湘大概率论期末习题解答PPT课件

1、1第一章 随机事件及其概率第1页/共140页2P29习题习题1.9 在区间在区间(0,1)中随机地抽取两个数，求事件中随机地抽取两个数，求事件“两数之和小于两数之和小于6/5”的概率。的概率。解：用x,y分别表示从(0,1)中取出的2个数，则样本空间为正方形：01, 01.xy如图所示，K为区域：01,01,6/5xyxyK所以由几何概率得: 1441172556/50.68.125P xyx+y=6/5第2页/共140页3P29习题习题1.12 把长度为把长度为a的棍子任意折成三段，求它们的棍子任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。可以构成一个三角形的概率。解：设棍子被分成的三段长分

2、别为x,y, a- x- y.则样本空间为：0,0,.xyxya如图所示，A为区域：0, 0,222aaaxyxy所以由几何概率得:221( )12 2( ).142aP Aax+y=aA第3页/共140页4解：设A=甲译出密码,B =乙译出密码,P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C)=1/4则A,B,C相互独立，且C=丙译出密码.则此密码被译出的概率为()( )( )( )() ()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC11111110.6.53415122060P30习题1.18 甲、乙、丙三人独立地翻译一个密码，他们译出的概率分别是1/5，1/3，1

3、/4，试求此密码被译出的概率。第4页/共140页5例1 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0.8，0.1和0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看4只，若无残次品，则购买下该箱玻璃杯,否则退回，求：(1) 顾客买下该箱的概率； (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。第5页/共140页6解 (1)设Ai一箱玻璃杯中含有i个残次品,i=0,1,2;B=从一箱玻璃杯中任取4只无残次品,由题设可知20( )() (|)iiiP BP A P B A P(A0)=0.8, P(A1)=0.1, P(A2)=0.1.根据全

4、概率公式得4442019184442020CCCCCC448475 00()0.895(2) (|)448( )112475P A BP ABP B第6页/共140页7例2 设8支枪中有3支未经试射校正， 5支已经试射校正，一射手用校正的枪射击时，中靶概率为0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为0.3，现假定从8支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是已校正过的概率。第7页/共140页8解 设A经过校正的枪,C=射击中靶,由题设可知( )( ) (|)( ) (|)P CP A P C AP B P C BP(A)=5/8, P(B)=3/8, P(C|A)=0

5、.8, P(C|B)=0.3.根据全概率公式得49.80 ( ) (|)40 (|).( )49P A P C AP A CP CB未经校正的枪, 第8页/共140页9例例3 对飞机进行对飞机进行3次独立射击次独立射击, 第第1次射击的命中率为次射击的命中率为0.4、第第2次为次为0.5、第、第3次为次为0.7. 飞机被击中飞机被击中1次而坠落的概率次而坠落的概率为为0.2,被击中被击中2次而坠落的概率为次而坠落的概率为0.6, 若被击中若被击中3次飞机次飞机必坠落必坠落,求射击求射击3次使飞机坠落的概率次使飞机坠落的概率.设设B=飞机坠落飞机坠落，Ai=飞机被击中飞机被击中i次次, i=1,

6、2,3由全概率公式 则 B=A1B+A2B+A3B,解:依题意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)第9页/共140页10可求得可求得: : 为求为求P(Ai ) , 将数据代入计算得:3123()()P AP H H H 2123123123()()P AP H H HH H HH H H1123123123()()P AP H H HH H HH H H设设 Hi=飞机被第飞机被第i次射击击中次射击击中, i=1,2,3 P(A1)=0.36;P(A2)=0.

7、41;P(A3)=0.14.第10页/共140页11于是=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机坠落的概率为0.458.P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3)第11页/共140页12第二章 随机变量及其分布第12页/共140页13例例1 设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为求求:(:(1)A; (2)P0.3X0.7; (3)X的概率密度的概率密度f(x)解解:(:(1)F(x)在在x=1点连续点连续, ,由右连续性得由右连续性得: :即即: :1)1 (lim21 FAxx所以所以, ,

8、A=1(2)P(0.3X0.7)=F(0.7)- -F(0.3)= 0.72- -0.32=0.4PX=1=F(1)F(10)= 1A =01lim( )(1)xF xF 200( )011 1xF xAxxx 第13页/共140页140， x02x， 0 x10， 1x即即: :200( )011 1xF xAxxx (3) ( )fxFx 201( )0 xxf x 其其它它第14页/共140页15例例2 设设XB(2,0.3),求下列随机变量的分布律求下列随机变量的分布律 1、Y1=X2 2、Y2= X2- -2X 3、Y3=3X- -X2解：解：X的概率分布为的概率分布为PX=k= 0

9、.3k0.72-k k=0,1,2 列表如下：列表如下：kC2X012X2014X2- -2X0- -103X- -X2022概率概率0.490.420.09第15页/共140页16Y1 0 1 4P0.49 0.42 0.09Y2 - -1 0P0.42 0.58Y3 0 2P0.49 0.51则有则有Y1 ，Y2 ，Y3的分布律分别为的分布律分别为第16页/共140页17例例3 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为求随机变量求随机变量Y=X2的概率密度函数。的概率密度函数。解：解：先求先求Y的分布函数的分布函数FY(y)=PY y=PX2 y PyXy0( )00 xex

10、f xx 当当y0时时,( )( , )Xfxf x y dy yxedy .xe , 0( )0, 0 xXexfxx ye 第25页/共140页26P83习题习题3.9 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为(1) 求随机变量求随机变量X的密度函数；的密度函数； (2) 求概率求概率PX+Y1.解解: : (2) ye y=xx+y=11/2,0( , )0 ,yexyf x y 其其他他1/2101xyxP XYdxedy 11212ee 第26页/共140页27P85习题习题3.22 设设X,Y相互独立，其概率密度分别为相互独立，其概率密度分别为 求Z=X+Y的

11、概率密度. 解 由已知得 1,01,0,( )( )0,.0,0.yXYxeyfxfyy 其其他他( )( )()ZXYfzfx fzx dx 当z1时， 10( )(1)x zzZfzedxee Z=X+Y 的概率密度为 0,0,( )1,01,(1),1.zZzzfzezeez 第28页/共140页29P84习题3.13 设随机变量(X,Y)的联合分布函数 3arctan2arctan,yCxBAyxF求： 1、系数A,B,C;2、(X,Y)的联合概率密度；3、边缘概率密度；4、判断X与Y是否相互独立；5、 .3, 20 yxP第29页/共140页30解 1、由联合分布函数的性质，有 ,

12、022, CBAF , 020, 0 CBAF , 0020 , CBAF .2 2 , 0 CBA，解得解得由由 ,2222,1 AF又又第30页/共140页31,1 2 A解得解得所以(X,Y)的联合分布函数为 .3arctan22arctan21,2 yxyxF 2、联合概率密度为 yxyxFyxf , 3arctan22arctan212yyxx .9461222yx 第31页/共140页323 、边缘概率密度为 dyyxxfX 2229461 dyyx 2229146 .422x dxyxyfY 2229461 dyxy 2224196 .932y 第32页/共140页334、由于

13、,yfxfyxfYX 因此X与Y相互独立；5 、 3, 20 yxP 203,dxdyyxf dyydxx 32202291416 .163 第33页/共140页34例例1 设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，且都服从相互独立，且都服从 , b b 上的均匀分布，求方程 20ttXY 有实根的概率. 解 方程 20ttXY 有实根的充要条件是 240.XY 由于随机变量X与Y相互独立，所以随机变量(X,Y)的联合概率密度为21,( , )40,bxbbybf x yb 其其他他. .第34页/共140页35240 xy D04b (1) 当时，如图 24 P Xy ( , )Df x y d

14、xdy 2244xbbbbdxdy 1224b第35页/共140页36D240 xy 1D4b (2) 当时，如图 24 P Xy 214Ddxdyb 12114Ddxdyb 22224114bbxbdxdyb 13.2b ( , )Df x y dxdy 第36页/共140页37综上可得： 方程 20ttXY 有实根的概率21,04,224P4021,4.3bbXYbb 注：此例与P85习题3.20类似.第37页/共140页38例例2 已知随机变量已知随机变量X1和和X2的概率分布的概率分布X1 - -1 0 1P 1/4 1/2 1/4X2 0 1P 1/2 1/2而且而且PX1X2=0=

15、1. .(1) (1) 求求X1和和X2的联合分布；的联合分布；(2) (2) 问问X1和和X2是否独立？为什么？是否独立？为什么？第38页/共140页39Pi. 1/4 1/2 1/4P.j 1/2 1/2解解 (1) 因为因为PX1X2=0=1，所以所以PX1X20=0，即即PX1=- -1，X2=1=0，PX1=1，X2=1=0，0X1- -10 1X2 0 10联合概率分布表如右图PX1=0，X2=1=1/2，PX1=0，X2=0=0，1/2PX1=- -1，X2=0=1/4，0PX1=1，X2=0=1/4，1/41/41第39页/共140页40(2) X1和和X2不独立。不独立。因为

16、因为所以PX1=0=1/2，PX1=0，X2=1=1/2PX2=1=1/2，PX1=0，X2=1 PX1=0PX2=1=1/4Pi. 1/4 1/2 1/4P.j 1/2 1/20X1- -10 1X2 0 101/201/41/41第40页/共140页41例例2 设设( (X,Y) )的联合概率密度为的联合概率密度为 22100100121, ,2100yxfx yex y 求求： (1) P( (X0的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间T的概率分布。 , 0,0, 0.xexfxx 解解：三个元件都无故障工作时间分别为三个元件都无

17、故障工作时间分别为X,Y,Z,则则 T=min(X,Y,Z),且且X,Y,Z的概率密度都为的概率密度都为第56页/共140页5731.te 则则 TFtP Tt1P Tt1 P Xt P Yt P Zt 311XFt故故T服从参数为服从参数为30的指数分布的指数分布,即概率密度为即概率密度为 33, 0,0, 0.tetf tt 第57页/共140页58第四章 随机变量的数字特征第58页/共140页590,2 ,XU (sin).EX1 02 ,( )20, xf x ，其其它它. .(sin)sin( )EXxf x dx 求解例1 已知X的密度函数为则201sin02xdx 第59页/共1

18、40页60例2 设X与Y相互独立，且解解：求 ()( )0, ()( )1,E XE YD XD Y2() .EXY 222() (2)EXYE XXYY22()2 ()()E XE XYE Y 2()()D XE X100102 22 () ( )( )( )E X E YD YE Y第60页/共140页61例例3 随机变量随机变量(X,Y)f(x,y)=求求EX,EY,E(X2),E(XY), XY解解 因为因为=7/6=5/31()020280 xyxy 其其它它 (,)( , ) ( , )E g X Yg x y f x y dxdy ()( , )E Xxf x y dxdy 22

19、001()8xxy dxdy 22()( , )E Xx f x y dxdy 222001()8xxy dxdy 第61页/共140页62同理由对称性同理由对称性:=7/6E(Y2)=5/3=4/3111 ( )( , )E Yyf x y dxdy ()() ( , )E XYxy f x y dxdy 22001()8xyxy dxdy () ()XYEXYEXEYDXDY 第62页/共140页63例例(08) 设随机变量设随机变量且且1,XY ( ) 211. ( ) 211.( ) 211. () 211.A P YXB P YXC P YXD P YX 考查：相关系数的性质：考查：

20、相关系数的性质：()1.P YaXb存在a,b,使以及正态分布数字特征的性质以及正态分布数字特征的性质.(0,1),(1,4),XNYN则则1XY 第63页/共140页64解解 选选D. 从而从而EY=aEX+b,得得b=1.而而2.a例例(08) 设随机变量设随机变量且且1,XY ( ) 211. ( ) 211.( ) 211. () 211.A P YXB P YXC P YXD P YX (0,1),(1,4),XNYN则则()1.P YaXb存在a,b,使1XY 由正态分布有由正态分布有 EX=0,DX=1, EY=1,DY=4,()1()()XYE XYEXEYD XD Z ()0

21、 1.214E X aXba 第64页/共140页65填空题填空题(08) 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为1的泊松分布的泊松分布, ,则则PX=EX2_.12e考查：考查：泊松分布的数字特征及其概率分布泊松分布的数字特征及其概率分布. .参数为1的泊松分布的EX =DX=1,从而EX2 =DX+(EX)2=2, PX=EX2=PX=2=1/2e.第65页/共140页66第五章 大数定律与中心极限定理第66页/共140页解 设方差2(),D X 例1 使用切比雪夫不等式估计正态随机变量X与数学期望的偏差|X- |大于2倍均方差及小于5倍均方差的概率.根据切比雪夫不等式有：222 (2

22、 )P X 1;4 515PXPX22241.(5)25 67第67页/共140页例2 设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？解 令(1,2,5000)iX i 表示各个零件重量，由题知：0.5,5000,2500,nn0.1,5 2,n68第68页/共140页Xi满足独立同分布的中心极限定理的条件，所以有500012500(0,1),5 2iiXN 5000500011251012510iiiiPXPX5000125002510250015 25 2iiXP 1(1.42)

23、0.0778 69第69页/共140页例3 一本书共有100万个印刷符号，在排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被校正的概率为0.9，求校对后错误不多于15个的概率？解 令1,1,2,10000000iiXii 第第 个个符符号号排排版版错错误误第第 个个符符号号排排版版正正确确由题知：1000000,n 70第70页/共140页校正后排版错误的概率为：0.0001 (10.9)0.00001,p 10(1)3.162npnpp因为Xi满足棣莫弗-拉普拉斯定理，则有1000000110(0,1),3.162iiXN 71第71页/共140页100000010000001

24、1101510153.1623.162iiiiXPXP (1.581) 0.9429 72第72页/共140页73第六章 数理统计的基本概念与抽样分布第73页/共140页74例例1 在总体在总体N(52, 6.32)中随机抽一容量为中随机抽一容量为36的样本的样本,求求样本均值样本均值X落在落在50.8到到53.8之间的概率之间的概率.解解 由于由于X N(52, 6.32),样本容量样本容量n=36, 则则= (1.71)- - (- -1.14)=0.9564- -1+0.872953.85250.85250.853.8()()1.051.05PX X N (52, 6.32/36)= N

25、 (52, 1.052)= (1.71)-1+(1.14)=0.8293第74页/共140页75例例2 求总体求总体N(20,3)的容量分别为的容量分别为10,15的两独立样的两独立样本均值差的绝对值大于本均值差的绝对值大于0.3的概率的概率.解解 由于总体由于总体XN(20,3),XN(20,3/10), YN(20,3/15),样本容量分别为nx=10,ny=15,()()( )D XYD XD Y()()( )E XYE XE Y设其两个独立样本均值为X,Y,20200,330.5,1015第75页/共140页76=21-0.6628故故 X- -YN(0, 0.5)| 0.31| 0.

26、3PXYPXY1 0.30.3PXY1 (0.3/0.5)( 0.3/0.5) 21(0.42) =0.6744第76页/共140页77例例3 设设X1,X2,X10为为 N(0, 0.32)的一个样本的一个样本,求求解解 XiN(0,0.32) , i =1,2,10 ,且相互独立且相互独立.标准化随机变量标准化随机变量且相互独立且相互独立. 则其平方和则其平方和i =1,2,10,10211.44.iiPX 0(0,1),0.3iXN 21021() (10).0.3iiXY 第77页/共140页78查查 2分布表分布表, 15.987= 20.1(10), PY15.987= 20.1(

27、10)101022111.441.44()160.30.09iiiiXPXP101022111.44()160.3iiiiXPXP=0.1 .第78页/共140页79例例4 设总体设总体X 2 (n), X1, X2,X10是来自是来自X的样本的样本, 求求 E(X),D(X),E(S2).由于由于Xi 2(n),故故E(Xi)=n, D(Xi)=2n, i=1,2,10 .解解 方法方法11011()()10iiE XEX 1011()10iiE X 11010nn1011()()10iiD XDX 1011()100iiD X 11021005nn第79页/共140页80E(Xi2)=D(

28、Xi)+E(Xi)2=2n+n2,E(X 2)=D(X)+E(X)2=(n/5)+n2 .1022211()(10)101iiE SEXX 102211()10 ()9iiE XE X 22120102109nnnn2n 第80页/共140页81E(X)=n,D(X) =2n/10=n/5,E(S 2)=2n.方法方法2 不管总体不管总体X服从什么分布服从什么分布,样本容量为样本容量为10,有有E(X)=E(X), D(X)=D(X)/10, E(S2)=D(X) .由于X 2(n),故E(X) =n, D(X) =2n,因此因此第81页/共140页82例例5 设在总体设在总体N( , 2)中

29、抽取一容量为中抽取一容量为16的样本的样本. 这里这里 , 2均为未知均为未知. (1)求求PS2/ 2 2.041,其中其中S2为为样本方样本方差差;(2)求求D(S2) .解解 因为因为此处此处n=16,故故PS2/ 2 2.041=P15S2/ 2 30.615(1) 查查 2分布表分布表, 20.01(15) = 30.578,=1- -P 15 S2/ 230.615 1- -P 15 S2/ 230.578= 20.01(15)222(1)(1),nSn 22215(15)S =1-0.01=0.99 .第82页/共140页83(2)由于由于故故222215()()15SD SD

30、422215()15SD 2215()2 1530SD 44222()30.1515D S第83页/共140页84第七章 参数估计第84页/共140页85例1 设总体证 因为2( ,)XN ,X1,X2,Xn, Xn+1为其样本,记11,niiXXn 2211() ,1niiSXXn 求求证证：1 (1).1nXXnt nnS 2( ,),XNn 所以211(0,),nnXXNn 标准化得1(0,1),1nXXNnn 第85页/共140页861(0,1),1nXXNnn 又因为222(1)(1),nSn 根据t分布的定义有122(1)11 (1),nXXnnt nnSn 1 (1).1nXXn

31、t nnS 即即第86页/共140页87例例2 设设X1,X2,Xn为总体的一个样本为总体的一个样本, x1,x2,xn为为一相应的样本值一相应的样本值;总体的密度函数为总体的密度函数为解解 (1) 矩估计矩估计 因为只有一个未知参数因为只有一个未知参数 ,其中其中c0为已知为已知, 1, 为未知参数为未知参数.求未知参数求未知参数 的的矩估计值和极大似然估计值矩估计值和极大似然估计值.(1),( )0,c xxcf x 其其它它故只计算总体一阶矩1即可.第87页/共140页88解出解出将总体一阶矩将总体一阶矩 1换成样本一阶矩换成样本一阶矩得到参数得到参数 的矩估计量的矩估计量矩估计值矩估计

32、值1()( )E Xxf x dx (1)cxc xdx ccxdx 11cc x 1c 11c 1,AX XXc .xxc 第88页/共140页89(2) 似然函数似然函数 xic ( i =1,2,n)时时,取对数得取对数得121( ,)(, )nniiLx xxf x (1)1,1,2,0niiic xxc in 其其它它(1)1() (),1,2,0nniiicxxc in 其其它它第89页/共140页90令令得到得到 的极大的极大似然似然估计值估计值 的极大的极大似然似然估计量估计量1lnlnln(1)lnniiLnncx 1lnlnln0niidnLncxd 1lnlnniinxn

33、c 1.lnlnniinXnc 第90页/共140页91例例3 设设X1,X2,Xn为总体的一个样本为总体的一个样本, x1,x2,xn为为一相应的样本值一相应的样本值;总体的密度函数为总体的密度函数为解解 (1) 矩估计矩估计 因为只有一个未知参数因为只有一个未知参数 ,其中其中 0, 为未知参数为未知参数.求未知参数求未知参数 的矩估计值的矩估计值和极大似然估计值和极大似然估计值.1,01( )0,xxf x 其其它它故只计算总体一阶矩1即可.第91页/共140页92解出解出将总体一阶矩将总体一阶矩 1换成样本一阶矩换成样本一阶矩得到参数得到参数 的矩估计量的矩估计量矩估计值矩估计值1()

34、( )E Xxf x dx (1)cxc xdx 10 xdx 1101x 1 211() ,1 1,AX 2() ,1XX 2() .1xx 第92页/共140页93(2) 似然函数似然函数 0 xi 1 ( i =1,2,n)时时,取对数得取对数得121( ,)(, )nniiLx xxf x 11()01,1,2,0niiixxin 其其它它/211()01,1,2,0nniiixxin 其其它它第93页/共140页94令令得到得到 的极大的极大似然似然估计值估计值 的极大的极大似然似然估计量估计量1lnln(1)ln2niinLx 11lnln022niidnLxd 221,(ln)n

35、iinx 221.(ln)niinX 第94页/共140页95例4 设总体X的概率分布表示如下：解 因为2201232 (1)12XP 212 (1)2312E X为未知参数，利用总体如下样本值其中1(0)23,1,3,0,3,1,2,3,的矩法估计值和极大似然估计值.求 48 . 313031232.8x第95页/共140页96解 因为 212 (1)2312E X48 . 313031232.8x因此矩法估计值为1.4 似然函数为 2422( )2 (1)12L 4264 12(1),两边取对数得两边取对数得 ln ( )ln44ln 122ln(1)6ln ,L第96页/共140页97

36、ln ( )ln44ln 122ln(1)6ln ,L求导并令其为0ln ( )82610,21dLd 解得的极大似然估计值为 *713713.1212 或或舍舍去去第97页/共140页98例例5 设设X1,X2,Xn是来自参数为是来自参数为 的泊松分布总体的泊松分布总体的一个样本的一个样本,试求试求 的极大的极大似然似然估计量及矩估计量估计量及矩估计量.解解 泊松分布的分布律为泊松分布的分布律为总体一阶矩总体一阶矩 1=E(X)= ,将总体一阶矩将总体一阶矩 1换成样本一阶矩换成样本一阶矩得到参数得到参数 的矩估计量的矩估计量X 设设x1,x2,xn为相应的样本值为相应的样本值,1,AX ,

37、0,1,2,!xeP Xxxx 第98页/共140页99似然函数似然函数取对数得取对数得令令得到得到 的极大的极大似然似然估计值估计值 的极大的极大似然似然估计量估计量121(, )!ixnniiL x xxex 11(!)niixnniiex 11lnlnln(!)nniiiiLnxx 11ln0niidLnxd 11niixxn 11niiXXn 第99页/共140页100例例6 (1) 验证抽样分布定理中的统计量验证抽样分布定理中的统计量是两总体公共方差是两总体公共方差 2的无偏估计量的无偏估计量(Sw2称为称为 2的合并估计的合并估计).证证 两正态总体两正态总体N( 1, 12 )

38、,N( 2, 22 )中中, 而不管总体而不管总体X服从什么分布服从什么分布,都有都有 E(S2)=D(X), 因此因此 E(S12)= E (S22)= 2,222121212121122wnnSSSnnnn 22112212(1)(1)2nSnSnn 12=22=2第100页/共140页101222112212(1)(1)()()2wnSnSE SEnn 221122121(1) ()(1) ()2nE SnE Snn2 第101页/共140页102(2) 设总体设总体X的数学期望为的数学期望为 . X1,X2,Xn是来自是来自X的样本的样本. a1,a2,an 是任意常数是任意常数,验证

39、验证是是 的无偏估计量的无偏估计量.证证E(X1)= E (X2)= E (Xn)= E(X)= 111()(0)nnniiiiiiia Xaa 1111()()nnnniiiiiiiiiiEa Xaa E Xa 11nniiiiaa 第102页/共140页103例例7设设X1,X2,X3,X4是来自均值为是来自均值为 的指数分布总体的指数分布总体的样本的样本,其中其中 未知未知.设有估计量设有估计量(1)指出指出T1,T2,T3中哪几个是中哪几个是 的无偏估计量的无偏估计量;(2)在上述在上述 的无偏估计量中指出哪一个较为有效的无偏估计量中指出哪一个较为有效.1123411()()63TXX

40、XX2123423(4/ 5,)TXXXX31234/ 4,()TXXXX第103页/共140页104解解 Xi ( i =1,2,3,4) 服从均值为服从均值为 的指数分布的指数分布,故故 (1)E(Xi)=, D(Xi)=2 ,1123411()()()()()63E TE XE XE XE X112 ()63212341()()2 ()3 ()4 ()5E TE XE XE XE X1(1234)25312341()()()()()4E TE XE XE XE X1(1111)4第104页/共140页105(2) X1,X2,X3,X4相互独立相互独立由于由于D(T1)D(T3),所以所

41、以T3比比T1较为有效较为有效.因此因此T1,T3是是 的无偏估计量的无偏估计量.1123411()()()()()369D TD XD XD XD X221152()36918312341()()()()()16D TD XD XD XD X2215(1111)1620第105页/共140页106解解 因为因为例例8 设从均值为设从均值为 ,方差为方差为 20的总体中的总体中,分别抽取容分别抽取容量为量为n1,n2的两独立样本的两独立样本.X1和和X2分别是两样本的均值分别是两样本的均值.试证试证,对于任意常数对于任意常数,a,b(a+b=1), Y=aX1+bX2都是都是 的的无偏估计无偏

42、估计,并确定常数并确定常数a,b使使D(Y)达到最小达到最小.故故所以对于任意常数所以对于任意常数,12()(), E XE Xm221122/, ()()/.D XsnD Xsn 12()()(),E YaE XbE Xab mm12,1 , (,)a b abYaXbX 都是的无偏估计.第106页/共140页107由于两样本独立由于两样本独立,故两样本均值故两样本均值X1和和X2独立独立,所以所以由极值必要条件由极值必要条件0)1(22)(221 nanadaYdD解得解得211nnna 而而2121nnnab 由于由于022)(22122 nndaYDd故故D(Y)必有唯一极小值即最小值

43、必有唯一极小值即最小值.2212( )()()D Ya D Xb D X22212abnn 22212(1).aann 第107页/共140页108例例9 设某种清漆的设某种清漆的9个样品个样品,其干燥时间其干燥时间(以小时计以小时计)分别为分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0设干燥时间总体服从正态分布设干燥时间总体服从正态分布N( , 2),求求 的置信的置信水平为水平为0.95 的置信区间的置信区间. (1)若由以往经验知若由以往经验知 =0.6, (2)若若 为未知为未知.解 (1) 2已知,的置信水平为1- 的置信区间为/2/2,XzXznn第1

44、08页/共140页109 的一个置信水平为的一个置信水平为0.95 的置信区间为的置信区间为9, 10.95,0.05,n0.02510.025(97)0.5,z0.0251.96,0.6,6,zsx 0.661.9660.392.3(5.608, 6.392).第109页/共140页110(2) 2未知,的置信水平为1- 的置信区间为 的一个置信水平为的一个置信水平为0.95 的置信区间为的置信区间为/2/2(1),(1) ,SSXtnXtnnn9, 10.95,0.05,n(5.558, 6.442). /20.02518( )2.3060,tnt 0.5745,s 0.574562.30

45、6060.4423第110页/共140页111例例10 随机地取某种炮弹随机地取某种炮弹9发做试验发做试验,得炮口速度的得炮口速度的样本标准差样本标准差s=11(m/s).设炮口速度服从正态分布设炮口速度服从正态分布.求这种炮弹的炮口速度的标准差求这种炮弹的炮口速度的标准差 的置信水平为的置信水平为0.95 的置信区间的置信区间.解 未知,的置信水平为1-的置信区间为22/21/211(,)(1)(1)nSnSnn 第111页/共140页112 的一个置信水平为的一个置信水平为0.95 的置信区间为的置信区间为9, 10.95,0.05,n22/20.0251817.5()(35,)n 221

46、/20.975()( )182.18,n 11,s (7.4, 21.1).8117.4,17.535 81121.1,2.18 第112页/共140页113例例11 随机地从随机地从A批导线中抽取批导线中抽取4根根,又从又从B批导线批导线中抽取中抽取5根根,测得电阻测得电阻(欧欧)为为B批导线批导线: 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140设测定数据分别来自分布N(1,2),N(2,2),且两样本相互独立.又1, 2,2均为未知.试求1 - 2的置信水平为0.95 的置信区间.A批导线: 0.143 0.142 0.143 0.137第113页/共140页114解 两正态

47、总体相互独立, 方差相等,但方差未知, 其均值差1 - 2的一个置信水平为1- 的置信区间为121221211(2),wxxtnnSnn 121221211(2)wxxtnnSnn 2222112212(1)(1),.2wwwnSnSSSSnn第114页/共140页1151 - 2的置信水平为0.95 的置信区间为124,5,10.95,0.05,nn0.012225(2)( )72.3646,tntn 120.14125, 0.1392, xx2626128.25 10 , 5.2 10 , ss66338.25 1045.2 102.55 107ws 3110.141250.13922.3

48、6462.55 100.0020.00445 (-0.002, 0.006).第115页/共140页116例例12 设两位化验员设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含氯量用独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作相同的方法各作10次测定次测定,其测定值的样本方差依次其测定值的样本方差依次为为sA2=0.5419, sB2=0.6065, 设设 A2, B2分别为分别为A,B所测定所测定的测定值总体的方差的测定值总体的方差,设总体均为正态的设总体均为正态的,设两样本独设两样本独立立,求方差比求方差比 A2/ / B2的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间的置信区间.解 两正态总体均值未知,方

49、差比A2/B2的一个置信水平为1- 的置信区间为2222/2121/21211(,)(1,1)(1,1)AABBSSSFnnSFnn 第116页/共140页117 A2/ / B2的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间为的置信区间为10,10,10.95,0.05,ABnn/20.0251,19,94.03()().ABFnnF 1/20.975(1,1)(9,9)ABFnnF 0.02511(9,9)4.03F220.5419,0.6065,ABss0.541910.222,0.60654.030.54194.033.601,0.6065(0.222, 3.601).第117页/共140

50、页118例例13 随机地从随机地从A批导线中抽取批导线中抽取4根根,又从又从B批导线批导线中抽取中抽取5根根,测得电阻测得电阻(欧欧)为为B批导线批导线: 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140设测定数据分别来自分布N(1,2),N(2,2),且两样本相互独立.又1, 2,2均为未知.试求1 - 2的置信水平为0.95 的单侧置信下限.A批导线: 0.143 0.142 0.143 0.137注注：此例与：此例与例例11的区别的区别.第118页/共140页119解解按照按照t分布的上分布的上 分位点的定义分位点的定义即即12121212()() (2)11wxxt nnSn

51、n 2222112212(1)(1),.2wwwnSnSSSSnn1212121211(2)1wPxxtnnSnn 12121212()()(2)111wxxPtnnSnn 第119页/共140页120因此1 - 2的置信水平为0.95 的单侧置信下限为124,5,10.95,0.05,nn0.0125(2)( )71.8946,nttn 120.14125, 0.1392, xx 2626128.25 10 , 5.2 10 , ss32.55 10ws 由例11知：1211221211(2)wxxtnnSnn 3110.141250.13921.89462.55 1045 0.0012 第

52、120页/共140页121例例14 设两位化验员设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含氯量独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作用相同的方法各作10次测定次测定,其测定值的样本方差其测定值的样本方差依次为依次为sA2=0.5419, sB2=0.6065, 设设 A2, B2分别为分别为A,B所测定的测定值总体的方差所测定的测定值总体的方差,设总体均为正态的设总体均为正态的,设设两样本独立两样本独立,求方差比求方差比 A2/ / B2的置信水平为的置信水平为0.95的的单侧置信上限单侧置信上限.注注：此例与：此例与例例12的区别的区别.第121页/共140页122解解 因为因为按照按照F分布

53、的下分布的下 分位点的定义分位点的定义 即即2222(1,1),ABABABSSF nn222211/1.(1,1)AABBABSPSFnn 22122/(1,1)1,/ABABABSSPFnn 第122页/共140页123 A2/ / B2的置信水平为的置信水平为0.95的的单侧置信上限单侧置信上限为为10,10,10.95,0.05,ABnn11/1,1,()11)ABBAFnnFnn 0.059,93.18F220.5419,0.6065,ABss由例12知：222211(1,1)ABBAABSSFnn 0.54193.182.840.6065第123页/共140页124第八章 假设检验

54、第124页/共140页125例1 根据长期经验和资料的分析, 某砖瓦厂生产砖的抗断强度x服从正态分布, 方差2=1.21. 从该厂产品中随机抽取6块, 测得抗断强度如下(单位: kg/cm2):32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03检验这批砖的平均抗断强度为32.50kg/cm2是否成立( =0.05)?解 设 H0: =32.50. 则样本(X1,., X6)来自正态总体N(32.50, 1.12), 令如果H0正确, 第125页/共140页12632.50(0,1)1.1/6XUN 0.05,1.96u 对对给给定定的的查查表表得得0(|),()1

55、2P Uuu 使使即即U计计算算求求出出 的的样样本本值值为为31.1332.50|3.051.961.1/6u 最后可以下结论否定H0,即不能认为这批产品的平均抗断强度是32.50kg/cm2.第126页/共140页127例2 假定某厂生产一种钢索, 它的断裂强度X (kg/m2)服从正态分布N(,402). 从中选取一个容量为9的样本, 得 =780kg/m2. 能否据此样本认为这批钢索的断裂强度为800kg/cm2 (=0.05)x00:800.HH 首首先先建建立立如如解解成成立立则则(800) 9 / 40 (0,1),UXN0.051.96,u 因因则则780800|1.51.96

56、40/ 3u 可以接受H0, 认为断裂强度为800kg/cm2.第127页/共140页128例 3 从 1 9 7 5 年 的 新 生 儿 ( 女 ) 中 随 机 地 抽 取 2 0 个 , 测得 其 平 均 体 重 为 3 1 6 0 克 , 样 本 标 准 差 为 3 0 0 克 . 而 根据 过 去 统 计 资 料 , 新 生 儿 ( 女 ) 平 均 本 重 为 3 1 4 0 克 . 问现 在 与 过 去 的 新 生 儿 ( 女 ) 体 重 有 无 显 著 差 异 ( 假 设 新生 儿 体 重 服 从 正 态 分 布 ) ? (= 0 . 0 1 ) 若 把 所 有 1 9 7 5 年

57、新 生 儿 ( 女 ) 体 重 体 现 为 一 个 正 态 总 体 N (,2) , 问 题就是判断 =E(X=3140是否成立?解 待检假设 H0: =3140. 由于 2未知, 自然想到用S2代表2. 则如果H0成立, 则第128页/共140页1293140 (19),/20XTtS 0.010.01,(19)2.861,t 由由给给定定的的检检验验水水平平查查表表得得3140 2.8610.01,/20XPS 即即31603140 | |2.861.30.29800/20t 而而0,.H因因此此认认为为现现在在的的新新生生儿儿体体重重与与过过去去没没收收有有明明显显差差异异接接第129页/共140页130例4 某炼铁厂的铁水含碳量x在正常情况下服从正态分布. 现对操作工艺进行了某些改进, 从中抽取5炉铁水测得含碳量数据如下:4.412, 4.052, 4.357, 4.287, 4.