探究四点共圆的条件

1、济源市实验中学探究四点共圆的条件活动目标知识技能1、 了解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。2、 掌握对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法。数学思考1、 通过观察、比较、分析不同的四边形四个顶点能否共圆，发展学生合情推理能力和演绎推理能力。2、 通过观察图形，提高学生的识图能力。3、 通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力。解决问题在探究四边形四个顶点能否共圆的活动中，学会运用由特殊到一般的数学思想，并能利用转化的数学思想解决问题。情感态度在数学活动中发展学生使其主动参与师生、生生的交流活动，学会和人合作，学会倾听，培养学生大胆实践、勇于创新、团结互助的精神，使学生在活动中获取

2、成功的体验，建立学习的自信心。重点通过活动探究四点共圆的条件。难点对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法。活动过程设计问题与情境师生行为设计意图一、创设情境：问题演示课件：1、向学生展示一组圆在生活中的图片。2、一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字型排开，这样的队形对每个人公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？怎样排？问题与情境教师演示课件：教师解释：古代人最早是从太阳，从阴历十五的月亮得到圆的概念的，那么是什么人作出第一个圆的呢？会作圆并且真正了解圆的性质，却是在2000多年前，是由我国的墨子给出圆的概念的：“一中同长也”。意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学

3、家欧几里得给圆下定义要早100年。师生行为从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学。将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法。引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学设计意图对于问题2，教师引导学生将实际问题转化成数学问题，既到中间物体的距离相等的点应该满足什么条件？如何去找到这几位同学的位置？知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。二、分析交流：问题1、过一个点能作圆吗？能作几个圆，圆心和半径能确定吗？2、过两个点能作圆吗？能作几个圆，圆心和半径能确定吗

4、？3、过三个点能作圆吗？能作几个圆，圆心和半径能确定吗？过四个点呢？教师提出问题，引导学生利用作图工具作出图形。由学生经过观察，分析，总结归纳出简单的点与圆的关系，并了解点共圆所必须满足的基本条件。教师可利用课件进行演示，让学生能直观的对所作图形进行观察，以验证自己所得到的结论是否正确。此环节的设计是为探究四点共圆的条件作好铺垫工作。由简单到复杂，让学生在亲自动手操作的过程中进行实验、探究，得到问题的答案。激发学生的求知欲望，调动学生的积极性。三、合作探究：【活动1】1、过三点作圆可以看成是过三角形的顶点作圆，那过四点作圆同样可以看作是过四边形的顶点作圆，那同学们会作吗？2、这里有一些四边形，

5、同学们尝试着作一下，看能否过它们的四个顶点作一个圆？3、作圆的方法有几种？怎样去判断这四点共圆？问题与情境教师提出问题，让学生先进行思考，然后动手操作，在活动中探寻问题的答案。 在学生动手画四边形的外接圆的过程中，学生会发现有的四边形的四个顶点能共圆，有的却不行，那这些四边形有什么不同呢？引导学生从四边形的边和角的方面去猜测，探究。在学生猜到对角互补的四边形的四个顶点能共圆后，还需要引导学生进行证明。在证明这个推测时，要让师生行为 活动1、2的设计是让学生学会利用载体去对问题进行研究。从单一的点过渡到形，让学生由无法下手到主动探究，一步一步地向探究的目标靠近。在学生动手活动的过程中，通过交流和

6、沟通，让学生明确一个问题的解决方案，在推测之后要进验证，通过证明，让学生感受数学的严谨性，感受到数学结论的确定性和证明的必要性，设计意图4、按要求画出图形后，为什么有的四边形的四个顶点能共圆，有的却不行，那这些四边形有哪些不同呢？它们的边长有关系吗？它们的内角有如何呢？5、刚才我们是先画的四边形，再作的圆，得到了这样一个猜想。还有没有另外的方法也能做到呢？【活动2】1、通过活动，同学们推测出了四边形的四个顶点共圆的条件，可我们只画了几个图形，要想运用这个推断，还需要证明，那如何证明呢？2、不在同一条直线上的三点是能共圆的，如果四点不能共圆，但其中的三点是可以保证共圆的，余下的点与过三点的圆是什

7、么位置关系呢？3、圆周角定理有哪些内容？4、怎样利用圆中的性质定理来解决问题呢？学生先进行讨论，思考最好的证明方法。然后引导学生利用反证法进行证明。在证明的过程中要让学生考虑到所有的图形情况。证明过程：在四边形abcd中，若b+adc=180º，那么a、b、c、d四点共圆吗？为什么？解：如图1：假设a、b、c、d四点不共圆，过a、b、c三点作圆，d点在圆内。延长ad与圆交于点e，连接ce则：b+e=180ºadc >eb+adc >180º这与已知条件b+adc=180º矛盾，故假设不成立，原结论正确，a、b、c、d四点共圆。图1如图2，假设

8、a、b、c、d四点不共圆，d点在圆外。证明方法与证明图1时同理。图2培养学生和情推理能力。附图：问题与情境师生行为设计意图四、归纳反思：问题1、通过这节课的活动，你有哪些收获？2、你还能借助第三种载体探究四点共圆的条件吗？教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所做活动，并关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握。 教师布置新的问题继续激发学生的探究热情。通过小节使学生总结本节课所学到的知识、技能、方法。培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感。五、课外探究：问题1、过四个点还可以作出这样的图形，同学们观察一下，它们有什么特征？2、先观察具有公共斜边的两个直角三角形，这四个点共圆吗？为什么？3、再观察一般的图形，探究过这两个三角形顶点的四点共圆的条件？4、仿照活动1、2中的方法和步骤，对推测出来的条件应该如何证明？教师在学生完成一次探究后，提出新的问题：我们通过四边形这种载体研究了四点共圆的条件。但这并不是探究四点共圆条件唯一的方法，我们还能找到另外的载体进行探究。让学生明确解决问题方法的多样性，在解决一个问题的时候应该思维活跃，学会借助旧的知识点去寻找新的知识点。由于有了活动1、2作为基础，学生在进行此探究时，教师只做引导，更多