动量守恒和能量守恒4

1、第四章动能和势能§4.1  能量-另一个守恒量伽利略最早认识到，在做功中省力不省功。到牛顿时代，哲学家和数学家们普遍注意到运动物体具有某种“功效”，例如运动的子弹可转钻入泥土；另外，使物体运动起来需要付出代价。于是涉及按其功效和付出的代价去描述运动的问题。人类对能量的进一步认识是自然界一切过程都必须满足能量守恒定律, 但满足能量守恒定律的过程不一定都能实现。从经典物理学到现代物理学，对能量的认识发生了巨大的变化.经典物理认为物体发出或得到的能量可连续取值。当物理学研究深入到微观世界时，发现原子光谱为线光谱。这无法用经典电磁学和力学用电子绕原子核运动去解释，甚至无法解释原子的

2、稳定性。    1905年，狭义相对论的出现使大家对能量的认识发生另一个飞跃，即质量和能量是等价的.质量m和能量E的关系式为E=mc²，c为真空中光速, 它表明只要有质量m，必有能量E，反之亦然。§4.2力的元功.用线积分表示功一力的元功和功率中学功的定义：力和在力的方向上的位移的乘积。力是大小和方向不变的恒力；位移沿直线运动的情况。现在讨论力的大小、方向变化、质点沿曲线运动的情况。1元位移：将质点运动的路径分成许多小段，每一段可看成为一方向不变的位移，这小位移称为元位移。是无穷小量。小位移和轨迹重合，2元功：力在元位移上的功。定义：元功等于力

3、和元位移的标积。数学表达式：； 其中为和的夹角。 力做正功； 力不做功； 力做负功。3功的单位 SI制中：焦耳（J）：1N的力使受力点沿力的方向移动1m做的功等于1焦耳。 厘米克秒制中：尔格（erg）：电子伏ev：1伏 电压的电场对电子电荷做的功。 4功的量纲：注意：更换力的作用点不意味受力质点位移，力不做功。5 合力做的功：若力、作用于一质点，质点位移为，合力做的功 结论：合力做的功等于分力做功的代数和。6力的瞬时功率：时间内做功为，则时间内的平均功率：瞬时功率：时，平均功率的极限，即 结结论：力的功率等于力与受力点的速度的标积。 单位：SI中：瓦特（W），1W=1J/s二 元功在不同坐标系

4、中的表示 1直角平面坐标系： 2平面自然坐标： 三力在有限路程上的功 变力沿曲线自做的功： 将路径分成若干个元位移，每个元位移上力为常量，力的元功为： 总功近似为：当元位移数目无限增多，元位移趋于零，和式的极限即为总功，则 结论：和式的极限称为沿曲线自到的线积分a 直角坐标系中线积分计算若质点沿直线运动，则 若力是恒力，力和位移的夹角为，则b自然坐标系中线积分计算：xX0x0X1O例1：如图所示，弹簧一端固定另一端与一质点相连，经度系数为k，求质点有弹力做的功。坐标系的原点位于弹簧自由伸长时质点位置。解：弹力 做负功，功的数值如阴影所示。例2马拉雪橇水平前进，自A点延长为L的曲线到B点，雪橇对

5、地面的正压力为N，摩擦系数为，求摩擦力做的功。解：取自然坐标系，前进方向为自然坐标增加的方向，则摩擦力做的功为： §4.3质点和质点系的动能定理一 质点的动能定理1质点动能定理的微分形式： 质点在合力的作用下沿某一曲线运动， 取自然坐标系，则 质点的加速度：；质点的动力学方程：质点位移，力做的元功：在曲线运动中 动能：定义物理量叫质点的动能，用表示，它决定于质点的质量和速率，是质点运动状态的函数质点动能定理的微分形式：内容：质点动能的微分等于作用于质点的合力所做的功。2 质点动能定理的积分形式： 或 表示：质点动能的增量等于作用于质点的合力所做的功。3动能和功的区别xyzo 动能是反

6、映质点运动状态的物理量，是运动状态的函数。 功是力和经历位移过程决定，是过程量。二 质点系内力的功 质点1和质点2相对参考点O的位置矢量分别是和，1对2和2对1的作用力分别是、且 ，1和2的位移分别是和这对相互作用力元功之和：质点2相对1的位移：质点2相对1的位置矢量： 表示：二质点相互作用力所做元功的代数和等于作用于其中一质点的力与该质点相对于另一质点元位移的标积。这一对力的功仅决定于力和质点的相对位移。三 质点系的动能定理 由n个质点组成的质点系，作用于每个质点的合力的功分别是，。每个质点的初动能、末动能为：、 ，2， 对每个质点： ， 对一切质点取和： 作用质点系的一切力做的功包括：一切

7、外力做的功和一切内力做的功所以质点系的动能定理：表示：质点系动能的增量在数值上等于一切外力所做的功和一切内力所做的功的代数和。§4.4 保守力和非保守力 势能一力场： 质点所受的力一般和位置、速度和时间有关 1场力：若质点所受的力仅与质点的位置有关，即：，这种力叫场力。如：重力、弹簧弹力、静电力。2力场：存在场力的空间叫力场。3 两类典型且简单的场力： 均匀力场中的力是常量：如不太大范围内，质点受的重力不变；匀强电场中，带电粒子受到的电场力。 有心力：质点所受力的作用线总通过一点，这种力叫有心力。这一点叫力心。如：在点电荷形成的电场中，带电离子受到的力；一端固定的弹簧的弹力。xyab

8、co二 保守力和非保守力1重力做功的特点 质量为m的质点自经曲线acb重力做的功：特点：重力做功仅决定于质点的始末位置，与质点经过的路径无关。推理：凡均匀力场做功均有此性质。om2 一端固定的弹簧弹力做功的特点建立如图的坐标系：弹簧自由端所处的位置为坐标的原点，弹簧拉长了x，质点受到的弹力： 。质点m从运动到弹力做的功：qr特点：弹力做功仅和受力质点的始末位置有关，和经过的路径无关。3 静电场力做功的特点 在电荷q的电场中，电荷Q从静电场力做的功 特点：静电场力做功仅和受力质点的始末位置有关，和经过的路径无关。4 保守力：若力做的功仅由受力质点的始末位置决定而和其经过的路径无关，或者说此力沿闭

9、合路径所做的功等于零，这种力叫保守力。如重力、弹簧的弹力、静电力、万有引力。5非保守力： 若力做的功不仅决定于受力质点的始末位置，而且和其经过的路径有关，或者说此力沿闭合路径所做的功不等于零，这种力叫非保守力。如摩擦力。非保守力又叫耗散力。三 势能 1势能的定义：保守力做功仅决定于受力质点始末位置，所以可以找到一个位置函数，并使这个函数在始末位置的增量恰好决定于受力质点从初始位置达到终止位置时保守力做的功，这个函数叫函数。、：质点处、末位置的势能； ：受力质点从初始位置达到终止位置时保守力做的功定义：即：势能的增量等于保守力做功的负值。若：> 0，保守力做正功，则势能减少；&l

10、t;0，保守力做负功，则势能增加。2 某一位置的势能 势能零点：势能等于零的空间点。是人为规定的。如：重力势能的零点常取地面。点电荷的电场中的势能零点取无穷远。若保守力做功的起点为势能的零点，即，终点的势能 即：某一位置的势能在数值上等于从势能的零点到此位置保守力做功的负值。某一位置的：重力势能 电势能 弹力势能：注意：（1）某位置势能的数值和势能零点的选择有关；势能的增量和势能零点的选择无关。 （2）势能和质点间的保守力相联系，故势能属于以保守力相互作用的质点系。§4.5功能原理和机械能守恒定律一 质点系的功能原理 质点系的动能定理： 内力：包括保守内力和非保守内力； 质点系的功能

11、原理：质点系机械能的增量等于一切外力和一切非保守内力所做功的代数和。说明：（1）只有外力和非保守内力才会引起机械能的改变。 （2）保守内力做功所起的作用：引起质点系动能的改变，不引起质点系机械能的改变，仅动能和势能转化。所以，应用动能定理时，左方计入了，右方不能考虑相应势能。应用功能原理时，右方计入了势能，左方不能计入 （3）功能原理和动能定理无本质区别，区别仅在于功能原理考虑势能，而不在考虑保守内力做的功，这也正是此原理的优点。二 质点系的机械能守恒定律 机械能守恒的系统叫保守系统。 表述：再一过程中若外力不做功之，又每一对非保守内力也不做功，则质点系的机械能守恒。 数学表达式：，则 ， 即

12、 恒量 说明：每一对非保守内力不做功，并非要求成对的非保守内力中每个力都不做功，只要求每一对非保守内力做功的代数和为零。如在阿特伍德机中，绳子的拉力对下落的物体作负功，对上升的物体做正功，这一对非保守内力都做功，但做功之和等于零。例题：一轻弹簧与质量为和的两物体联结，如图所示，至少用多大的力向下压才能在此力撤除后弹簧把下面的物体带离地面？yO解：建立如图的坐标系o-y，原点取在弹簧自由伸长时上端的位置：受重力和弹簧支持力平衡时的高度：压缩弹簧停止的高度：刚好被提起时的高度：看作质点并当作隔离体，受力如图所示当刚被提起时=0；则 y轴的投影式： （1）：视做质点并当作隔离体，受力如图所示 时受力

13、： y轴的投影式： （2） 时受力向下，但静止。撤去，从到，机械能守恒，此过程只有保守内力和重力做功。坐标原点为重力势能和弹力势能的零点。则： （3）联立解以上三个方程得：§4.6 对心碰撞一 碰撞的两个特点 1碰撞的短暂时间内相互作用力很强，外界影响可不考虑，动量守恒。 2 碰撞前后状态变化突然且明显。二 碰撞的分类 1按碰撞前后总动能是否变化分为：完全弹性碰撞：碰撞前后总动能保持不变。非完全弹性碰撞：碰撞后两物体的总动能小于碰撞前的总动能完全非弹性碰撞：碰撞后两物体合成一体，总动能损失最大。 2按碰撞前后两物体的运动方向分为：对心碰撞 也叫正碰：碰撞前后两质点都沿连心线运动非对心

14、碰撞 也叫斜碰：两质点不沿连心线运动而发生的碰撞三 关于对心碰撞的基本公式：质量为和的两质点可看成质点系，碰前的速度分别是和，碰后的速度分别是和，则：若取x轴和速度平行，投影方程： （1）碰前接近时的相对速度：； 碰后分离时的相对速度：恢复系数： （2）联立解（1）、（2）得： 四 完全弹性碰撞 查德威克发现中子 当 e=1时，则 （1） 由 得： （2）（1） 乘以（2）得：可见：碰撞前后质点系总动能保持不变，是完全弹性碰撞。解 得：；几种特殊情况：1 = 得 ，即两质点经过碰撞而交换速度。 特例：当时，则 ，。即碰撞静止的，结果会突然静止，而按的速度前进，的动能完全转变为的动能。2 且，即

15、质量很小的质点碰撞质量很大的静止质点，则：， 因 ，所以 意味：重质点仍然不动而轻球以原速率弹回。如乒乓球碰铅球。3 且，即质量很重的质点碰撞质量很小的静止质点 因，所以， 表明：重质点几乎以原速度前进，而静止的轻质点则以2倍于重质点的速率前进。 如：铅球碰皮球。 查德威克发现中子1940年博脱和约里奥居里夫人发现：钋发射的粒子打在铍上能打出中性辐射，中性辐射能从石蜡中打出质子。他们认为中性辐射是射线。查德威克预言是不带电、质量和质子差不多的“中子”。实验结果：这种中性辐射从石蜡上打出质子速率，从一些轻元素打出氮核速率，求中子的质量。解：设中子、质子和氮原子的质量分别为m、；碰前其速度分别为、0、0， 碰后中子的速度分别是、，质子和氮核分别为、 中子氮原子系：； 中子质子系：； 解得： ； 则 代入数值得：考虑到速度误差10%，认为中子质量是中子质量的1.0061.008倍。五 完全非弹性碰撞当e=0时，则，即两质点碰后并不分开，以同一速度运动，因此是完全非弹性碰撞，这时动能不守恒，损失最大。仅有动