五年级春季：12-完全平方数(大纲+题库)

1、一、 教学目标总述：完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点.细分：1.掌握平方数的因数与余数的性质； 2.初步体会用尾数分析法解有关整数问题； 3.初步体会用因数分析法解有关整数问题； 4.初步体会余数分析法解有关整数问题； 二、 知识点拨1平方数的因数有下面的一些性质：（1） 平方数的因数的个数必为奇数；反之，恰有奇数个因数的数必为平方数。（2） 若p是平方数M的因数，则也是M的因数，且仍为平方数。2平方数的余数有下面的性质：偶数的平方被4整除；奇数的平方被8除时余数为1

2、，因而被4除时余数也为1。3、平方数尾数的性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。4.重点公式回顾：平方差公式：三、 整体思路在认识分解式的基础上，掌握质因数的指数特征（阶乘类型）从平方数的分解式开始，进行平方数的认识（简单类型）体会用尾数分析法解有关整数问题（入门与提高两题）掌握平方数的因数性质（包括入门与提高两题）平方差公式的运用（认识一题）用余数分析法解决相关问题（入门与提

3、高两题）注：选做题中，将放除去以上题目类型以外的题目，并要包含以上知识点，分析难度会提高。四、 题目分类类型一 平方数的分解式，及分解质因数之后的质因数的指数特征一 简单类型，可以作为学习入门【例 1】 9207乘以正整数a后成为平方数，问：a的最小值是多少？教学建议 运用平方数的分解式特征分析题目，比较简单。分析解答 要乘的数a应满足条件使得9207的所有质因数个数都为偶数，则a的最小值是3×11×31=1023；【例 2】 9207加上正整数a后成为平方数，问：a的最小值是多少？教学建议 运用平方数的分解式特征分析题目，比较简单。分析解答 根据平方数定义，9207加上一

4、个正整数a后所得的数可以表示为两个相同的数相乘的形式，由9207的分解式看出9207=99×93， =902592079216= ；9216-9207=9，则a的最小值是9。【例 3】 15912乘以一个自然数，得到一个完全平方数，要乘的自然数最小是多少？【例 4】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛) 是 的平方解析 ，原式【例 5】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？解析 完全平方数，其所有质因数必定成对出现而，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于，所以、都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个巩固练习 1016与正整数a的乘积是一

5、个完全平方数，则a的最小值是_【解析】 先将1016分解质因数：，由于是一个完全平方数，所以至少为，故a最小为【巩固】 已知恰是自然数b的平方数，a的最小值是 。【解析】 ，要使是某个自然数的平方，必须使各个不同质因数的个数为偶数，由于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以为2可以使是完全平方数，故至少为2二 阶乘类型，难度较提高【例 6】 已知自然数n满足：除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是 。【解析】 先将分解质因数：，由于除以得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是的约数，那么最大可以为，所以最小为本题也可以这样想，既然除以得到一个完全平方数，的质因数分解式中3，7，11的

6、幂次是奇数，所以的最小值是【例 7】 考虑下列32个数：，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是多少？【解析】 设这32个数的乘积为A，所以，只要划去这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数另外，由于，而16也是完全平方数，所以划去也满足题意三综合类型，难度较高【例 8】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为 【解析】 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的设中间数是x,则它们的和为, 中间三数的和为是平

7、方数，设,则，是立方数，所以至少含有3和5的质因数各2个, 即至少是225,中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123【例 9】 求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数【解析】 为使所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子设这个数分解质因数之后为，由于它乘以2以后是完全平方数，即是完全平方数，则、都是2的倍数；同理可知、是3的倍数，、是5的倍数所以，是3和5的倍数，且除以2余1；是2和5的倍数，且除以3余2；是2和3的倍数，且除以5余4可以求得、的最小值分别为15、20、24，所以这样的自然数最小为【例 10】 A是一

8、个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的所有可能取值之和为 【解析】 如果把B放在A的左边，得到的五位数为；如果把放在的右边，得到的五位数为；这两个数的差为，是一个完全平方数，而，所以是5与一个完全平方数的乘积A又是一个两位数，所以可以为、，A的所有可能取值之和为类型二 掌握平方数的因数性质【例 11】 房间里有100盏灯,用1, 2 ,100编号,每盏灯连着一个开关,开始时所有的灯全都不亮.有100名同学依次进入房间,第一位进入房间的同学把编号为1的倍数的灯的开关揿动一次(这时所有的灯全亮

9、着); 第二位进入房间的同学把编号为2的倍数的灯的开关揿动一次(这时编号为偶数的所有的灯全熄灭); 第三位进入房间 的同学把编号为3的倍数的灯的开关揿动一次,如此下去,直到最后一位进入房间的同学把编号为100的倍数的灯的开关揿动一次.问:这时,房间里哪些灯亮着?教学建议 题目比较灵活，可以作为躯题。分析解答 原来不亮的灯，若开关揿动奇数次，则将变亮；开关揿动偶数次，则仍然不亮。而根据题意，第k个进去的人只揿动编号为k的倍数（即含因数k）的灯的开关，故一盏灯的开关揿动的次数，恰等于灯的编号所含因数的个数。因为只有平方数的因数的个数为奇数，故只有编号为平方数的灯亮着，即亮着的灯的编号为，4，9，1

10、6，25，36，49，64，81，100。【例 12】 为什么平方数的因数的个数必为奇数？试说明理由。教学建议 题目具有探索性，符合“接受学习”的特点。分析解答 设M为平方数，且，则为偶数，因而（）（）。（）为奇数，即M的因数的数目为奇数。【例 13】 在100200之间的整数里，因数个数为奇数的都有哪些？【解析】121/144/169/196巩固提高 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数解析 18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360630之间的完全平方数为192,202,212,222,23

11、2,242,252即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625【例 14】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？解析 设该数为，那么它的平方就是，因此由于，所以，可得，；故该数的约数个数为个；或者，可得，那么该数的约数个数为个所以这个数的约数个数为14个或者20个类型三 体会用尾数分析法解有关整数问题【例 15】 1×2×3×n+3等于一个自然数的平方，求n教学建议 体会用尾数分析法解题，思路比较直接。分析解答 完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。而这个式子乘数一旦超过5,个位数字就

12、是0。所以经尝试，n=1或3【例 16】 对任意的n2,在下面的n位数11。11，22。22，33。33，。，。，88。88，99。99中没有平方数，试说明理由。教学建议 体会用尾数分析法解题，思路比较直接。分析解答 因为平方数的个位不为2，3，7，8，故22。2，33。3，77。7，88。8不是平方数。又当平方数的个位为6时，十位应为奇数，故6。66不是平方数；而当平方数的个位为奇数时，十位应为偶数，故1。11，3。33，5。55，7。77，9。99不是平方数。若4。44是平方数，则由4。44=4×1。11，且4为平方数，故1。11也是平方数，产生矛盾，故4。44也不是平方数。巩固

13、练习：有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数。【解析】 平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数考察1111，1444可以知道，所以满足条件的最小正整数是【例 17】 乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元?分析解答 n头羊的总价为n2元，由题意知n2元中含有奇数个10元，即完全平方数n2的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位

14、数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，n2的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。【例 18】 有四个数921438，76186，750235，2660161，其中只有_是完全平方数.【解析】个位数为8；个位是6，但十位是偶数；个位为奇数，但十位不是偶数，所以只有才是完全平方数，事实上它等于16312.【例 19】 (华杯赛试题)下面是一个算式：，这个算式的得数能否是某个数的平方？解析 判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的

15、个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方【例 20】 已知是一个四位数，若两位数是一个质数，是一个完全平方数，是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_【解析】 本题综合利用数论知识，因为是一个质数，所以B不能为偶数，且同时是一个完全平方数，则符合条件的数仅有16和36，所以可以确定B为1或3，由于是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，在6169中只有63和68符合条件，那么A为3或8那么可能为31，33，81，83，其中是质数的有31和83，所以满足条件的四位数有3163和8368类型四 体会用

16、余数分析法解决相关问题【例 21】 下面的数能否写成两数的平方和？为什么？ 121347， 2065735， 4472863， 36503951。分析解答 这些数有一个共同点：用4除时余数为3。 但两个平方数的和， 当它们都是偶数时，和为4的倍数； 当它们一奇一偶时，和被4除余1； 当它们都是奇数时，和被4除余2，都不是被4除余3的数，所以上面这些数都不能写成两数平方和。【例 22】 证明：形如11，111，1111，11111，的数中没有完全平方数。【解析】 由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不

17、可能为完全平方数【例 23】 能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由 【解析】 因为偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，因此任一正整数的平方被4除余0或1假设存在四个正整数，使得又被4除余2，故被4除余2或3若中有两个偶数，如是偶数，那么是4的倍数，被4除余2，所以不可能是完全平方数；因此中至多只有一个偶数，至少有三个奇数设为奇数，为偶数，那么被4除余1或3，所以中至少有两个数余数相同如被4除余数相同，同为1或3，那么被4除余1，所以被4除余3，不是完全平方数；综上，不可能全是完全平方数【例 24】 (2004

18、年南京市少年数学智力冬令营)记，这里当k在1至100之间取正整数值时，有 个不同的k，使得S是一个正整数的平方 【解析】 一个平方数除以4的余数是0或1当时，S除以4余3，所以S不是平方数；当时，当k在1至100之间时，S在13至409之间，其中只有8个平方数是奇数：，其中每1个平方数对应1个k，所以答案为8【例 25】 A是由2002个“4”组成的多位数，即，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由 【解析】 如果A是某个自然数的平方，则也应是某个自然数的平方，并且是某个奇数的平方由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而不是的倍数，矛盾，所以A不

19、是某个自然数的平方类型五 平方数的运用（关于平方差的运用）【例 26】 一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？ 【解析】 设这个数减去为，减去为，则，可知，且，所以，这样这个数为【巩固】 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？ 【解析】 假设能找到，设这两个完全平方数分别为、，那么这两个完全平方数的差为，由于和的奇偶性质相同，所以不是4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数所以不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的【例 27】 三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大

20、的数减去最小的数的差为60，求这三个数【解析】 设这三个数从大到小分别为、，那么有，因为，、同奇同偶，所以有，或，分别解得，和，对于后者没有满足条件的B，所以A只能等于12，继而求得，所以这三个数分别为12、8、2【例 28】 两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？ 【解析】 设这两个完全平方数分别是和，且，则两个完全平方数的和可以表示为，所以越大，平方和越大，越小，平方和越小，而，当，时，取得最大值，此时两个完全平方数的和最大，为；当，时，取得最小值2，此时两个完全平方数的和最小，为85【例 29】 一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数已知一个完全平方数

21、是四位数，且各位数字均小于7如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数【解析】 设这个四位数为，由于其各位数字都小于7，所以每位数字都加3，没有发生进位，故由得：将分解质因数，有，其有个约数，但是有，所以只有4种可能，即由于，故，所以；又，所以，故；一一检验，只有满足且，所以，得，原来的四位数为类型六 平方数的综合性运用【例 30】 (2008年清华附中考题)有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是 (请写出所有可能的答案) 【解析】 设这两个两位数中较小的那个为，则另外一个为，由题知， (为正整数)，即，由于，所以，由于与均为两位数，所以，故可能为25、50或者75，可能为18、43或者68经检验，、43、68均符合题意，所以这两个两位数为18、32，或者43、57，或者68、82【例 31】 (2004年华杯赛)三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？ 【解析】 是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于60任何三个连续正整数，必有一个能为3整除，所以，任何美妙数必有因子3若中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能