高三数学一轮复习二项式定理经典实用

1、高三数学一轮复习二项式定理高三数学一轮复习二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式会用二项式定理解决与二项展开式 有关的简单问题有关的简单问题高三数学一轮复习二项式定理高三数学一轮复习二项式定理 1二项式定理二项式定理高三数学一轮复习二项式定理思考探究思考探究1在在(ab)n与与(ba)n的展开式中，其通项相同吗？的展开式中，其通项相同吗？提示：提示：从整体上看，从整体上看，(ab)n与与(ba)n的展开式是相同的，但的展开式是相同的，但具体到某一项是不同的，如第具体到某一项是不同的，如第r1项项tr1 anrbr，tr1 bnrar.

2、高三数学一轮复习二项式定理2二项式系数的性质二项式系数的性质高三数学一轮复习二项式定理思考探究思考探究2 二项式系数与项的系数有什么区别？二项式系数与项的系数有什么区别？提示：提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数是指式系数是指 ，它只与各项的项数有关，而与，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关的值有关高三数学一轮复习二项式定理1. 的展开式中的展开式中x2

3、的系数为的系数为 () a10b5 c. d1高三数学一轮复习二项式定理解析：解析：含含x2的项为的项为 ( )2 x2 ，x2的系数为的系数为 .答案：答案：c高三数学一轮复习二项式定理2二项式二项式(a2b)n展开式中的第二项的系数是展开式中的第二项的系数是8，则它的，则它的 第三项的二项式系数为第三项的二项式系数为 () a24 b18 c16 d6解析：解析：tr1 (2b)r，t2 an1(2b)2 an1b，2 8，n4，第三项的二项式系数为第三项的二项式系数为 6.答案：答案：d高三数学一轮复习二项式定理3若若(x )n展开式的二项式系数之和为展开式的二项式系数之和为64，则展开

4、式的，则展开式的 常数项为常数项为 () a10 b20 c30 d120解析：解析：二项式系数之和二项式系数之和2n64，则则n6，tr1 x6r x62r，当当62r0时，即时，即r3时为常数项，时为常数项，t31 20.答案：答案：b高三数学一轮复习二项式定理解析：解析：tr1 (ax)5r(1)r，且，且x3的系数为的系数为80.4若若(ax1)5的展开式中的展开式中x3的系数是的系数是80，则实数，则实数a的值是的值是 _答案：答案：2高三数学一轮复习二项式定理5若若(x21)(x2)9a0a1(x1)a2(x1)2a11(x 1)11，则，则a1a2a11_.解析：解析：令令x2，

5、则有，则有a0a1a2a11(221)(22)90，再令再令x1，则有，则有a0(121)(1)2，a1a2a3a112.答案：答案：2高三数学一轮复习二项式定理高三数学一轮复习二项式定理 在解决二项展开式指定项或特定项的问题时，关键是在解决二项展开式指定项或特定项的问题时，关键是公式公式tr1 anrbr(0rn，rn*，nn*)的正确应用的正确应用高三数学一轮复习二项式定理特别警示特别警示应用二项展开式的通项公式应用二项展开式的通项公式tr1 anrbr(r0,1,2，n)时，要注意以下几点：时，要注意以下几点：(1)通项公式表示的是第通项公式表示的是第r1项，而不是第项，而不是第r项；项

6、；(2)通项公式中通项公式中a和和b的位置不能颠倒；的位置不能颠倒；(3)展开式中第展开式中第r1项的二项式系数项的二项式系数 与第与第r1项的系数，项的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式或指数的运算要细心，以防出错先处理符号，对根式或指数的运算要细心，以防出错高三数学一轮复习二项式定理 已知在已知在( )n的展开式中，第的展开式中，第6项为常数项项为常数项(1)求求n；(2)求含求含x2的项的系数；的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项求展开式中所有的有理项思路点拨思路点拨高三数学一轮复习二项式定理课

7、堂笔记课堂笔记(1)通项为通项为tr1 ，因为第因为第6项为常数项，所以项为常数项，所以r5时，有时，有 0，即即n10.(2)令令 2，得，得r (n6) (106)2，所求的系数为所求的系数为高三数学一轮复习二项式定理(3)根据通项公式，由题意根据通项公式，由题意令令 k(kz)，则，则102r3k，即，即r5 k，rn，k应为偶数应为偶数k可取可取2,0，2，即，即r可取可取2,5,8.所以第所以第3项，第项，第6项与第项与第9项为有理项，它们分别为项为有理项，它们分别为 ( )2x2， ， x2.高三数学一轮复习二项式定理1.对形如对形如(axb)n、(ax2bxc)m、(a、b、cr

8、)的式子求的式子求 其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即即 可；对可；对(axby)n(a，br)的式子求其展开式各项系数之的式子求其展开式各项系数之 和，只需令和，只需令xy1即可即可2一般地，若一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则，则f(x)展开展开 式中各项系数之和为式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为，奇数项系数之和为a0a2a4 ，偶数项系数之和为，偶数项系数之和为a1a3a5 .高三数学一轮复习二项式定理 在二项式在二项式(2x3y)9展开式中，求：展开式中，求：(1)二项式系数之和；二项式系数之和；(2)各

9、项系数之和；各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；所有奇数项系数之和；(4)系数绝对值的和系数绝对值的和思路点拨思路点拨高三数学一轮复习二项式定理课堂笔记课堂笔记设设(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为二项式系数之和为 29.(2)各项系数之和为各项系数之和为a0a1a2a9，令，令x1，y1，a0a1a2a9(23)91.(3)由由(2)知知a0a1a2a91，令令x1，y1，可得：，可得：a0a1a2a959，将两式相加，可得，将两式相加，可得a0a2a4a6a8 ，即为所有奇数项系数之和，即为所有奇数项系数之和高三数学一轮复习二项式定理(4)|

10、a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a9，令令x1，y1，则，则|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a959.高三数学一轮复习二项式定理1.求二项式系数最大的项：求二项式系数最大的项： 如果如果n是偶数，则中间一项是偶数，则中间一项 的二项式的二项式系系 数最大；数最大； 如果如果n是奇数，则中间两项是奇数，则中间两项 的二项式系数相等且最大；的二项式系数相等且最大；高三数学一轮复习二项式定理2求展开式系数最大的项，如求求展开式系数最大的项，如求(abx)n(a，br)的展开的展开 式中系数最大的项，一般是采用待定系数法设展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法设展开 式各项系数分

11、别为式各项系数分别为a1，a2，an1，且第，且第r项系数最大，项系数最大， 应用应用 解出解出r来，即得系数最大的项来，即得系数最大的项高三数学一轮复习二项式定理 已知已知f(x)( 3x2)n展开式中各项的系数和比展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项求展开式中系数最大的项思路点拨思路点拨高三数学一轮复习二项式定理课堂笔记课堂笔记(1)令令x1，则二项式各项系数和为，则二项式各项系数和为f(1)(13)n4n，展开式中各项的二项式系数之和为展开式中各项的二项式系数之

12、和为2n.由题意知由题意知4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍舍)或或2n32，n5.高三数学一轮复习二项式定理由于由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是间两项，它们是t3 (x )3(3x2)290 x6，t4 (x )2(3x2)3270 x .(2)展开式通项为展开式通项为tr1 3rx (52r)假设假设tr1项系数最大，则有项系数最大，则有高三数学一轮复习二项式定理 r ，rn，r4.展开式中系数最大项为展开式中系数最大项为t5 x (3x2)4405x .高三数学一轮复习二项

13、式定理已知已知( x2)2n的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展的展开式的二项式系数和大开式的二项式系数和大992，求，求(2x )2n的展开式中：的展开式中：(1)二项式系数最大的项；二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项系数的绝对值最大的项.高三数学一轮复习二项式定理解：解：根据二项式系数的性质，列方程求解根据二项式系数的性质，列方程求解n.系数绝对值最大系数绝对值最大问题需要列不等式组求解问题需要列不等式组求解由题意知，由题意知，22n2n992，即，即(2n32)(2n31)0.2n32，解得，解得n5.(1)由二项式系数的性质知，由二项式系数的性质

14、知，(2x )10的展开式中第的展开式中第6项的项的二项式系数最大二项式系数最大即即t6 (2x)5( )58 064.高三数学一轮复习二项式定理(2)设第设第r1项的系数的绝对值最大，项的系数的绝对值最大，tr1 (2x)10r( )r(1)r 210rx102r，得得 即即 解得解得 r .rz，r3，故系数的绝对值最大的是第，故系数的绝对值最大的是第4项，项，t4 27x415 360 x4.高三数学一轮复习二项式定理 以选择题或填空题的形式考查二项展开式的通项、以选择题或填空题的形式考查二项展开式的通项、二项式系数、展开式的系数等知识是高考对本讲内容的二项式系数、展开式的系数等知识是高

15、考对本讲内容的常规考法常规考法.09年北京高考则以选择题的形式考查了二项年北京高考则以选择题的形式考查了二项式定理在求值中的应用，这是一个新的考查方向式定理在求值中的应用，这是一个新的考查方向高三数学一轮复习二项式定理 考题印证考题印证 (2009北京高考北京高考)若若(1 )5ab (a，b为有理数为有理数)，则则ab ()a45 b55c70 d80高三数学一轮复习二项式定理 【解析解析】由二项式定理得：由二项式定理得： (1 )51 ( )2 ( )3 ( )4 ( )515 2020 204 4129 ， a41，b29，ab70.【答案答案】c高三数学一轮复习二项式定理 自主体验自主

16、体验 若对于任意实数若对于任意实数x，有，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，则向量，则向量m(a0，a2)与向量与向量n(3,4)所成角的余所成角的余弦值是弦值是 () a0 b. c. d1高三数学一轮复习二项式定理解析：解析：x32(x2)3，a0238，a2 26.故故m(8,6)，mn0.答案：答案：a高三数学一轮复习二项式定理高三数学一轮复习二项式定理1(2009浙江高考浙江高考)在二项式在二项式(x2 )5的展开式中，含的展开式中，含x4的的 项的系数是项的系数是 () a10 b10 c5 d5高三数学一轮复习二项式定理解析：解析：tr1 x2(5r)(x1)r

17、(1)r x103r(r0,1，5)，由，由103r4得得r2.含含x4的项为的项为t3，其系数为，其系数为 10.答案：答案：b高三数学一轮复习二项式定理2如果如果 的展开式中含有非零常数项，则正整的展开式中含有非零常数项，则正整 数数n的最小值为的最小值为 () a10 b6 c5 d3解析：解析：tr1 (3x2)nr(1)r 3nr2rx2n5r，由题意知由题意知2n5r0，即，即n ，nn*，rn，n的最小值为的最小值为5. 答案：答案：c高三数学一轮复习二项式定理3(1 )6(1 )4的展开式中的展开式中x的系数是的系数是 () a4 b3 c3 d4解析：法一：解析：法一：化简原

18、式化简原式(1 )4(1 )4(1 )2(1 )(1 )4(1 )2(1x)4(1 )2(14x6x24x3x4)(12 x)故系数为故系数为143.高三数学一轮复习二项式定理法二：法二：展开式中含展开式中含x的项为的项为 ( )( ) 15x6x24x3x故故x的系数为的系数为3.答案：答案：b高三数学一轮复习二项式定理4二项式二项式(2x )6的展开式的常数项是的展开式的常数项是_解析：解析：tr1 (2x)6r( )r 26r(1)rx62r，由，由62r0得得r3，故展开式中的常数项为，故展开式中的常数项为 23(1)3160.答案：答案：160高三数学一轮复习二项式定理5(2010安徽师大附中模拟安徽师大附中模拟)a (sinxcosx)dx则二项式则二项式 (a )6展开式中