最新中级经济师经济基础背诵包过版

1、第2章系统的数学模型 (习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程, 图中xi表示输入位移, xo表示输出位移, 假设输出端无负载效应。题图2.3解：图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得c

2、1xi-xo-c2xo=mxo整理得md2xodt2+c1+c2dxodt=c1dxidt将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得ms2+c1+c2sxo(s)=c1sxi(s)于是传递函数为xo(s)xi(s)=c1ms+c1+c2图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点a，并设a点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。引出点处取为辅助点b。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从a和b两点可以分别列出如下原始方程：k1xi-x=cx-xok2xo=cx-xo消去中间变量x，可得系统微分方程c(k1+k2)dxodt+k1k2xo=k1cdxidt对上式取拉氏变换，并记

3、其初始条件为零，得系统传递函数为xo(s)xi(s)=ck1sc(k1+k2)s+k1k2图(c)：以xo的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：k1xi-x+cxi-xo=k2xo移项整理得系统微分方程cdxodt+(k1+k2)xo=cdxidt+k1xi对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即xi(0)=xo(0)=0则系统传递函数为xo(s)xi(s)=cs+k1cs+(k1+k2)2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压和位移为输入量；电压和位移为输出量；和为弹簧弹性系数；为阻尼系数。题图2.4【解】：方法一

4、：设回路电流为，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：消去中间变量，整理得：方法二：由于无质量，各受力点任何时刻均满足，则有：设阻尼器输入位移为，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程结论：、互为相似系统，、互为相似系统。四个系统均为一阶系统。2.5试求下图（题图2.5）所示各电路的传递函数。题图2.5【解】：可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。(a) (b) (c) (d)2.6求图( 题图2.6) 所示两系统的微分方程。题图2.6解（1）对图（a）所示系统，由牛顿定律有f(t)-ky(t)=my(t)即my(t)+ky(t)=f(t)（2）对图（b）所示系统，由牛顿定律有f(t)-

5、k'y(t)=my(t)其中k'=k1k2k1+k2 my(t)+k1k2k1+k2y(t)=f(t)2.7 求图( 题图2.7) 所示机械系统的微分方程。图中m为输入转矩，cm为圆周阻尼，j 为转动惯量。圆周半径为r，设系统输入为m（即m(t)），输出为（即(t)），题图2.7解：分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：m=j +cm+rk(r-x)kr-x=mx+cx消除中间变量x，即可得到系统动力学方程mj(4)+(mcm+cj)+(r2km+cmc+kj)+k(cr2+cm)=mm+cm+km2.8 求图( 题图2.8) 所示系统的传递函数（f(t)为输入，

6、y2(t)为输出）。解分别对m1，m2进行受力分析，列写其动力学方程有f-c2y2-c1y2-y1=m2y2c1y2-y1-ky1=m1y1对上两式分别进行拉氏变换有fs-c2sy2s-c1sy2s-y1s=m2s2y2sc1sy2s-y1s-ky1s=m1s2y1s消除y1s得gs=y2sfs=m1s2+c1s+km1m2s4+m2c1+m1c1+c2s3+(m2k+c1c2)s2+k(c1+c2)s2.9 若系统传递函数方框图如图(题图2.9) 所示, 求：(1) 以r(s)为输入，当n(s) = 0 时，分别以c(s)，y(s)， b(s)，e(s) 为输出的闭环传递函数。(2) 以n(

7、s)为输入，当r(s) = 0 时，分别以c(s)，y(s)，b(s)，e(s) 为输出的闭环传递函数。(3) 比较以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论。题图2.8 题图2.9解（1）以r(s)为输入，当n(s)=0时：若以c(s)为输出，有gc(s)=c(s)r(s)=g1(s)g2(s)1+g1sg2sh(s)若以y(s)为输出，有gy(s)=y(s)r(s)=g1(s)1+g1sg2sh(s)若以b(s)为输出，有gb(s)=b(s)r(s)=g1(s)g2(s)h(s)1+g1sg2sh(s)若以e(s)为输出，有ge(s)=e(s)r(s)=11+g1sg2sh(s)（2）以n

8、(s)为输入，当r(s)=0时：若以c(s)为输出，有gc(s)=c(s)n(s)=g2(s)1+g1sg2sh(s)若以y(s)为输出，有gy(s)=y(s)n(s)=-g1sg2sh(s)1+g1sg2sh(s)若以b(s)为输出，有gb(s)=b(s)n(s)=g2(s)h(s)1+g1sg2sh(s)若以e(s)为输出，有ge(s)=e(s)n(s)=-g2(s)h(s)1+g1sg2sh(s)（3）从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数分母保持不变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，

9、而与外界无关。2.10 求出图( 题图2 .10) 所示系统的传递函数。题图2.10解方法一：利用公式（2.3.1），可得gb(s)=xo(s)xi(s)=g1g2g3g41-g1g2g3g4h3+g1g2g3h2-g2g3h1+g3g4h4方法二：利用方框图简化规则，有图（题2.16.b）gb(s)=xo(s)xi(s)=g1g2g3g41-g1g2g3g4h3+g1g2g3h2-g2g3h1+g3g4h42.11 求出图( 题图2 .11) 所示系统的传递函数。解根据方框图简化的规则，有图（题2.17.b）gb(s)=xo(s)xi(s)=g1g2g3+g41+(g1g2g3+g4)h3-

10、g1g2g3h1h2题图2.112.12 图(题图2 .12) 所示为一个单轮汽车支撑系统的简化模型。代表汽车质量，b代表振动阻尼器，为弹簧，为轮子的质量，为轮胎的弹性，试建立系统的数学模型。题图2.12问题2 质点振动系统。这是一个单轮汽车支撑系统的简化模型。m1代表汽车质量，b代表振动阻尼器，k1为弹簧，m2为轮子的质量，k2为轮胎的弹性，建立质点平移系统数学模型。解答：m1d2x1dt2=-bdx1dt-dx2dt-k1(x1-x2)m2dx2dt2=ft-bdx2dt-dx1dt-k1x2-x1-k2x2拉氏变换：m1s2x1s=-bsx1s-x2s-k1x1s-x2sm2s2x2s=

11、fs-bsx2s-x1s-k1x2s-x1s-k2x2(s)(m1s2+bs+k1) x1s-bs+k1x2s=0-bs+k1x1s+m2s2+bs+k1+k2x2s=f(s)x1sf(s)=bs+k1m1m2s4+bm1+m2s3+k1m1+k1m2+k2m1s2+k2bs+k1k2x2sf(s)=m1s2+bs+k1m1m2s4+bm1+m2s3+k1m1+k1m2+k2m1s2+k2bs+k1k22.13 液压阻尼器原理如图(题图2.13)所示。其中，弹簧与活塞刚性联接，忽略运动件的惯性力，且设为输入位移，为输出位移，k弹簧刚度，c为粘性阻尼系数，求输出与输入之间的传递函数。题图2.13

12、解：1）求系统的传递函数 活塞的力平衡方程式为经拉氏变换后有解得传递函数为式中，为时间常数。2.14 由运算放大器组成的控制系统模拟电路图如图(题图2.14)所示，试求闭环传递函数题图2.14解：u1su0s+uis=-z1r01u2su1s=-z2r02u0su2s=-r2r03式（1）（2）（3）左右两边分别相乘得u0su0s+uis=-z1r0z2r0r2r0即u0s+uisu0s=-r03z1z2r2 1+uisu0s=-r03z1z2r2所以：uisu0s=-r03z1z2r2-1u0suis=-1r03z1z2r2+1=-z1z2r2r03+z1z2r2=-r1t1s+11c2sr

13、2r03+r1t1s+11c2sr2=-r1r2(t1s+1)c2sr03+r1r22.15 某位置随动系统原理方块图如图(题图2.15)所示。已知电位器最大工作角度，功率放大级放大系数为，要求：(1) 分别求出电位器传递系数、第一级和第二级放大器的比例系数和；(2) 画出系统结构图；(3) 简化结构图，求系统传递函数；题图2.15 位置随动系统原理图解：（1）k0=15v1650k1=3010=3 k2=2010=2（2）es=is-0suss=k0esuas=k1k2ksussuas=raias+lasias+ebsmms=cmiasjs20s+fs0s=mm(s)-mc(s)ebs=kb

14、0s系统结构图如下：（3）系统传递函数0s/is0sis=k0k1k2kscms(las+ra)(js+f)1+cmkbs(las+ra)(js+f)1+k0k1k2kscms(las+ra)(js+f)1+cmkbs(las+ra)(js+f)=k0k1k2kscmslas+rajs+f+cmkb1+k0k1k2kscms(las+ra)(js+f)+cmkb=k0k1k2kscmslas+rajs+f+cmkb+k0k1k2kscm2.16 设直流电动机双闭环调速系统的原理图如图(题图2.16)所示，要求：(1)分别求速度调节器和电流调节器的传递函数；(2)画出系统结构图（设可控电路传递函数为；电流互感器和测速发电机的传递函数分别为和）；(3)简化系统结构图，求系统传递函数。题图2.16 直流电动机调速系统原理图解：（1）速调ust(s)uis-ufs=z1r=r1+1c1sr=r1c1s+1rc1s=t1