高考真题-圆锥曲线

1、2013 圆锥曲线一、选择题1 （2013年高考湖北卷（文）已知,则双曲线:与:的（）a实轴长相等b虚轴长相等c离心率相等d焦距相等【答案】d 【解析】本题考查双曲线的方程以及的计算。双曲线中，所以，离心率为。中，所以。所以两个双曲线有相同的焦距，选d.2 （2013年高考四川卷（文9）从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰为左焦点,是椭圆与轴正半轴的交点,是椭圆与轴正半轴的交点,且(是坐标原点),则该椭圆的离心率是（）abcd【答案】c 【解析】由已知得，点在椭圆上，代入椭圆的方程，得，因为abop，所以，所以，选c.3 （2013年高考课标卷（文10）设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点。若，则

2、的方程为（ ）（a）或 （b）或（c）或 （d）或【答案】c【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设a（x1，y1），b（x2，y2），则因为|af|=3|bf|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2。因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=，当x1=3时，所以此时，若，则,此时,此时直线方程为。若，则,此时,此时直线方程为。所以的方程是或，选c.4 （2013年高考课标卷（文8）为坐标原点,为抛物线的焦点,为上一点,若,则的面积为（）abcd【答案】c【解析】抛物线的焦点,准线方程为。因为，所以，即，所以,即。所以的面积为，选c

3、.【规律总结】与抛物线有关的试题，更多的是考查抛物线的定义，利用到焦点的距离和到准线的距离相等，实现转化。5 （2013年高考课标卷（文4）已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为（）abcd【答案】c【解析】双曲线的离心率为，即，所以。即，所以，即，所以。所以双曲线的渐近线为，选c.6 （ 2013年高考福建卷（文）双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）abc1d【答案】b 【解析】本题考查的是双曲线的性质因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为，取一条渐近线为，所以点到直线的距离为7 （2013年高考广东卷（文）已知中心在原点的椭圆c的右焦点为,离心率等于,则c的

4、方程是（）abcd【答案】d 【解析】由椭圆c的右焦点为，可知，又离心率等于，所以，解得，所以，即椭圆的方程为，选d.8 （2013年高考四川卷（文5）抛物线的焦点到直线的距离是（）abcd【答案】d 【解析】的焦点为(2,0)，到的距离为，选d.【知识拓展】抛物线的焦点弦：抛物线的过焦点的弦，若，则，弦长同样可得抛物线，类似的性质9 （2013年高考课标卷（文5）设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，则的离心率为（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】d【解析】因为,所以。又，所以，即椭圆的离心率为，选d.10（2013年高考大纲卷（文8）已知且垂直于轴的直线交于且则的方程为（）abcd【

5、答案】c 【解析】设椭圆方程为，则，当时，所以， 解得，.故所求的方程为，选c.11（2013年高考辽宁卷（文11）已知椭圆的左焦点为f两点,连接了,若,则的离心率为（）abcd【答案】b 【解析】由余弦定理，af=6，所以，又，所以,选b.12（2013年高考重庆卷（文10）设双曲线的中心为点,若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和,使,其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是zhangwlx（）abcd【答案】a 【解析】本题考查双曲线的性质与方程。因为,所以根据对称性可知，直线,关于轴对称，因为直线,所成的角为。所以直线的倾斜角为或，即斜率为或，要使直线

6、与双曲线相交，则双曲线渐近线的斜率，当时，所以，即，所以。当时，有，即，所以，即，即，所以综上，即双曲线离心率的范围时，选a.13（2013年高考大纲卷（文12）已知抛物线与点,过的焦点且斜率为的直线与交于两点,若,则（）abcd【答案】d 【解析】的焦点为(2,0)，所以，所以，即，.又设，即，所以，解得，故选d.14（2013年高考北京卷（文7）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）abcd【答案】c【解析】，则.15（2013年上海高考数学试题（文科18）记椭圆围成的区域(含边界)为,当点分别在上时,的最大值分别是,则（）a0bc2d【答案】d 【解析】 选d16（2013年高考江西卷（

7、文9）已知点a(2,0),抛物线c:x2=4y的焦点为f,射线fa与抛物线c相交于点m,与其准线相交于点n,则|fm|:|mn|=（）a2:5b1:2c1:5 d1:3【答案】c 【解析】本题考查抛物线的定义及应用。抛物线的焦点坐标为，准线方程为，过点m，做准线的垂线，交准线于b。则，所以设射线的倾斜角为，则，即，所以，所以|fm|：|mn|，选c。17（2013年高考山东卷（文11）抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点m,若在点m处的切线平行于的一条渐近线,则=（）abcd【答案】d 【解析】由题设知：抛物线的焦点f，双曲线的焦点f2(2,0)，所以直线ff2：.由得，即，双曲

8、线c2的渐近线方程为，又由得，解得，所以，故.18（2013年高考浙江卷（文9）如图f1.f2是椭圆c1:+y2=1与双曲线c2的公共焦点（）ab分别是c1.c2在第二.四象限的公共点,若四边形af1bf2为矩形,则c2的离心率是（第9题图）（）abcd【答案】d【解析】由已知得设双曲线实半轴为，由椭圆及双曲线的定义和已知得到,解得，。所以双曲线的离心率为，所以选d二、填空题19（2013年高考湖南（文14）设f1,f2是双曲线c, (a>0,b>0)的两个焦点.若在c上存在一点p.使pf1pf2,且pf1f2=30°,则c的离心率为_.【答案】 【解析】本题考查双曲线的

9、方程和性质。不妨设点p位于双曲线的右支上,因为，pf1pf2，所以。由双曲线的定义可知，即，所以，即c的离心率为。20（2013年高考卷（文11）双曲线的离心率为_.【答案】 【解析】21（2013年高考辽宁卷（文15）已知为双曲线的左焦点, 为上的点,若的长等于虚轴长的2倍,点 在线段上,则的周长为_.【答案】44 【解析】两式相加，所以并利用双曲线的定义得，所以周长为.22（2013年上海高考数学试题（文科12）设是椭圆的长轴,点在上,且.若,则的两个焦点之间的距离为_.【答案】 【解析】，代入椭圆的标准方程得。23（2013年高考北京卷（文9）若抛物线的焦点坐标为(1,0)则=_;准线方

10、程为_.【答案】2, 【解析】由题意，则.24（2013年高考福建卷（文）椭圆的左、右焦点分别为,焦距为.若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于_【答案】 【解析】本题考查的是圆锥曲线的离心率由题意可知，中，所以有，整理得，故答案为25（2013年高考天津卷（文11）已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为_.【答案】 【解析】抛物线的准线方程为，因为双曲线的一个焦点在准线上，所以，即，且双曲线的焦点在轴上。又双曲线的离心率为2，即，解得，所以，所以双曲线的方程为。三、解答题26（2013年高考浙江卷（文）已知抛物线c的顶点为o(0,0),焦点

11、f(0,1)()求抛物线c的方程;() 过点f作直线交抛物线c于a.b两点.若直线ao.bo分别交直线l:y=x-2于m.n两点,求|mn|的最小值. 【答案】解:()由已知可得抛物线的方程为:,且,所以抛物线方程是: ; ()设,所以所以的方程是:, 由,同理由 所以 设,由, 且,代入得到: , 设, 当时 ,所以此时的最小值是; 当时, ,所以此时的最小值是,此时,; 综上所述:的最小值是; 27（2013年高考山东卷（文）在平面直角坐标系中,已知椭圆c的中心在原点o,焦点在轴上,短轴长为2,离心率为(i)求椭圆c的方程(ii)a,b为椭圆c上满足的面积为的任意两点,e为线段ab的中点,

12、射线oe交椭圆c与点p,设,求实数的值.【答案】 将代入椭圆方程,得 28（2013年高考广东卷（文）已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.(1) 求抛物线的方程;(2) 当点为直线上的定点时,求直线的方程;(3) 当点在直线上移动时,求的最小值.【答案】(1)依题意,解得(负根舍去) 抛物线的方程为; (2)设点, 由,即得. 抛物线在点处的切线的方程为, 即. , . 点在切线上, . 同理, . 综合、得,点的坐标都满足方程 . 经过两点的直线是唯一的, 直线 的方程为,即; (3)由抛物线的定义可知, 所以 联立,消去得, 当

13、时,取得最小值为 29（2013年上海高考数学试题（文科）本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.如图,已知双曲线:,曲线:.是平面内一点,若存在过点的直线与、都有公共点,则称为“型点”.(1)在正确证明的左焦点是“型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“型点;(3)求证:圆内的点都不是“型点”.【答案】 30（2013年高考福建卷（文）如图,在抛物线的焦点为,准线与轴的交点为.点在抛物线上,以为圆心为半径作圆,设圆与准线的交于不同的两点.(1)若点的纵坐标为2,求;(2)若,

14、求圆的半径.【答案】解:()抛物线的准线的方程为, 由点的纵坐标为,得点的坐标为 所以点到准线的距离,又. 所以. ()设,则圆的方程为, 即. 由,得 设,则: 由,得 所以,解得,此时 所以圆心的坐标为或 从而,即圆的半径为 31（2013年高考北京卷（文）直线():相交于,两点, 是坐标原点(1)当点的坐标为,且四边形为菱形时,求的长.(2)当点在上且不是的顶点时,证明四边形不可能为菱形.【答案】解:(i)因为四边形oabc为菱形,所以ac与ob相互垂直平分. 所以可设,代入椭圆方程得,即. 所以|ac|=. (ii)假设四边形oabc为菱形. 因为点b不是的顶点,且acob,所以. 由

15、,消去并整理得. 设a,c,则,. 所以ac的中点为m(,). 因为m为ac和ob的交点,且,所以直线ob的斜率为. 因为,所以ac与ob不垂直. 所以oabc不是菱形,与假设矛盾. 所以当点b不是w的顶点时,四边形oabc不可能是菱形. 32（2013年高考课标卷（文）已知圆,圆,动圆与圆外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线.()求的方程;()是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线交于,两点,当圆的半径最长是,求.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2b铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑.【答案】解:

16、由已知得圆m的圆心为m(-1,0),半径;圆n的圆心为n(1,0),半径. 设知p的圆心为p(x,y),半径为r. (i)因为圆p与圆m外切并且与圆n内切,所以 . 有椭圆的定义可知,曲线c是以m,n为左.右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左定点除外),其方程为. (ii)对于曲线c上任意一点,由于,所以r2,当且仅当圆p的圆心为(2,0)时,r=2,所以当圆p的半径最长时,其方程为; 若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得. 若l的倾斜角不为90°,则知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为q, 则,可求得q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l于圆m相切

17、得, 解得k=±. 当k=时,将y=x+代入,并整理得, 解得. 当k=. 综上,. 33（2013年高考陕西卷（文）已知动点m(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点n(1,0)的距离的2倍. () 求动点m的轨迹c的方程; () 过点p(0,3)的直线m与轨迹c交于a, b两点. 若a是pb的中点, 求直线m的斜率. 【答案】解: () 点m(x,y)到直线x=4的距离,是到点n(1,0)的距离的2倍,则 . 所以,动点m的轨迹为 椭圆,方程为 () p(0, 3), 设 椭圆经检验直线m不经过这2点,即直线m斜率k存在.联立椭圆和直线方程,整理得: 所以,直线m的斜率 34

18、（2013年高考大纲卷（文）已知双曲线离心率为直线(i)求;(ii)证明:成等比数列【答案】()由题设知,即,故. 所以c的方程为. 将y=2代入上式,求得,. 由题设知,解得,. 所以. ()由()知,c的方程为. 由题意可设的方程为,代入并化简得, . 设,则 ,. 于是 , 由得,即. 故,解得,从而. 由于, , 故, . 因而,所以、成等比数列. 35（2013年高考天津卷（文）设椭圆的左焦点为f, 离心率为, 过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. () 求椭圆的方程; () 设a, b分别为椭圆的左右顶点, 过点f且斜率为k的直线与椭圆交于c, d两点. 若, 求k的值.

19、 【答案】 36（2013年高考辽宁卷（文）如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),切线的斜率为.(i)求的值;(ii)当在上运动时,求线段中点的轨迹方程.【答案】 37（2013年高考课标卷（文）在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为。（）求圆心的轨迹方程；（）若点到直线的距离为，求圆的方程。【答案】 38（2013年高考湖北卷（文）如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为a,b,c,d.记,和的面积分别为和.()当直线与轴重合时,若,求的值;()当变化

20、时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得?并说明理由.第22题图2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷【答案】依题意可设椭圆和的方程分别为 :,:. 其中, ()解法1:如图1,若直线与轴重合,即直线的方程为,则 ,所以. 在c1和c2的方程中分别令,可得, 于是. 若,则,化简得. 由,可解得. 故当直线与轴重合时,若,则. 解法2:如图1,若直线与轴重合,则 ,; ,. 所以. 若,则,化简得. 由,可解得. 故当直线与轴重合时,若,则. 第22题解答图1第22题解答图2 ()解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得. 根据对称性, 不妨设直线:, 点,到直线的距离分别为

21、,则 因为,所以. 又,所以,即. 由对称性可知,所以, ,于是 . 将的方程分别与c1,c2的方程联立,可求得 ,. 根据对称性可知,于是 . 从而由和式可得 . 令,则由,可得,于是由可解得. 因为,所以. 于是式关于有解,当且仅当, 等价于. 由,可解得, 即,由,解得,所以 当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得; 当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得. 解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得. 根据对称性, 不妨设直线:, 点,到直线的距离分别为,则 因为,所以. 又,所以. 因为,所以. 由点,分别在c1,c2上,可得 ,两式相减可得, 依题意,所以. 所以由上式解得. 因为,所以由,可解得. 从而,解得,所以 当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得; 当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得. 39（2013年高考重庆卷（文）(本小题满分12分,()小问4分,()小问8分)如题(21)图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点,.()求该椭圆的标准方程;zhangwlx()取平行于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、,过、作圆心