二项式定理_学案

1、二项式定理一、知识与方法：1、 二项式定理：（a b）n二C：an Canb 川。专 "Cb ,其中组合数 C叫第r +1项的；展开式共有 项，其中第r +1项T- =Cnan"br （r =0,1,2川|,n）称为二项展开式的 ，主要用于求指定的项。解题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？2、二项式系数的性质：（1） 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，实质是；n +1（2） 增减性与最大值：当1时，二项式系数cn的值逐渐增大，2 nn +1当r - 1时,cn的值逐渐减小，且在中间取得最大值。2n当n为偶数时，中间一项（第 项）的二

2、项式系数（cn2 ）最大值。n-1n 1当n为奇数时，中间两项（第 和项）的二项式系数（Cn2 =Cn2 ）相等并同时取最大值。（3） 二项式系数的和：C +cn +川+cn十_ ；C0 +C2 + =C +C3 + =。n nn n注意：此过程体现了“赋值法”，应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和、“奇数（偶次）项”系数和、以及“偶数 （奇次）项”系数和。3、二项式定理的应用：主要有近似计算、证明整除性问题或确定余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。二、例题：例1、求（2x3 -）7的展开式中第三项及常数项。92 l I I9例 2、已知（1 -3x）a1xa2xIDagx，求（1）

3、 ao ；（2）a2；（3）a。+|aja?| 十11 汁a |。三、练习题：1、在（-2）5的展开式中1的系数等于（）2 xxA 10B、-10C、20D、-202、若（ax -1）5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是（）A、 2B 、2 12C 3 4D 23、在 i ；x 一 12 I。展开式中，含x的负整数指数幂的项共有（2x4、8项I263在（ x ）的展开式中，x的系数和常数项依次是x20, 20B 、 15, 20 C 、 20, 15D、15, 155、由等式x4qx3o?x2a$x耳=（x1）4b（ x1）3a（ x b（ x 1）b定义映射f :佝，a?©

4、)(b ,b2 ,b b)则 f (4, 3, 2, 1)等于A (1 , 2, 3, 4) B 、(0 , 3, 4, 0) C 、(-1 , 0, 2, -2 )D 、(0, -3 , 4, -1 )16、对于二项式（-x3）n （nN ），四位同学作出了四种判断:x存在n N *，展开式中有常数项；对任意n N *，展开式中没有x的一次项；对任意n N ,存在n N*，展开式中有x的一次项.展开式中没有常数项;上述判断中正确的是（A、B、 C、D）7、若c3二C；-Cnj，则n的值为8、设(x1)4(x4)8二a。a1(x3)a2(x3)2Hl a12(x 3)12 ,则 a2 a4 *

5、l| *12 = 9、在 -的展开式中的常数项是（12仮丿-7C、28 D 、 -285310、（1-2x） （2 x）的展开式中x的项的系数是（）、-120 C 、 100 D 、 -100展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）、90C 、 45 D 、 36012、在（1-X2）20展开式中,如果第4r项和第r 2项的二项式系数相等，则r二14、若(x 1)n 二 xn 川川 px2 qx 1(n 三 N*),且p q 二 6,那么 n =15、(用数字作答)(1 2x2) X8的展开式中常数项为 x丿16、已知(x的展开式中前三项的系数成等差数列.(1)求n的值;(2

6、)求展开式中系数最大的项。(只-1尸例1( 2006年山东卷)已知'：的展开式中第三项与第五项的系数之_2比为:.，其中一 1,则展开式中常数项是(A. 45iB. 45iC. 45D. 45解：第三项、第五项的系数分别为一广，由题意有整理得:- I.解得n=10设常数项为- -1):20-2r-i = 0则有二得r=8故常数项为川° 二厂，选D。（石 + l）" 1 n E N *例2已知的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。解：展开式的前三项的系数分别为则由题意可得解得n=8 （n=1舍去）若为有理项，则:T '，且一二_ ,所以r=

7、0，4, 8故展开式中所有的有理项为（2006年湖北卷）在x的幕指数是整数的3. 求幕指数为整数的项例3项共有（A. 3项 B. 4项 C. 5项D. 6项4. 求系数最大的项（& + n e N例4已知：的展开式中，只有第五项的二项式系数最 大，求该展开式中系数最大的项。解：由只有第五项的二项式系数最大，可知展开式共有9项，故n=8设第叶1项的系数最大，则有又工J，所以r=2或r=3所以二项式的展开式中系数最大的项是二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对 于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不

8、漏。（2005年湖北卷）的展开式中整理后的常数项为Oxa +2-J& + 2 j ( + 2)25+ w对于二项式'的展开式中 -况（姊二6班要得到常数项需10-r=5，则r=5 所以常数项为亍例6（2005年浙江卷）在 7 展开式中，含的项的系数是（）A. 74B. 121C. 74D. 121解：一一一 *一一 ' 1：的展开式中，含的项为-:-二丨二.二二 U，故选 Do三、求展开式中某一项的二项式系数或系数此类问题仍然是利用二项式的通项公式1来加以求解，但在解题中要注意某一项的二项式系数与系数的区别。例7 （2006年北京卷）在 .的展开式中，的系数是7-3r（

9、用数字作答）解：-=2令一 ，得r=1所以J的系数为匚H四、求展开式中的系数和在涉及到求展开式中所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和的问题时,通常可以根据题目的结构特征，选择“赋值法”来加以解决。例8（2004年天津卷）若- L.，'- ',则（飭+ 5） + （% + %）+弘+%） + + （a0+aw） =（用数字作答）。解：取x=0,得T - I取 x=1，得'I： :_-（卯+首）+ （% +巧） + （%+%） + （如+幻新“邨 + （%+5 + &测）=2003+仁2004五、近似计算、证明整除及求余数问题近似计算要首先注意精确度，然后选取展开

10、式中前几项进行计算。用二项 式定理证明整除及求余数问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式来 展开，常采用“配凑法”，“消去法”，结合整除的有关知识来解决。例9 （ 2002年全国卷）据2002年3月5日九届人大五次会议政府工作 报告：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十五” 期间（2001年一2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为（）A. 115000 亿元 B. 120000 亿元 C. 127000 亿元 D. 135000亿元解：设到“十五”末我国国内年生产总值为 A,由复利公式或等比数列 通项公式，得故选C解：|：._-/+92 X 90 + 1 （M为整数）=100* 82 X 100+ 81。所以二除以100的余数是81。六、考查与其