypypxpfxpypxpfxpxpypfypxpypfy 抛抛物物线线上上一一点点与与焦焦点点的的连连线线叫叫抛抛物物线线的的焦焦半半径径 抛抛 物物线线的的焦焦半半径径 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质2212225 ( ),_.( ),_:.yxppyxa bab抛抛物物线线上上一一点点 到到焦焦点点的的 距距离离为为 则则 点点的的坐坐标标标标为为抛抛物物线线上上两两点点到到焦焦点点的的距距离离 之之和和是是则则线线段段中中点点横横坐坐标标是是例例1 17742:,p答答案案2.:答答案案抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质kfoxyab2124,.yxa bab斜

14、斜率率为为的的直直线线过过抛抛物物线线的的焦焦点点 与与抛抛物物线线交交于于两两点点 求求线线段段的的长长例例211221212221212121211610611 148222628:,:(,),(,),|():| ()()abyxxxa xyb xyxxx xabxxxxppabxxxxp 解解法法直直线线的的方方程程为为代代入入双双曲曲线线方方程程得得设设则则解解法法抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没

15、有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为抛物线的通径为2p, 2p越大，抛物线的张越大，抛物线的张口越大口越大.1、范围：、范围：2、对称性：、对称性：3、顶点：、顶点：4、离心率：、离心率：5、通径：、通径：6、光学性质：、光学性质： 从焦点出发的光线，通过抛物线反射就从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束变成了平行光束. .你学会了吗？你学会了吗？抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大抛物线的性质和椭圆、双曲线

16、比较起来，差别较大它的离心率等于它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线它没有中心，也没有渐近线2.4.22.4.2抛物线抛物线的简单几的简单几何性质何性质(3)(3)抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质112221221221221212223242 ,( ),|;( ),|( ),|( ),|a x yb xyypxabxxpypxabpxxxpyabyypxpyabpyy抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦过过抛抛物物线线焦焦点点的的弦弦叫叫焦焦点点弦弦 设设焦焦点点弦弦端端点点则则 抛物线的简

17、单几何性质抛物线的简单几何性质2112212203,.|):|.(ypx pfla x yb xyabxxp已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交抛抛物物例例线线于于两两抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦问问题题问问: :点点题题1 1 求求证证121222:()()abafbfppxxxxp解解抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质211222305,.):(ypx pfla x yb xyab已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交抛抛物物线线于于两两点点求求证证例例抛抛物物以以为为直直线线的的焦焦径径的的圆圆点点弦弦与与问问题题问问题题准准线线相相切切111

18、111222:,.abma b ma b maabbafbfabmm解解 设设的的中中点点为为过过分分别别作作准准线线的的垂垂线线垂垂足足分分别别为为则则结结论论得得证证抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质211222011236,.:.():ypx pfla x yb xyfafbp已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交例例抛抛物物线线于于两两抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦问问题题题题点点问问求求证证222222111111111222220411112:, ,cos,coscoscos,.:,(),()a bxr slpereffrpafafafafpbfpfafbpl

19、pyk xlkypxk pk xp kxpfafbxx解解法法过过作作 轴轴的的垂垂线线 垂垂足足分分别别为为直直线线 的的倾倾斜斜角角为为同同理理解解法法若若直直线线 的的斜斜率率不不存存在在 结结论论显显然然成成立立若若直直线线 的的斜斜率率存存 设设为为则则222pp抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质2112211113720,.,.():ypx pfla x yb xya ba bafb f已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交抛抛物物线线于于两两点点过过分分别别作作准准例例抛抛物物线线的的焦焦点点线线的的垂垂弦弦问问题题问问题题线线 垂垂足足分分别别为为则则1

20、111111111111190:,/ /,.aaafaafafaaaofaafafoafoafab fob fbafbafbf 解解同同理理抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质2112211111121111112221113820123454,.,.(,( );( );( );( ),;( ).):ypx pfla x yb xyabma b ma b mambmabm fm fafbfamafh bmb fqm q f hamm bm m已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交抛抛物物线线于于两两点点设设的的中中点点为为过过分分别别作作准准线线的的垂垂线线 垂垂足足分分

21、别别为为则则设设与与交交于于与与交交例例于于则则四四点点共共圆圆抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦问问题题问问题题抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质11111111111111111111111111211111111290903490:( ),.( ),;( );( ),mabambmafbmaba mm fm fam afaafafaaaffa maa mafaafmmfabm fafbfambmam bafb fafb 解解在在以以为为直直径径的的圆圆上上为为直直角角三三角角形形是是斜斜边边的的中中点点又又11222211222111190524,;( )m q f hamm babaf

22、bfaabbmmmm四四点点共共圆圆抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质2112211111120123439,.( ) ,;( ) ,;( ),;( ),.(;):ypx pfla x yb xya o bb o aaobbbxboaaax已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交抛抛物物线线于于两两点点三三点点共共线线三三点点共共线线设设直直线线与与准准线线交交于于则则平平行行 轴轴设设直直例例抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦问问题题线线与与准准线线交交于于则则平平行行题题轴轴问问11112221112212221222222234:,.( ),( ),( ).oaoboao

23、byyyypkkpyxyppypy ypkkppya o b 解解而而三三点点共共线线同同理理可可证证抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质21122312011120,.,.():,.|ypx pfla x yb xycdfcdababcdp已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交抛抛物物线线于于两两点点若若是是过过 的的抛抛物物线线的的另另例例抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦问问题题问问题题一一条条弦弦 且且则则022022222901112:,:,sin,sin ()cos|abcdpabppcdabcdp解解直直线线cdcd的的倾倾斜斜角角为为90 +90 +由由问问题题

24、 的的结结论论抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质.:,)0(2. 2221212pyy、yy，ppxy求证两个交点的纵坐标为这条抛物线相交的焦点的一条直线和过抛物线xybafo. 02,2,2:22121222pyy，、yyppmyypxypmyxab，xfab则是上述方程的两个根得代入的方程所以可设直线不平行轴且与过定点因直线证法抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质.:,)0(2. 2221212pyy、yy，ppxy求证两个交点的纵坐标为这条抛物线相交的焦点的一条直线和过抛物线xybafo?:3结论又会怎样呢般的点一对于在抛物线的轴上的由于焦点比较特殊联想，.:,),(),()0

25、(2)0 ,(:3212122112均为定值与求证两点直线交抛物线于的过的轴上的一个定点是抛物线设变题xxyyyx、byxam，ppxyam抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质.:,)0(2. 2221212pyy、yy，ppxy求证两个交点的纵坐标为这条抛物线相交的焦点的一条直线和过抛物线xybafo?3:4结论是否成立进行逆向联想对变题联想，.),(),(),()0(2:42122112过定点恒则直线是常数满足两动点上抛物线变题abkkyyyx、byxappxy抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质有关焦点弦的结论：有关焦点弦的结论：已知：已知：abab是抛物线是抛物线 y y2 2

26、=2px(p0) =2px(p0) 过焦点过焦点f f的弦的弦a(xa(x1 1,y,y1 1) )， b(xb(x2 2,y,y2 2) )，设，设a a，b b在准线上的射影分别为在准线上的射影分别为a a1 1,b,b1 1， 则：则：4,) 1 (221221pxxpyypxxab 21)2()3(以以abab为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切bfaf11)4( 为定值为定值 2sin2|)5(pabab ，则，则的倾斜角为的倾斜角为若直线若直线1a1b小结：小结：抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质本节主要内容包括：本节主要内容包括：1、抛物线的概念抛物线的概念；2、抛物线

27、的标准方程、图像抛物线的标准方程、图像；3、抛物线的性质抛物线的性质；4、抛物线的基本元素抛物线的基本元素.抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质； 重庆重庆ktvktv招聘招聘 nrx16ksp nrx16ksp 大声地大声地“嗬儿嗬儿嗬儿嗬儿”啸叫着！那个前蹄子也更加用力地刨着地面啸叫着！那个前蹄子也更加用力地刨着地面耿正擦把眼泪上来拉起妹妹，说：耿正擦把眼泪上来拉起妹妹，说：“你和弟弟先别哭了行不行啊！你们看你和弟弟先别哭了行不行啊！你们看咱的大白骡咱的大白骡”耿英和弟弟略止悲声，睁大泪眼奇怪地看着不断向前扬头耿英和弟弟略止悲声，睁大泪眼奇怪地看着不断向前扬头“嗬儿嗬儿嗬儿嗬儿”大声长

28、啸的大白骡。此时，一阵清风由东向西吹来，大声长啸的大白骡。此时，一阵清风由东向西吹来，终于听清楚了几句缓缓西行而来的骡车上那位长者颤颤巍巍吟唱的歌词：终于听清楚了几句缓缓西行而来的骡车上那位长者颤颤巍巍吟唱的歌词：“俺一心只想着建学堂啊，俺一心只念着盖戏台，楞是让俺娃儿俺一心只想着建学堂啊，俺一心只念着盖戏台，楞是让俺娃儿们受了苦哇，都是爹俺害了你们们受了苦哇，都是爹俺害了你们如今十年归期到啊，如今春暖花已开如今十年归期到啊，如今春暖花已开俺的娃儿们在哪里？俺的娃儿们在哪里？问苍天啊，问大地，俺苦命的儿女们，问苍天啊，问大地，俺苦命的儿女们，可还能打西路回可还能打西路回”惊天的喜事啊！耿正兄妹

29、三人就好像五道庙里的五道爷一样，彻底呆住了！耿直先喊起来：惊天的喜事啊！耿正兄妹三人就好像五道庙里的五道爷一样，彻底呆住了！耿直先喊起来：“是咱爹，他还活着！是咱爹，他还活着！”耿耿英又哭了：英又哭了：“不会是做梦哇！哥你捏俺一把，俺看能疼醒吗？不会是做梦哇！哥你捏俺一把，俺看能疼醒吗？”耿正却完全肯定地说：耿正却完全肯定地说：“绝对不是做梦，俺感觉自己很清醒呢！绝对不是做梦，俺感觉自己很清醒呢！”不错，从五不错，从五道庙东侧的大道上慢慢悠悠走来的，正是李尚武亲自驾驭大骡车送义父耿老爹回来了！骡车距离五道庙越来越近了，坐在左辕后车沿上颤颤巍道庙东侧的大道上慢慢悠悠走来的，正是李尚武亲自驾驭大骡

30、车送义父耿老爹回来了！骡车距离五道庙越来越近了，坐在左辕后车沿上颤颤巍巍吟唱的耿老爹注意到了身着孝服呆呆地站在五道庙前的三个人。他停止了吟唱，颤声儿对驾车的义子李尚武说：巍吟唱的耿老爹注意到了身着孝服呆呆地站在五道庙前的三个人。他停止了吟唱，颤声儿对驾车的义子李尚武说：“武儿，快，快，快走，你，武儿，快，快，快走，你，你看到了吗？那，那三个人！你看到了吗？那，那三个人！”李尚武用力一抖缰绳，随即一个响鞭：李尚武用力一抖缰绳，随即一个响鞭：“驾驾”棕色高头大骡一昂头，大骡车眨眼之间就到了五道庙东侧。耿棕色高头大骡一昂头，大骡车眨眼之间就到了五道庙东侧。耿正兄妹三人终于看清楚了，那位坐在左辕后车沿上的长者，就