构造法求数列通项公式专题讲座PPT课件

1、引言 求数列的通项公式是数列的难点和重点内容，两类特殊数列等差数列和等比数列可以根据公式直接求解，还有些特殊数列可用累加法、累乘法等来直接求解，但有些数列却不能直接求解，它们往往要转化为等差、等比数列和其他数列后再运用各自的通项公式求解，从而体现化归思想在数列中的运用，此时可用构造法求解。第1页/共28页构造法的定义 所谓构造法就是在解决某些数学问题中通过对条件和结论的充分剖析，有时会联想出一些适当的辅助模型，以促成命题的转换，产生新的解题方法。下面就构造法求数列的通项公式的分类和解题方法分别进行论述。第2页/共28页 基本思路：可用待定系数法,设 ,与已知式子相比较得 ,从而数列 成等比数列

2、,易得 .1nnap a1qp1nqap1111nnqqaappp类型1形如 的递推式11,0,0nnapaq ppq第3页/共28页类型1形如 的递推式 例1、已知数列 满足，求数列 的通项公式。11,0,0nnapaq ppq*111,21nnaaanN111,21nnaaa1121nnaa112a 1111212nnnaa 21nna 解:因为,得且. 所以.从而得.第4页/共28页nnnaaaa求：已知练习, 32, 3111323nna答案：nnnanaaa求：已知练习)2( , 43, 92111)31(81nna答案：类型1形如 的递推式11,0,0nnapaq ppq第5页/共

3、28页 练习3、已知数列 的前 项和为 ，且 求数列 的通项公式。 nannS585nnSna na类型1形如 的递推式11,0,0nnapaq ppq第6页/共28页类型2形如 的递推式 nb nf解法：只需构造数列，消去带来的差异 nfpaann11nqqqaqpqannnn111 nbnnnqab qbqpbnn11一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再用待定系数法解决。第7页/共28页 na651a11)21(31nnnaana11)21(31nnnaa12n1)2(32211nnnnaannnab 21321nnbbnnb)32(23nnnnnba)31

4、(2)21(32例2、已知数列中，求解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以类型2形如 的递推式 nfpaann1第8页/共28页 例3、类型2形如 的递推式 na2214nnnaSna已知数列前n项和求 通项公式.2214nnnaS111214nnnaS)2121()(1211nnnnnnaaSS11121nnnnaaannnaa21211由得：于是所以.nnnqpaa1第9页/共28页12n22211nnnnaa1214121111aaSanna2nnann2) 1(22212nnna上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以第10页/共28页 练习1、数列 满足

5、， 则 111232, 3nnnaaana322,2321111nnnnnnnaaaa232, 322111aaannnn又nna2232333) 1(232nnann112)36()233(22nnnnna解： 构成了一个以 首项 ，公差为3的等差数列， 第11页/共28页nnnnanaaa求：已知练习)2( ,55, 52111nnna5)45(答案：nnnnanaaa求：已知练习)2( ,221, 13111nnnnnnna11221212答案：第12页/共28页 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ，与已知递推式比较，解出 ,从而转化 为 是公比为p 的等比数列。ban

6、paann1类型3形如 的递推式)() 1(1yxnapynxannyx,yxnanCBnAnpaann21)(2CBnAnapbnn同样令第13页/共28页na)2( , 123, 411nnaaannnaBAnbaB，Anabnnnn则1,nnaa12) 1(31nBnAbBAnbnn) 133()23(31ABnAbn13323ABBAA11BA1nabnn取13nnbb61bnnnb32361132nann例4:设数列：，求.解：设，将代入递推式，得（）则,又，故代入（）得第14页/共28页 说明：（1）若 为 的二次式，则可设 ; (2)本题也可由 , （ ）两式相减得 转化为 求之

7、.)(nfn)(2CBnAnapbnn1231naann1) 1(2321naann3n2)(3211nnnnaaaannnqbpbb12第15页/共28页 nannS2*111,21nnaaSnnnN na练习1 数列前项和为,且，求数列的通项公式。练习2 在数列an中，a1=1，an+1=4an+3n+1，求数列an通项。543221nnaann练习a1=1求数列an通项。第16页/共28页类型类型四四：已知 （利用取倒数法，构造等差数列）。为公差的等差数列。为首项，以是以分析：取倒数，pdaapdapapdaannnnn11111111第17页/共28页 na21annnaaa311na

8、例5：数列中，若，则31311,3111nnnnnnnaaaaaaanaa1,211121562,2562533) 1(211nannnann解： 又是首项为公差3的等差数列。第18页/共28页 nannnaaaa312, 211nannnnnnnaaaaaaa121232311,312113,232),1(2111则令nnaa2531),31(213111aaann又31na252111)21(2531,)21(2531nnnnaa1)21(2531nna例6数列中，求解：是首项为公比为的等比数列第19页/共28页nnnnanaaaa求通项：已知练习, 2,13, 31111893nan答案

9、：nnnnnaaaaaa求通项：已知练习,02, 32111563nan答案：nnnnnssaasn, 2,122, 1321项和求前：已知练习121nsn答案：第20页/共28页类型4补充形如 的递推式.10,0nnnaabacadbccad，axbxcxdnnnaba nb1nnba nb基本思路：一般的,设是递推关系的特征方程的两个根.(1)当时,可令,则为等比数列;(2) 当时,可令,则为等差数列。.nnnaba第21页/共28页 na11324,4nnnaaaa na1324nnnaaa324xxx122,1xx 11225101,244nnnnnnaaaaaa 11112252nn

10、nnaaaa12nnaa14a 11131262aa1112225nnnaa11125252nnnnna例7 在数列中, 求数列的通项公式。解:由于的特征方程的两根为,所以,两式相除得,.则数列为等比数列.因为,所以,所以,所以.第22页/共28页na,Nn.325131nnnaaa例8已知数列满足：对于都有, 61a;na若求.32513xxx, 025102xx解：作特征方程变形得, 5, 61a.1a.,811) 1(11Nnnrprnabn, 0nb.7nn. 0bN,nn.N,7435581111nnnnbann令则对于第23页/共28页2( )(0)2axbf xaaxd类型5形如

11、 的递推式2( )(0)2axbf xaaxdxx12、f x( )anaf ann()12,3,n 2111122()nnnnaxaxaxax11120axax12lnnnaxax2定理 设，且是的不动点，数列满足递推关系，则有；若，则是公比为的等比数列。第24页/共28页nx14x 21324nnnxxxnx例9 9（20102010北京东城区二模试题）已知数列满足，求数列的通项公式21324nnnxxx23( )24xf xx( )f xx121,3xx2213(1)112424nnnnnxxxxx 2213(3)332424nnnnnxxxxx2111133nnnnxxxx111413343xx133111log2log33nnnnxxxx解：依题，记，令，求出不动点；由定理知：，所以，又，所以第25页/共28页11121231313131nnnnana