湖北省英山县长冲高中高二数学学案基本不等式说课稿

1、一、教学预设1教学标准（1）借助弦图和几何画板演示，让学生回顾基本不等式的概念形成过程，体验基本不等式模型的观察、分析、猜想和概括等系列思维活动过程，复习基本不等式的代数结构特征，体会数学抽象思维的方法；（2）通过基本不等式的证明方法的探索和不同角度的欣赏，学生能用文字语言、符号语言和图形语言表述基本不等式的结构特点，归纳得出基本不等式中等号成立的条件及其使用条件，进一步体会数形结合的思想方法；（3）学生会用基本不等式解决常见的最值和实际问题，进一步体验数学建模的过程。 2标准解析（1）内容解析：本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，教材通过赵爽弦图回顾

2、基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体.（2）学情诊断：在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进

3、行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识. 如何让学生理解“基本”二字，是本节学习的前提. 事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用. 因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质.另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用.

4、基于上述内容解析和学情诊断，基本不等式的教学重点和难点可以确定为：教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度回顾和探索基本不等式的证明过程；用基本不等式解决一些简单的最值问题.教学难点：回顾在几何背景下抽象出基本不等式的过程；基本不等式中等号成立的条件；应用基本不等式解决实际问题.（3）教学对策：本节作为基本不等式的复习课，一是借助弦图和几何画板演示，让学生回顾基本不等式的概念形成过程，体验基本不等式模型的观察、分析、猜想和概括等系列思维活动过程，复习基本不等式的代数结构特征，体会数学抽象思维的方法；二是通过基本不等式的证明方法的探索和不同角度的欣赏，学生能用文字语言、符号语言和图

5、形语言表述基本不等式的结构特点，归纳得出基本不等式中等号成立的条件及其使用条件，进一步体会数形结合的思想方法；三是要引导学生用基本不等式解决常见的最值和实际问题，进一步体验数学建模的过程； 由“弦图”引出基本不等式用代数法证明基本不等式从几何和代数角度探究基本不等式的变形形式用基本不等式解释生活中的实际问题课本变式中利用基本不等式求最值归纳总结，构建知识网络图（4）教学流程： 二、教学实录（一）温故知新，回顾基本不等式。情景引入：【投影显示】赵爽弦图。问题1、请同学们重温“赵爽弦图”，比较正方形abcd的面积s和里面的四个小三角形面积之和s的大小，看可以得到怎样的不等关系？（通过对“赵爽弦图”

6、的观察，使学生由形识数，从几何图形中得到重要不等式的代数形式：当且仅当，a=b时，取得等号。）问题3、那么在使用基本不等式时，对实数a、b有什么要求呢？（）下面请大家打开课本第98页，看探究中的图3.4-3。 问题5、让d点动起来，请大家指出等号成立的条件。链接1：几何画板赵爽弦图 (以数构形，让学生在实际图形中感受基本不等式的几何解释。)（二）代数应用，利用基本不等式证明。链接2：几何画板单位圆中解读基本不等式及其变形形式的几何意义问题6、过c做ce垂直与od与e，过o做of垂直于ab交圆o于f，连接fc,请大家计算de和fc的长度. 刚刚我们计算出的，在数学中称之为调和平均数和平方平均数。

7、问题7、请大家比较它们的大小关系，用不等号将，连接起来。 由,.问题8、在这个链状不等式中，有三处等号，这三个等号能否同时成立呢？(设计意图：对图形进行进一步分析，引导学生发现调和平均数和平方平均数。让学生体会到我们不仅能以数构形，寻找到数量关系的几何解释，更重要的是，对图形的观察分析可以以形识数，发现和完备我们的代数结论。)问题9、当然，仅仅通过观察得到图形中的感性认识是不够的，下面让我们一起完成上面这个不等式链的代数证明。问题10、首先请一个同学说说你的具体证明要分几个步骤？（设计意图：在刚才的探究过程中，我们对基本不等式的认识得到了拓展，并且对它的理解在从由形到数，由数到形的过程中，从感

8、性认识上升到理性认识。）（三）课本变式，利用均值不等式求最值将课本打开到第99页的题目做一些修改，大家重新思考。 对于例2，我们改为：变式1、某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为，水池所有墙的厚度忽略不计。（1） 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使得总造价最低，并（四）实际应用，体会基本不等式的实际意义。【投影显示】 安德森概念本 华为s7问题11、请

9、同学们看大屏幕，这是富士通刚推出的“安德森”正方形概念本和华为的平板电脑“s7”；它们屏幕都是6.5寸，这是否意味着它们的屏幕面积都是一样大呢？问题12、那大家认为谁的屏幕更大一些，请谈谈理由。问题13、最后我们回到笔记本的屏幕上，大家知道，同样是17寸的笔记本，5年前的屏幕和现在的屏幕有什么变化吗？问题14、那改变长宽比的原因是什么呢？问题15、从材料上来看，大家认为16:9比4:3更为节省材料是吧？大家对角线一定的情况下，长宽比对面积有什么影响呢？（设计意图：唤起学生的感性认识：差异越大，面积越小，带着这个问题，重温“赵爽弦图”根据图像的动态变化感受长宽比对面积的影响。通过将学生在实际生活

10、中对不等式的感性认识提炼为理性认识的过程，感受不等式和生活的紧密联系和指导意义。）链接3：几何画板赵爽弦图（五）归纳总结，形成知识网络图.（六）方法提炼，数学思想升华。三、教学反思形数结合是我们认识数学的重要思想。.本课的设计思路是：“从赵爽弦图引出基本不等式利用代数知识证明基本不等式从几何和代数两个角度发掘基本不等式的变形形式数学建模，利用基本不等式求最值实际应用，利用基本不等式指导生活实践”。从几何图形中提炼和挖掘数学知识，完成从感性认识逐步上升为以抽象概括为主的理性认识，然后指导生活实践. 在整个设计过程中，始终体现以学生为中心的教学理念，在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，为增强学生学习兴趣，在设计之初精心安排“赵爽弦图”的背景，同时在后续探究中，不断的让学生从单位圆中发现基本不等式的变形形式，到后面让学生用代数知识证明不等式链，让学学生探究问题的过程中既复习了数学知识，又培养了他们形数结合的数学思想；在思维拓展中，利用课本变式，引导学生用基本不等式求最值，训练了学生的建模思想，体会了不等式的应用；最后围绕电脑屏幕问题，让学生学以致用，真正感受到数学无穷的魅力所在；以上种种正好体现出新课程的新理念.成功之处：在本节