《常微分方程》(第三版)答案

1、常微分方程2.11詈2xy，并求满足初始条件：的特解. 解：对原式进行变量分离得1dy 2xdx ,两边同时积分得：y2c 1,故它的特解为y ex。2In y X c,即 y c ex 把 xo, y1代入得-15 -22. y dx (x 1)dy 0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得:$dy,当 y0时，两边同时积分得;In x 11c In x 1当y0时显然也是原方程的解。当x 0,y1时，代入式子得c 1,故特解是11 ln|l x23 dy丄占 dx xy x y解：原式可化为：2 23dxdy ?1_3显然y 0,故分离变量得 一 dydx y

2、x x y1 y212yIn<In21 x222y )(1x)cx两边积分得丄| n12故原方程的解为(In c(c0),即(12 2y)(1 x)2cx4：(1 x)ydx (1 y)xdy 0解：由y 0或x 0是方程的解，当xy 0时，变量分离1一 dx -一 dy 0x y两边积分 In x x In y y c,即 In xy x y c,故原方程的解为 Inxy x y c; y 0;x0.5：（y解型dxx)dy (y x)dx 0 y 二令 Z u,y x xydux -dxux,巴dxdux - dx两边积分得:_ dy6： x ydx令yx解:dudxX,变量分离，1

3、arctgu ln(12u,y ux,矽dx得:1 du11 dxxln|xc。X包，则原方程化为:dx2 2x (1 u ),分离变量得：V11 du2usgn x?-dxx两边积分得：arcsinu sgnx ? ln|x| 代回原来变量，得 arcsi nsg nx?l n/x另外，y2x2也是方程的解。7: tgydx ctgxdy 0解：变量分离，得： ctgydy tgxdx 两边积分得：In |sin y| In |cosx| c.2y 3x8型匚dxy解：变量分离，得 土 dy -e3x cey 39: x(lnx In y)dy ydx 0解：方程可变为Iny?dyxdx 0

4、 x令u #,则有:xIdxxIn ud I n u1 In u代回原变量得：cy 1沁。xdyx y10：edx d解：变量分离e dyxe dx两边积分eyxe cdy x ydx exedxc解：变量分离，e dy 两边积分得：ey ex 1喘(x y)2解：令x y t,则虫1dx dx原方程可变为：色2 1dx t1变量分离得：dt dx,两边积分arctgt x ct 1代回变量得：arctg (x y) x c12 dx xW解t,则dy 色1,原方程可变为 空dx dxdxx c,代回变量变量分离身 dt dx,两边积分t arctgt t 1x y arctg (x y) x

5、 cdy 2x13.-y1dx x2y1解：方程组2xy10,x2y110;的解为x-, y3令x X 1,yY丄，则有dY2X Y'33dXX 2Y2令Y u,则方程可化为：x也 2 2U 2uXdX 1 2U13变量分离dy x y 514,dx x y 2解：令xy 5t,则巴dt1 ,dxdx原方程化为：1dtt,变量分离(t7)dt 7dxdxt 7两边积分1 22t7t7xc代回变量*(xy25)7(x y5)7x c.dy15. dx(x 1)2(4y1)2 8xy1解：方程化为dx2x 116y28y8xy 1 (x4y1)22dudx2dx，两边积分得arctg (3

6、令1 x 4y u，则关于x求导得1 4鱼dx9du所以1色4 dx83y)6xc,是原方程的解。16.巴 dx6 2y 2x5222xy x y解:业,3、22(y ) 2xy2(2xy3 x2dy3322驾乂个22x，令 y3 u，则原方程化为dxdx分离变量 一214ududx3u26x222xu x3u26x2- 1xx当z2dudx60,得x主，所以 dxz 3或z当z260时，变量分离3z262z 12是( 1)2z 1dzx -，dx方程的解。dzx -dx3y2z2z 13x或 y3(1)2x是方程的解。即（y 的解为（y3x)7(y32x)3 x533x)7(y32x)3c,

7、2 z z又因为15dzdy3x c2x3 3xy xc 2-33x y 2y y丄dx，x3x或y32x包含在通解中当c 0时。故原方程两边积分的（z 3）7（z 2）3x5c,解：原方程化为舟x(2x2 3y21) dy222x2y(3x2 2y21)dx3y2 12y2 1令y22u,； ； xv则色dv2v 3u 13v 2u 1(1)方程组2v3v3u2u0的解为亿1)；令Zv 1,1,则有2z3z3y2y,，从而方程（1）化为dydz3丄z异z则有dydz专，所以t z dz3t2tdtz -dz乙2t2(2)2t20时,，即1,是方程（2）的解。得y2x22或y2x2是原方程的解

8、2t20时,3 2t1，分离变量得盲dt严两边积分的y2x2(y2x22)5c另外2,或 y2x2，包含在其通解中，故 原方程的解为(y225x 2) c18.证明方程-巴y dx(1) .y(1 x2y2)dx xdy(2) .xdy2 x2y2f (xy)经变换xy u可化为变量分离方程，并由此求解下列方程2 2y dx 2 x y证明：因为xy u,关于x求导导得ydx1 du ,duu g、得：-1f(u),(f(u)y dxdx y(f(u) 1) x故此方程为此方程为变程。du理所以X巴包y dxdx dx11)- (uf(u) u)x解(1):当x 0或y 0是原方程的解，当xy

9、Os时，方程化为令xy u,则方程化为虫dx-(2ux3u),变量分离得:du32u ux dy y dx 丄dx x2两边同时积分得：一2Ju 22故原方程的解为原2 2 ox y 2cx：即飞x2cx ,x解令xyu,则原方程化为叫dx2分离变量得24u2 du2y_2y 2cx2,y0也包含在此通解中。0.-(u|x 22 u2 uu)1dx，两边积分得Inx1 4u x22c，这也就是方程的解。x19.已知f(x) f(x)dt 1,x0,试求函数f(x)的一般表达式0解：设 f(x)=y,则原方程化为1f (x)dt -两边求导得yy3 字;；;心dx；两边积分得x C卄；;所以y1

10、、2x c代入2x cxf(x)dtdt2x c; ( 2x c c) 2x c得c0,所以 y20.求具有性质x(t+s)= 型 也的函数x(t),已知x' (0)存在1 x(t)x(s)解：令 t=s=0 x(0)=型 x(0) =2x(0) 若 x(0)0 得 x2=-1 矛盾1x(0)1x(0)x(0)所以 x(0)=0. x'(t)=limx(t t) x(t) lim x( t)(1x2(t)x'(0)(1x2(t)tt1 x(t)x( t)響x'(0)d(t) dx(t)1x'(0)dt 两边积分得 arctgx (t)x(t)=x 

11、9; (0)t+c x(t)=tgx ' (0)t所以 x(t)=tgx'(0)t+c 当 t=0 时 x(0)=0 故 c=0 所以习题2.2求下列方程的解dy = y sinxdx解:dxy=e (sin x edxdx c)=ex - e x( sinx cosx )+c21=c e x-( sinx cosx)是原方程的解。解：原方程可化为：2.3dt2t3dt所以：x=e ( e e dt c)dx+3x=e2tdt1=e 3t ( e5t+c)51=c e 3t+1e2t是原方程的解。5ds _丄1.3.=-s cost + sin 2tdt2costdt13dt解

12、：s=e ( sin 2t e dt c )2=e sint ( sin tcostesintdt c)sin tsin t(sinteesint c )=ce4 -:dy泊sin tsin texxn解：原方程可化为:dy 1 2x5- f + hydydx是原方程的解。n为常数.x -y nfdx y e x (xn(exexxneC)1 =0解：原方程可化为:dy = 1 2xdx2x2x 1dxe xIdxx dx c)是原方程的解.(ln x2 e1 2x 2- dxx dx c)ln x2 1xdx c)= x2(11ce')是原方程的解.6.dx43x x2xy解: dx

13、43x x2 xy3L + Yy2 xuxdydx=udux -dx因此:du x x =dxdudxu2du13u3u3:2u12 udx3x(*)y3 3x4cx3是原方程的r dy2y /37.(x1)dxx 1解空2yi (x1)解-即x= +cy是方程的通解，且y=0也是方程的解。dxx 123P(x),Q(x)(x 1)x 1P(x)dxAdx2ee x 1(x 1)方程的通解为:P(x)dxP(x)dxy=e(eQ(x)dx c)=(x+1)(21322*(x+1)dx+c)(x 1)=(x+1)(2 (x+ 1)dx+c)=(x+1)2(x 1)2)2 c即：2y=c(x+1)

14、2+(x+1)2为方程的通解。8.dy 二亠dx x y33dxx+y1解：-xdy yyi 则 P(y)=丄,Q(y) y2yi.P(y)dy-dyee y y方程的通解为：P(y)dyP(y)dyx=e( e Q(y)dy c)=y(y2dyc)3y_2cy9也ay £J,a为常数x 1xP(x)dx P(x)dx=e (e Q(x)dx c)a,1 X+1 .、(a dx+c) x x，方程的通解为dx解：Rx)P(x)dx ex x,Q(x)xadxe x方程的通解为:=xy=x+In /x/+c当a 1时，方程的通解为y=cx+x ln/x/-1当a 0,1时，方程的通解为

15、a x 1 y=cx+1- a a10-xdx yx3解:屯!y x3dxx13P(x),Q(x) xx1 P(x)dx-dx 1ee xx方程的通解为：y=P(x)dxe ( eP(x)dxQ(x)dxc)方程的通解为:y=xy11理 dxxy解型dx2-17 -两边除以y 3dy必dx令y2dzdxxy2(xyx3)2( xz xP(x) 2x,Q(x)2x3p x2xdxx2e dx ee方程的通解为：p xp xz=e dx(edxQ(x)dx=e22x2x2 z(e (2x3)dxc)=x2x2ce1故方程的通解为：2, 2y (xx2ce 1)1,且yc)0也是方程的解。c 2 I

16、n x 1 12.( y In x 2) ydx xdy x424解：毁 y2空dx xx两边除以 y2dy In x 2 y 1y 2dx x xdy 1 In x 2y 1dx x令y 1 zdz 2 In xzIn xdx x x2 P(x) -,Q(x)x方程的通解为：P ( x ) dxz eP ( x ) dxQ(x)dxc)2dxx (也)dxc)x2c)In方程的通解为:y(fx24In1；)1,且y=0也是解。1322xydy (2 ydy 2y2 xdx 2xyx)dxy丄x 2y这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以-,ydy y21ydx x 2令y2 z2y巴dx d

17、x空改竺dx xx2P(x)= 2Q(x)=-1x由一阶线性方程的求解公式£dx?dxz e * x ( e x dx c)y e14dxdy3x2x-23 -两边同乘以ey鱼dx(ey)2 3xey令eydzdxey屯dxdzdxz23xz2x3zx2z_2 x这是n=2时的伯努利方程。两边同除以z2dTdx丄空z2 dx=仝x2 z dT dx1 dzdxxz3TQ(x)=x12x3 丄2x丄x由一阶线性方程的求解公式edx1 ?dxe x dx e)xz(ey(3/x (2 e)1x21x21x2ex 3exex1x21 2x22eyeeyx3x3e15史dxxydxdyyx这

18、是n=3时的伯努利方程。两边同除以x3 丄主占y3x dy x令x2zdz2x dy3 dxdydz2y33dy2 x2y = 2yz2y由一阶线性方程的求解公式P(y)=-2y Q(y)= 2y32ydy3 2ydyz e(2y edy e)2=e y (322y ey dye)2=y1 ee y22( 2x ( y 1ce）1x e ( y1 ce）2eyy22e (1 xx2y2) ex2x16 y= ex+ y(t)dt0dy x /、e y(x) dxdyxy e dx由一阶线性方程的求解公式P(x)=1Q(x)=ex1dx x 1dxy e ( e e dx c)X / x x=e

19、 ( e e dx c)=ex (x c)ex(x c) exX x0 e (x c)dxc=1y=ex(x c)17设函数(t)于 OO<t<oo上连续，(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)(s)试求此函数。令 t=s=0(0+0)=(0)(0)(0)= (0)2(0) 0 或(0)1(1)(0)(t)(t0)(t) (0)即(t)oooo )(0)1 时(t)limt 0t) (t)=.t =limtt 0(t)( ( t) 1)=limt 0(t) ( t) (t)(0) (t)(0) (t)变量分离得(0)dt 积分ce (0)t由于(0)1，即t=0时 1 仁0ce

20、c=1故(t) e(0)t20. 试证：(1) 一阶非齐线性方程(2 .28 )的任两解之差必为相应的齐线性方程(2.3 )之解;(2) 若y y(x)是(2.3 )的非零解，而y y(x)是(2.28)的解，则方程(2.28 )的通解可表为y cy(x) y(x)，其中c为任意常数.(3) 方程(2.3 )任一解的常数倍或任两解之和(或差)仍是方程(2.3) 的解.证明： 巴 P(x)y Q(x)( 2.28)dx巴 P(x)y(2.3 )dx(1) 设yi，y是(2.28 )的任意两个解贝 U毁 P(x)y! Q(x)( 1)dx学 P(x)y2 Q(x)(2)dx(1) - (2) 得(

21、2)d yi y2dxP(x)(yiy2)即yy1y是满足方程(2.3 )所以，命题成立。由题意得：dy(x) dxP(x)y(3)dy(x) P(x) y(x)dxQ(x)(4)1)先证ycy y是(2.28 )的一个解。于是c34得cdy dxd ydxcP(x)yP(x)y Q(x)d(cydxy)P(x)(cyy) Q(x)故ycyy是(2.28 )的一个解。2)现证方程(4)的任一解都可写成cy y的形式设y是(2.28)的一个解贝 UdyiP(x)yi Q(x)(4')dx于是 (4')-(4)得d(yd y)P(x)(yi y)dxP(x)dx从而y1y cecy

22、即丫丄 y cy所以，命题成立。(3)设y3， y4是(2.3 )的任意两个解则学 P(x)y3dx(5)字 P(x)y4dx(6)于是(5) c 得ycP(x)y3dx即dcy P(x)(cy3) dx其中c为任意常数也就是y cy3满足方程(2.3 )(5)(6)得学字 P(x)y3 P(x)y4dx dx即业也 P(x)(y3 y4)dx也就是y y y满足方程(2.3 )所以命题成立。21. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。(5) 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；(6) 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项; 解：设p(x, y)

23、为曲线上的任一点，则过p点曲线的切线方程为Y y y'(X x)从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(x ,0),(0, y xy')y'即横截距为x1-25 -纵截距为xy'。由题意得:(5) y xyx2方程变形为dy x - dxdydx于是1 y x1dxex (1()dx(x)e x dx c)enx(x)e ln'xdx c)1x ( ( x) x dx c)x(x( x2x1x)dxxc)c)cx所以,方程的通解为y2x cx。(6)y xy'_y21 y 2xx212方程变形为dyx -dxdydx于是 y e dx(1()dx2x

24、dx c)2叫xe2 (Mdx c)i2(2)|x12dxc)1 -x2(尹 2)dxc)1x2(1x2c)-47 -1cx2所以，方程的通解为22.求解下列方程。1cx2。(1) (x21) y' xy 0解：y'xy 11-2x/x2/x2_dx1 (11/211/2x2c)11/x2dx c1八/x2dx31/2cc ,/1 x2/(2)y sin x cosx y.3sin xdy ydx sin xcosx.2sin xcosx1P(x)=1sin xcosxQ(x)=.2sin xcosx由一阶线性方程的求解公式1 x-2dx sin x y e sin xcosx

25、 (ccosx亠dx c)sin x( cosx sin x( cosxsin xdx c)cosxc)=tgxc sin x习题2.31、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。1.(x2 y)dx (x 2y)dy 0解:=1 .则卫y所以此方程是恰当方程。凑微分，xx2 (x y)2dx 2ydy (ydx xdy) 0lx3 xy y32(y3x2)dx (4yx)dy 0解:则卫y所以此方程为恰当方程。3x2dx凑微分,ydx xdy4ydy 0得x3c2xy 2y23r1y)2 xdx解:M 2y(xy2 2y) 2y (x y)( 1)(x y)4(x2xyD2x(x y)2 2

26、x2(x y)(x y)42xy(x y)3(1)(2)则卫x因此此方程是恰当方程。y21(xy)2 x对（1做X的积分，贝U uy12dxdx (y)(x y) xIn x(y)(3)对（3）做y的积分，则上y(1)y2 (x y)2y d (y) (X y)2dy则dyc22xy y(x y)21 x2 2 y (x y)1 x2 y2 2xy 22-y (x y) (x y)(y)( 1)dy In y yy2yyIn x In y y Inx yxd (y)dy1x2 2xy y2y (x y)22 2y xy yIn旦x x y故此方程的通解为In y -xxyCx y4、2(3xy

27、2 2x3 )dx 3(2x2yy2)dy0解：-M 12xy ,yx12xy .MNy x则此方程为恰当方程。凑微分，6xy2dx 4x3dx6x2ydy3y2dy03d(x2y2) d(x4) d(x3)04223得：x 3x yy C1 . x yy5.( sin - 2 cos +1)dx+( yy xx1ycos -xxx2 sin yx1+4)dy=Oy yx y解： M= - sin - -y2cos-+1 N= - cos - - 22 sin - +yyxxM1xxx2ysin-3ycos-yyyN1xxx2-sin-3ycos-xyyyx x yy y1 y y y2 co

28、s + 岭 sinxxxx1 yyy2 cos +£ sinxxxx所以，卫=上，故原方程为恰当方程y xZdy+4 dy=0y y因为-sin - dx-差 cos - dx+dx+- cos - dy-爲 siny y x xx x yd(-cos-)+d(sin-)+dx+d(- )=0yxy所以，d(siny-cos x+x- )=0x yy故所求的解为 sin -cos -+x - - =Cx y y求下列方程的解：2 26. 2x(y ex -1)dx+ ex dy=0解：卫二 2x ex2 , =2x exyx所以，卫=上，故原方程为恰当方程y x故方程的解为ex( x

29、 2-2x+2)+ x 3y2=C8. 2xydx+( x 2+1)dy=0解：2xydx+ x 2 dy+dy=0d( x 2y)+dy=0即 d(x2y+y)=0故方程的解为x2y+y=C229、ydx xdy x y dx解：两边同除以x2 y2得ydX Xddy dx x y即，d arctg dxy故方程的通解为argtg - x cy310、ydx x y dy 0解：方程可化为：ydX 2yxdyydy即， d - ydyy故方程的通解为：X1 y2 c 即：2x y y2 cy2同时，y=0也是方程的解。11、 y 1 xy dx xdy0解：方程可化为：ydxxdy1 xy

30、dxd xy 1 xy dx即:d xydx1 xy故方程的通解为：In 1xy| x c12、y x2 dx xdy 0解：方程可化为：ydX 2Xxdydxy.ddxx13、 x 2y dxxdy 0解：这里Mx 2y, N x ，MNyx故方程的通解为yc x 即：y x c xdx方程有积分因子e y x两边乘以 得：方程x x 2y dx x2dy 0是恰当方程故方程的通解为：x2 2xy dx x2 一 x2 2xy dx dy cy3x 3x y c3即：x3 3x2y c14、xcosx y sin x y dx xcosx y dy 0解：这里 M xcos x y sin

31、x y , N xcos x yMN.因为cos x y xsin x yyx故方程的通解为：xcos x y sin x y dx xcos x y xcos x y sin x y dx dy cy即：xsinx y c15、y cosx xsin x dx ysinx x cosx dy o解：这里My cosx xsin x, NM ysin x xcosx1方程有积分因子:dy e两边乘以得:方程 ey y cosx xsin x dx ey ysin x xcosx dy 0 为恰当方程故通解为：ey ycosx xsin x dxN 一 ey ycosx xsin x dx dy

32、 c y即：ey sinx y 1 ey cosx c316、x 4ydx 2xdy y 3ydx 5xdy 0解：两边同乘以x2y得：,32. 4 .八25. 3 .-4x y dx 2x ydy3x y dx 5x ydy0d x4y2 d x3y50故方程的通解为：x4y2 x3y5 c17、试导出方程 M(X,Y)dx N(X,Y)dy因子的充要条件。解：若方程具有(x y)为积分因子，0具有形为(xy)和(x y)的积分(M)(N)x(xy)是连续可导)yMNMN -yyxxMNMN()yxyx令z x ydz ddxdz x dz，ydzdK1 d/ NM、MN -()，dzdzx

33、yd/ NM(MN)()，dzxyNMdx y5dz(x y)dzM N方程有积分因子（x y）的充要条件是： L是x y的函数,MN此时，积分因子为(x y)1e:z)dz.(2)令 zx ydzddzdy5x -x dzxdzydzydzddNMMxNy-(-)dzdzxyd/ NM、(Mx Ny)-()dzxyN Md x yMx NyN Mx ydz此时的积分因子为（xy） e Mx Ny18. 设f（x,y）及连续，试证方程dy f （x, y）dx 0为线性方程的充要条件是它 y有仅依赖于x的积分因子.证:必要性 若该方程为线性方程,则有鱼 P（x）y Q（x）,dx此方程有积分因

34、子（x）P(x)dxe,(x)只与x有关.充分性若该方程有只与x有关的积分因子（x）.则(x)dy(x) f(x, y)dx0为恰当方程J从而（(x)f(x,y) d(x)f(x)y'dxy(x)'f()dy Q(x)(x)()y Q(x)(x)P(x)y Q(x)其中P(x) 凶.于是方程可化为dy (P(x)y Q(x)dx 0 (x)即方程为一阶线性方程试证方程20.设函数f(u) , g(u)连续、可微且f(u) yf(xy)dx+xg(xy)dy=O有积分因子 u=(xyf(xy)-g(xy)1证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=O两边同乘以u得：uyf(x

35、y)dx+uxg(xy)dy=O则四y=uf+uy 一 +yf 上=y :y -y -yf:+y xy(f g) xy(f g)x(fg)fgxy xyyy22 2x y (f g)g)2而-=ug+ux gx+xg_y =gx x xy(fx卫+ x - xg g) xy(f g)y(f g) xy xyx x22/丄72x y (f g)f gff gxyfxyyfgyf -gyy =xyyxyyxy(fg)2x(fg)2gxy(f,g xyf xy £ gfxfxgf g xy xxy x = xyxyxy(f g)2(f g)2故少£ =，所以口是方程得一个积分因子

36、y x21 假设方程(2.43 )中得函数M(x,y ) N(x,y)满足关系=y xNf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y) 分别为x和y得连续函数，试证方程(2.43 ) 有积分因子 u=exp( f (x)dx+ g(y)dy )证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=O即证迪 JuN)口卫+汕=u+Nyxy y x xu(MN)=N-Mu/u(-MN、M)=Nef (x)dx g( y)dyf(x)yxxyyxf (x) dxg(y)dyz MNf(x)dxg(y)dy ,，、-Meg(y)u( M -)=e(Nf(x)-Mg(y)yx由已知条件上式恒成立，故原命题得证。22、

37、求出伯努利方程的积分因子.解：已知伯努利方程为：dy Pxy Q x yn, y o;dx两边同乘以y n，令z y n，-J 一 1 n P x z 1 n Q x ,线性方程有积分因子：dx故原方程的积分因子为：证毕！N x, y dy 0的积分因子，从而求得可微函数1 n P x dxn 1 P x dxee，1 n P x dxn 1 P x dxee，23、设 x, y是方程M x, y dxU x,y，使得dU Mdx Ndy .试证 x, y也是方程M x, y dx N x, y dy 0的积分因子的充要条件是x,yU ,其中t是t的可微函数。Mu MMuM u证明：若u，则y

38、yyyMuM u NyNuNNuN u M又xxxMMuNu Myy即为M x, y dx N x, y dy 0的一个积分因子。24、设1 x, y , 2 x,y是方程M x, y dx N x, y dy 0的两个积分因子，且仁2常数，求证 / 2 C （任意常数）是方程M x,y dx N x, y dy 0的通 解。证明：因为1, 2是方程M x,y dx N x, y dy 0的积分因子所以iMdxi Ndy oi 1,2为恰当方程即N，M LiMN，i 1,2xyy x下面只需证二的全微分沿方程恒为零2c时,c是方程的解。证毕!事实上：2 -1 dxx1ydy21xdxdy y2

39、21 dxxM2N ydx12 dxxMN2dxy22N1 M -x1N 2xM -2y21yMNMN01 2yx12yx21dx N?dxN 22d2习题2.4求解下列方程1、xy 31t3t2，从而ypdx!d t3 tt23t2 dt3t222t于是求得方程参数形式得通解为t33 2 t2 2t2t22、y3 x3从而p tx，则txx3tx 0，即t3 1tt2pdx c1121dt2t31 2t2t4 t 右 dt2t51t252t2于是求得方程参数形式得通解为2t1t23、y y 2ey解：令 3 y p，则 y p2ep, dx从而 x1d p2ep cP12 pep p2ep dp c p= 2ep pep dp c1 p ep c,x 1 p ep c2 py y ep于是求得方程参数形式的通解为 另外，y=0也是方程