世纪金榜高三文科数学总复习专项强化训练二三角函数与平面向量的综合应用

1、数学备课大师 【全免费】温馨提示： 此套题为word版，请按住ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭word文档返回原板块。专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用一、选择题1.(2015·济宁模拟)已知向量a=(1,),b=(cos,sin),若ab,则tan=()a.b.c.-d.-【解析】选b.因为ab,所以sin-cos=0,即sin=cos.故tan=.2.已知abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,向量m=(2sin b,-),n=(cos2b,2cos2-1),且mn,则锐角b的值为()a.b.c.d.【解题提示】根据mn,转化为b

2、的三角函数值后求解.【解析】选d.因为mn,所以2sinb(2cos2-1)=-cos2b,所以sin2b=-cos2b,即tan2b=-.又因为b为锐角,所以2b(0,).所以2b=,所以b=.3.(2015·临沂模拟)若向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),则a与b一定满足()a.a与b的夹角等于-b.abc.abd.(a+b)(a-b)【解题提示】欲求a与b满足的关系,先利用平面向量数量积公式,判断a与b是否有垂直或者平行的关系,再结合选项判断.【解析】选d.因为a·b=(cos,sin)·(cos,sin)=cos(-),这表明这两个向量的夹

3、角的余弦值为cos(-).同时,也不能得出a与b的平行和垂直关系.因为计算得到(a+b)·(a-b)=0,所以(a+b)(a-b).故选d.4.已知a=,b=(cos,sin),(0,),则|a-b|的取值范围是()a.(0,1)b.(0,1c.(0,)d.(0,【解析】选c.因为a-b=,所以|a-b|=,因为(0,),所以,cos(0,1).故|a-b|(0,).5.(2015·郑州模拟)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,cosc=,·=-2且a+b=5,则c等于()a.b.c.4d.【解题提示】由已知cosc=,·=-2,利用数量积公

4、式得到ab=8,再利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosc可求c.【解析】选a.由已知cosc=,·=-2,得b·a·cos(-c)=-2b·a·cosc=2,所以ab=8,利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosc=(a+b)2-2ab-2abcosc=52-2×8-4=5.所以c=.故选a.二、填空题6.在abc中,内角a,b,c所对边分别为a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosa,b),p=(c,-bcosa),若mn,mp,则abc的形状是.【解题提示】利用向量关系转化为边角关系后,再边化角可解.【解

5、析】由mn可得,b=2ccosa.由正弦定理可得sinb=2sinccosa,即sin(a+c)=2sinccosa.从而sinacosc+cosasinc=2sinccosa,故sinacosc-cosasinc=0.即sin(a-c)=0,又-<a-c<,所以a-c=0,即a=c.由mp可得c-2bcosa=0,从而sinc-2sinbcosa=0,故sin(a+b)-2sinbcosa=0.即sinacosb-cosasinb=0,即sin(a-b)=0,故a-b=0,a=b.所以a=b=c.故三角形为等边三角形.答案:等边三角形7.(2015·银川模拟)已知正三角

6、形oab中,点o为原点,点b的坐标是(-3,4),点a在第一象限,向量m=(-1,0),记向量m与向量的夹角为,则sin的值为.【解析】设向量与x轴正向的夹角为,则+=+=,且有sin=,cos=-,sin=sin(-)=sin=sin-cos=×-×=.答案:8.在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,且2cos2cosb-sin(a-b)sinb+cos(a+c)=-,若a=4,b=5,则在方向上的投影为.【解题提示】利用已知条件先转化求得cosa,再利用正余弦定理可解.【解析】由2cos2cosb-sin(a-b)·sinb+cos(a+c)=-,得

7、cos(a-b)+1cosb-sin(a-b)sinb-cosb=-,即cos(a-b)cosb-sin(a-b)sinb=-.则cos(a-b+b)=-,即cosa=-.由0<a<,得sina=,由正弦定理,有=,所以,sinb=.由题知a>b,则a>b,故b=,根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×,解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为|cosb=.答案:三、解答题9.(2015·晋中模拟)已知向量a=(sin x,),b=(cos x,-1).(1)若(a+b)(a-b),求cos2x的值.(2)若ab,求c

8、os2x-sin2x的值.【解析】(1)因为(a+b)(a-b),a+b=(sin x+cos x,-),a-b=(sin x-cos x,),所以(a+b)·(a-b)=sin2x-cos2x-=0,即cos2x=-.(2)因为ab,所以-sin x-cos x=0,即tan x=-,所以cos2x-sin2x=.10.已知向量a=（sin(x+),sin x）,b=(cos x,-sin x),函数f(x)=m(a·b+sin2x),m为正实数.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.(2)将函数f(x)的图象的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的两倍,然后再向右

9、平移个单位得到y=g(x)的图象,试探讨:当x0,时,函数y=g(x)与y=1的图象的交点个数.【解析】(1)f(x)=m(a·b+sin2x)=msin(x+)cos x-sin2x+sin2x=m(cos2x-sin2x+sin2x)=2msin(2x+).由m>0知,函数f(x)的最小正周期t=.又2k+2x+2k+(kz),解得k+xk+(kz).所以函数的递减区间是k+,k+(kz).(2)将函数f(x)的图象横坐标扩大到原来的两倍,得y=2msin(x+),再向右平移个单位,得y=2msin(x-)+,所以:g(x)=2msin x.由0x及m>0得0g(x)

10、2m,所以当0<m<时,y=g(x)与y=1无交点.当m=时,y=g(x)与y=1有唯一公共点,当m>时,y=g(x)与y=1有两个公共点.11.(2015·保定模拟)abc的三个内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,向量m=(-1,1),n=(cosbcosc,sinbsinc-),且mn.(1)求a的大小.(2)现给出下列四个条件:a=1;b=2sinb;2c-(+1)b=0;b=45°.试从中再选择两个条件以确定abc,求出你所确定的abc的面积.【解析】(1)因为mn,所以-cosbcosc+sinbsinc-=0,即cosbcosc-sinbs

11、inc=-,cos(b+c)=-,因为a+b+c=180°,所以cos(b+c)=-cosa,所以cosa=,又0°<a<180°,所以a=30°.(2)选择可确定abc.因为a=30°,a=1,2c-(+1)b=0,由余弦定理12=b2+-2b·bcos30°,整理得b2=2,b=,c=.所以sabc=bcsina=×××=.【一题多解】(2)选择可确定abc.因为a=30°,a=1,b=45°,所以c=105°.因为sin105°=sin(

12、60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=,由正弦定理=,得b=,所以sabc=absinc=×1××=.12.已知向量a=(cos,sin),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sin,cosx+2cos),其中0<<x<.(1)若=,求函数f(x)=b·c的最小值及相应x的值.(2)若a与b的夹角为,且ac,求tan2的值.【解析】(1)因为b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sin,cosx+2cos),=,所以f(x)=b·c=cosxsinx+2cosxsin+sinxcosx+2sinxcos=2sinxcosx+(sinx+cosx).令t=sinx+cosx,则2sinxcosx=t2-1,且-1<t<.则y=t2+t-1=-,-1<t<,所以t=-时,ymin=-,此时sinx+cosx=-,即sin=-,因为<x<,所以<x+<,所以x+=,所以x=.所以函数f(x)的最