矩阵的分解与正交阵之间的联系

1、矩阵的分解与正交阵之间的联系摘要：通过一个矩阵分解可分解成正交阵与某个矩阵的乘积引出关于矩阵的极分解定理，qr分解定理，极值分解定理，奇异值分解定理等，并对它们进行了证明和扩充。关键词：分解 矩阵 正交阵正文：今年来，在数学专业的考研试卷中，高代部分关于矩阵的分解的题目（利用它们来进行计算或证明某个特定问题）有增多的趋势。学过矩阵论的人都知道，矩阵的分解主要有两大类，一类是矩阵的加法分解，一类是矩阵的乘法分解。本篇着重讨论乘法分解中的几种特殊分解。定义1： , , 则a称为正交阵。定义：， ( i ) ( ii ) (iii) 在02年的厦大高代考研卷子中，就有矩阵的分解与正交阵结合起来的题目

2、。th1：（02年高代试卷）设a是可逆的n阶实方阵。求证：存在正交阵u，正定阵t，使a=ut，且这个分解式是唯一的。证明：a可逆， 正定 从而存在正定阵t， 使 即 则 现假设a还有另一分解，即a=ut=us 则 ，u为正交阵，而u的特征值为实数且是正的 可对角化 即 分解式是唯一的。证明完毕。上述定理1也称为矩阵的极分解定理，又极分解定理我们可以得到一个推论。推论1：设a是一个n阶实可逆矩阵，a=pu是极分解，其中p是正定矩阵，u是正交矩阵，则 。证明：（充分性）； （必要性） 而及均为正定矩阵知它们均有正定平方根 p和而平方根是唯一的， 。th2: 任一实满秩矩阵a可分解成一个正交阵与一个

3、主对角线元素都大于零的上三角阵之积，且这种分解是唯一的这个分解也称为矩阵的qr分解。证明：设，其中为a的列向量 为实满秩矩阵，线性无关， 则可用施密特正交化方法，令 其中 再将单位化，令 ， （2） 则为标准正交基，而为正交阵 由（1）（2）解出，得 其中为上三角阵 且为正实数 再证唯一性：设还有正交阵及对角线元素为正实数的上三角阵，使，下证： 令，则，则b既是正交阵又是上三角矩阵即b为对角矩阵，但与的主对角线元素为正实数，从而 而由b是正交阵， 即 证明完毕。例1、 将分解为正交矩阵与上三角矩阵之积。解：令，其中为a的列向量，对用施密特正交化方法得到正交向量 即 在单位化得 即 令 ， 则为

4、正交矩阵，为上三角矩阵，并且。注：可见，在掌握分解定理时，对起证明的思路及步骤也必须熟练掌握。这样，在求矩阵a的分解时才能用到。例2、（华中师大1994，1996）设a是n阶实可逆阵，证明：存在n阶正交阵p和 q，使， 其中 且 为的全部特征值。证明：由定理1知，存在正交阵c和b，使a=bc （1）其中b的特征值 均为正，且 为的全部特征值，由b为正定阵，从而存在正交阵t，使得（2）将（2）代入（1）得 ， 即 （3） 其中， 均为正交阵。注：我们可以将（3）改写为 ， 这就是a的一个分解即实可逆阵表示为（正交阵）（正定阵）（正交阵）之积。例3、（浙江大学，天津师范大学）设a为实矩阵，秩a=r

5、，则矩阵，其中,分别为m阶和n阶的正交矩阵，而， 。证明：由题意知： 不是正定阵 从而存在正交阵p, 使 （1） 又 不失一般性，不妨设 ， 令 ， 由（1）得 （2） 将p分快，令 (3) 由于p为正交阵， ，用左乘，右乘（3）式两端得 （4） 令 ，则 为 实矩阵，且 （5） （6）由（6）得 （7）由于 有个线性无关的解，将它们正交单位化后构造 矩阵，这样由 ，可得 但 ，令 由于 从而 为正交阵，并（3）（8）式 由（9）式得 （10）其中 由（10）知 。（证法二）由假设，存在m阶与n阶可逆矩阵t,s ,使 对，作分解， 其中，分别为m阶与n阶正交矩阵，分别为非奇异的正三角矩阵与下三

6、角矩阵，则 （1）其中 为的r 阶顺序主子阵，为的r 阶下三角顺序主子阵，所以 是r阶可逆矩阵，因而存在正交矩阵，使 （2）其中 。令 ， 将（2）代入（1）得 且， 。例2其实矩阵分解的一个类型，也就是矩阵的奇异值分解问题，而由矩阵的奇异值分解，我们可以得到矩阵的另一种分解模式，即矩阵的极因子分解问题。th3：设a为n阶实方阵，那么（1） a必与分解式 ，其中为正交阵；（2） 当时，（1）式中的分解是唯一解。证明：（1）由矩阵的奇异值分解，知存在正交阵，使 ，其中 ， 其中 （2） （3） 其中 用左乘（2）式两边，得 其中 用右乘（3）式两边，得 令 即 （2） 由a可唯一确定，而当a非奇异时存在， 可唯一决定 例4 设a、b为任意n阶实矩阵，且 ，则，这里为正交矩阵。证明： ， 由矩阵的极因子分解，我们有 ， ，其中，为正交阵， ，这里 为正交阵。注：当a是非奇异矩阵时，本条极易证明。由 得 这证明是正交矩阵， 以上均说明了矩阵分解与正交阵之间的关系，但作为正交阵分解本身而言，也是特殊的。例5、设a是正交矩阵，求证：存在正交阵b，使得。 证明：是正交阵 存在可逆阵p，使 显然存在正交阵b，使 而 证毕。 关于矩阵的分解还有其他多种类型，这里限于篇幅，就不一一列举了。参考文献： 1、厦门大