考前归纳总结导数中的有关方程根的问题

1、导数中的有关方程根的问题一、常见基本题型： (1) 判断根的个数问题，常常转化为函数图象的交点个数问题，通过构造函数来求解， 例1.已知函数 求方程的根的个数. 解： 令 当时， 当时， 因此，在时，单调递减， 在时，单调递增. 又为偶函数，当时，极小值为 当时， 当时， 当时， 当时， 故的根的情况为： 当时，即时，原方程有2个根； 当时，即时，原方程有3个根； 当时，即时，原方程有4个根 （2）已知方程在给定的区间上解的情况，去求参数的取值范围，另外有关方程零点的 个数问题其实质也是方程根的问题。 例1.已知是不同时为零的常数），其导函数为， （1）求证：函数在内至少存在一个零点； （2）

2、若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于 的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值 范围. 解：（1）证明：因为 当时，符合题意； 当时，令，则 令， 当时， 在内有零点； 当时，在内有零点. 当时，在内至少有一个零点. 综上可知，函数在内至少有一个零点 （2） 因为为奇函数， 所以，所以，. 又在处的切线垂直于直线， 所以，即. 在上是单调递增函数， 在上是单调递减函数，由解得， 由解之得 作与的图知交点横坐标为 当时，过图象上任意一点向左作平行于 轴的直线与都只有唯一交点，当取其它任何值时都有两个或没有交点。 所以当时，方程在上有 且只有一个实数根. 二、针对性练习 1。设函数 当，

3、方程有唯一实数解， 求正数的值 解: 因为方程有唯一实数解， 所以有唯一实数解， 设，则令， 因为，所以（舍去），当时，在（0，）上单调递减，当时，在（，+）单调递增当时，=0，取最小值 则既 所以，因为，所以（*）设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解 因为，所以方程（*）的解为， 即，解得 2.设函数，且为的极值点 () 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）； ()若恰有两解，求实数的取值范围 解： ，又 所以且， （i）因为为的极大值点，所以 当时，；当时，；当时， 所以的递增区间为，；递减区间为 （ii）若，则在上递减，在上递增 恰有两解，则，即，所以； 若，则， 因为，则的极大

4、值为， 的极小值为， 从而只有一解； 若，则的极小值为 的极大值为， 则只有一解. 综上，使恰有两解 的的范围为 3.已知函数, 函数,若方程在 上恰有两解, 求实数的取值范围. 解： 令得 ，则此方程在上恰有两解。 记 得 在上，单调递减； 在上，单调递增； 又， . 导数中的求参数取值范围问题1、 常见基本题型： （1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数增区间，则在此区间上 导函数，如已知函数减区间，则在此区间上导函数。 （2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。例1.已知r，函数.（r，e为自然对数的底数） （1）若函数内单调递减，求a的取值范围；

5、（2）函数是否为r上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明 理由. 解： （1） =. 上单调递减， 则 对 都成立， 对都成立. 令，则 , . （2）若函数在r上单调递减，则 对r 都成立 即 对r都成立. 对r都成立 令， 图象开口向上 不可能对r都成立 若函数在r上单调递减，则 对r 都成立， 即 对r都成立， 对r都成立.故函数不可能在r上单调递增.综上可知，函数不可能是r上的单调函数 例2：已知函数,若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，对于任意，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围； 解： 令得， 故两个根一正一负，即有且只有一个正根 函数在区间上总不是单调函数 在

6、上有且只有实数根 故， 而单调减， ，综合得 例3.已知函数（）求函数的单调区间；（）设，若对任意，不等式 恒成立，求实数的取值范围 解：（i）的定义域是 由及 得；由及得， 故函数的单调递增区间是；单调递减区间是 （ii）若对任意，不等式恒成立， 问题等价于， 由（i）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以； 当时，；当时，；当时，； 问题等价于 或 或 解得 或 或 即，所以实数的取值范围是。 例4设函数, (1)当a0时，f(x)h(x)在(1，)上恒成立，求实数m的取值范围； (2)当m2时，若函数k(x)f(x)h(x)在1,3上恰有两个不同零点，

7、求实数a的 取值范围解：(1)由a0，f(x)h(x)， 可得mlnxx，x(1，)，即m.记(x)，则f(x)h(x)在(1，)上恒成立等价于m(x)min.求得(x)当x(1，e)，(x)0；当x(e，)时，(x)0.故(x)在xe处取得极小值，也是最小值，即(x)min(e)e，故me.(2) 函数k(x)f(x)h(x)在1,3上恰有两个不同的零点等价于方程x2lnxa， 在1,3上恰有两个相异实根 令g(x)x2ln，则g(x)1.当x1,2)时，g(x)0；当x(2,3时，g(x)0.g(x)在(1,2)上是单调递减函数，在(2,3上是单调递增函数故g(x)ming(2)22ln2

8、.又g(1)1，g(3)32ln3，g(1)g(3)，只需g(2)ag(3)故a的取值范围是(2ln2,32ln3. 二、针对性练习 1.已知函数若函数在1，4上是减函数，求实数a的取值范围。 解：由，得 又函数为1，4上的单调减函数。则在1，4上恒成立， 所以不等式在1，4上恒成立即在1，4上恒成立。 设，显然在1，4上为减函数， 所以的最小值为 的取值范围是 2.已知函数 （1）若存在，使成立，求的取值范围； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 解:（1）即 令 时，时， 在上减，在上增. 又时，的最大值在区间端点处取到. ， 在上最大值为 故的取值范围是， （3）由已知得时，恒成立，设由

9、（2）知当且仅当时等号成立，故，从而当即时，为增函数，又于是当时，即，时符合题意. 由可得从而当时，故当时，为减函数，又于是当时，即 故不符合题意.综上可得的取值范围为 3.已知函数，设在（0，2）上有极值，求a的取值范围. 解：由可得， 常见基本不等式的解法一、简单的一元高次不等式的解法：标根法： 其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意 奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。 如（1）解不等式。（答：）； （2）不等式的解集是_（答：）； （3）

10、设函数的定义域都是，且的解集为， 的解集为，则不等式的解集为_ （答：； （4）要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足 不等式和中的一个，则实数的取值范围是_. （答：） 二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子 分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式 不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（1）解不等式（答：）； （2）关于的不等式的解集为，则关于的不等式的 解集为_（答：）.三、绝对值不等式的解法： （1）零点分段讨论法（最后结果应取各段的并集）： 如解不等式（答：）； （2）

11、利用绝对值的定义；（3）数形结合； 如解不等式（答：） （4）两边平方：如若不等式对恒成立，则实数的取值范围 为_。（答：） 四、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是 关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。 注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应 求并集. 如（1）若，则的取值范围是_（答：或）； （2）解不等式 （答：时，；时，； 时， 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示； （2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点 值。 如：关于的不等式的解集

12、为，则不等式的解集为 _（答：（1,2）五、不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 如（1）设实数满足，当时，的取值范围是_ （答：）；（2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_。 （答：）；（3）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_。 （答：）； （4）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围 是_（答：）； （5）若不等式对的所有实数都成立，求

13、的取值 范围.（答：）2). 能成立问题 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上； 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的. 如：已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范 围_（答：）3). 恰成立问题 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为； 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为. 平面向量易错题剖析在平面向量的复习中，首先要掌握其基本概念与运算如果不能正确理解向量的基础知识，或在某些概念及公式的理解上存在模糊认识，就会造成一些表面看起来正确而实际上错误的判断，使解题思路走入误区，现例举如下：1.已知，与的夹角为45°，当向量与

14、的夹角为锐角 时，求实数a的范围 错解：由已知，与的夹角为锐角， ， 即, 解得或 实数的范围是 分析：解题时忽视了与的夹角为的情况，也就是既 包括了与的夹角为锐角，也包括了与的夹角为，而 与的夹角为不合题意 正解：由已知，又与的夹角为锐角 ，且， 由， 即, 解得或 由得，即， 综上所述实数的范围是。 2已知为所在平面内一点且满足，则与的 面积之比为 ( ) a1 b. d2 错解： 在边上，且, 又aob与aoc高相等，与的 面积之比为2，选d分析： 缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有o为abc的 重心的情况下，才有，而本题无此已知条件 正解： 在ab上取一点d，使，

15、分的比，得 ，又由已知，o为cd的 中点，不妨设，则(两者等底同高)， ，aob的面积与aoc的面积之比为3：2，选b3. 在边长为1的正三角形中，求的值 错解： 分析：两向量夹角的定义的前提是其起点要重合向量与，与，与 的夹角通过平移后发现都不是60°，而是x0°这是由于对两向量夹角的定 义理解不透造成的 正解： 注意：向量与的夹角为锐角的充要条件是且与不共线这里，与不 共线不能忽略 4. 向量、都是非零向量，且向量与垂直，与垂直，求 与的夹角错解：由题意，得， ， 将、展开并相减，得， ，故， 将代入，得， 则， 设与夹角为，则 ，分析：上面解法表面上是正确的，但却存在

16、着一个理解上的错误，即由得到，错把 数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上由于向量的数量积不满足消去 律，所以即使，也不能随便约去正解：设向量、的夹角为，由上面解法有，代入式、式均可得 ，则， 又，5. 已知三点的坐标分别为，试判断的形状。 错解：， ， 为钝角三角形 分析：把点的坐标误认为向量的坐标，得出错误的结论事实上，由点的坐标可以 确定有关向量的坐标，再通过计算向量的数量积，精确判断出三角形的形状 正解：， ， 故为直角三角形 数列中的易错题剖析 1、忽视对项数n的讨论：例1、已知数列的首项，通项与前n项和之间满足， 求数列的通项公式。 【错解】 ，即， 是以为首项，为公差的等差数列

17、， ，即， 。 【剖析】上述解法忽视了对项数的讨论致错。 【正解】 当时， ， ，即， 是以为首项，为公差的等差数列， ，即， 所以当时，。 又当时，不满足上式， 。2、忽视等比数列的前n项和公式的使用条件： 例2、求和：(a1)(a22)(a33)(ann) . 【错解】s=(a(a2a3an) (123n)=. 【分析】利用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值不能为1. 【正解】s=(a(a2a3an) (123n) 当a=1时，s =；当时，s=3、 忽视公比的符号 例3、已知一个等比数列前四项之积为，第二、三项的和为，求这个等比 数列的公比 【错解】四个数成等比数列，可设其分别为则有，解得 或，故原数列的公比为或 【分析】按上述设法，等比数列的公比是，是正数，四项中各项一定同号，而原 题中无此条件，所以增加了限制条件。 【正解】设四个数分别为则， 由时，可得 当时，可得 例4、等比数列中，若