高中数学一轮复习第2讲合情推理与演绎推理

1、第2讲 合情推理与演绎推理随堂演练巩固1.下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,则这个数列的一个通项公式为( ) a.b. c.d. 【答案】 a 【解析】 . 归纳推理:. 2.“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故此奇数是3的倍数”,上述推理是( ) a.小前提错b.结论错 c.正确的d.大前提错 【答案】 c 【解析】 这是演绎推理的一般模式“三段论”.前提和推理形式都正确,因此结论也正确. 3.有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b平面直线平面则直线b直线a”,结论显然是错误的,这是因为 ( ) a.大前提错误

2、 b.小前提错误 c.推理形式错误 d.非以上错误 【答案】 a 【解析】 由演绎推理的三段论可知答案应为a. 4.观察下列各式:2 401,则的末两位数字为( ) a.01b.43c.07d.49 【答案】 b 【解析】 (方法一)由题意得由于 401末位为1,倒数第二位为0,因此2 的末两位定为01.又343,的末两位定为43. (方法二)用归纳法:16 117 543,由上知末两位有周期性且t=4. 又的末两位与的末两位一样,为43. 5.在等差数列中,若则有等式且n成立.类比上述性质,相应地,在等比数列中,若则有等式 成立. 【答案】 【解析】 对于等差数列,若有根据等差中项的知识,有

3、0,所以必有n. 此时有即k=10. . 类似地:对于等比数列,若由等比中项的知识,有=. . k=9. . 课后作业夯基基础巩固1.下列表述正确的是( ) 归纳推理是由部分到整体的推理; 归纳推理是由一般到一般的推理; 演绎推理是由一般到特殊的推理; 类比推理是由特殊到一般的推理; 类比推理是由特殊到特殊的推理. a.b.c.d. 【答案】 d 【解析】 归纳推理是由部分到整体的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理. 2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: “mn=nm”类比得到“ab=ba”; “(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b) c

4、=ac+bc”; “”类比得到“（ab）c=a（bc）”; “”类比得到“p0, a p=xpa=x”; “|=|m|n|”类比得到“| ab |=|a|b|”; “”类比得到“”. 以上式子中,类比得到的结论正确的个数是( ) a.1b.2 c.3d.4 【答案】 b 【解析】 正确;错误. 3.已知abc中,求证:a<b. 证明: a<b. 框内部分是演绎推理的( ) a.大前提 b.小前提 c.结论 d.三段论 【答案】 b 4.根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有个点.( ) a.b.c.n+1d. 【答案】 d 【解析】 第(2)个图形,中间有1个

5、点,另外的点指向两个方向,每个方向一个点,共有个点; 第(3)个图形,中间有1个点,另外的点指向三个方向,每个方向两个点,共有个点; 第(4)个图形,中间有1个点,另外的点指向四个方向,每个方向三个点,共有个点; 第(5)个图形,中间有1个点,另外的点指向五个方向,每个方向四个点,共有个点; 由上面的变化规律,可猜测,第n个图形中心有1个点,另外的点指向n个方向,每个方向n-1个点,共有n(n-1)个点. 5.下列推理是归纳推理的是( ) a.a,b为定点,动点p满足|pa|+|pb|=2a>|ab|,则p点的轨迹为椭圆 b.由求出猜想出数列的前n项和的表达式 c.由圆的面积猜想出椭圆的

6、面积s=ab d.以上均不正确 【答案】 b 【解析】 从猜想出数列的前n项和是从特殊到一般的推理,所以b是归纳推理. 6.如图,椭圆中心在坐标原点,f为左焦点,当时,其离心率为此类椭圆被称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于( ) a.b. c.d. 【答案】 a 【解析】 b(0,b),f(-c,0),a(a,0).在“黄金双曲线”中, . .而 .在等号两边同除以得. 7.观察下列等式:,根据上述规律,第四个等式为 . 【答案】 或 【解析】 , 所以. 8.在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,

7、其中第1堆只有一层,就一个球;第2、3、4、堆最底层(第一层)分别按如下图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球总数,则f(3)= ;f(n)= (答案用n表示). 【答案】 10 【解析】 f(1)=1,由题图可得 f(2)=3+1=4 f(3)=6+3+1=10. f(4)=10+6+3+1=20. 可知,下一堆的球的个数是上一堆球的个数加上其第一层的球的个数,而第一层的球的个数满足1,3,6,10,其通项公式是. f(5)=f(4)+15, f(n)=f. . . 9.观察下列等式: 1=1 2+3+4=9

8、 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第五个等式应为 . 【答案】 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 【解析】 观察等式左侧:第一行有1个数是1,第二行是3个连续自然数的和,第一个数是2,第三行是5个连续自然数的和,第一个数是3,第四行是7个连续自然数的和,第一个数是4,第5行应该是连续9个自然数的和,第一个数为5,第5行左侧:5+6+7+8+9+10+11+12+13;等式右侧:第一行1=1第二行9=3第三行25=5第四行49=7则第5行应为81=9 第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=81. 10.设等差数列的前n项和

9、为则成等差数列.类比以上结论有:设等比数列的前n项积为则 , 成等比数列. 【答案】 【解析】 对于等比数列,通过类比,可得成等比数列. 11.已知等式:sin+; ; ;. 由此可归纳出对任意角度都成立的一个等式,并予以证明. 【证明】 归纳已知可得: )+sincos. 证明如下: sincos)+sincos) =sincossinsincossin =sincossincossin =sin. 等式成立. 12.已知椭圆具有性质:若m、n是椭圆c上关于原点对称的两个点,点p是椭圆上任意一点,当直线pm、pn的斜率都存在,并记为、时,那么与之积是与点p的位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明. 【解】 类似的性质为:若m、n是双曲线上关于原点对称的两个点,点p是双曲线上任意一点,当直线pm、pn的斜率都存在,并记为、时,那么与之积是与点p的位置无关的定值. 证明:设点m、p的坐标分别为(m,n)、(x,y), 则n(-m,-n). 因为点m(m,n)在已知双曲线上, 所以.同理. 则定值). 13.已知等差数列的公差d=2,首项. (1)求数列的前n项和; (2)设求;并归纳出与的大小规律. 【解】 . 2n+3)-5, . . . 由此可知当时. 归纳猜想:当n时. 拓展延伸14.设n计算f(1),