1_加权余量法和变分原理

1、“航空工程先进数值计算技术餉权余量诊和变今原理王晓军航空科学与工程学院固体力学研究所逐$处京航玄魅乘丸孝BEIHANG UNIVERSITY匸廿 物理问题的微分控制方程逐$处京航玄魅乘丸孝BEIHANG UNIVERSITY逐$处京航玄魅乘丸孝BEIHANG UNIVERSITY微分方程组A(w)A(w)=< (u) > = 0边界条件3(%)B(u) = -< B2 (w) > = 0温度场电磁场在O内在厂上e应力场III流速场比为未知场函数4B为微分算子弹性力学 热传导 电磁学流体力学Q为体积域或面积域等F为域Q的边界逐$处京航玄魅乘丸孝BEIHANG UNIVER

2、SITY宝4 物理问题的微分控制方程应力场弹性力学旦+乙+理+x = odx dy dz竺1+竺竺+氏dy dxd（y dr +dzy （. k温度场（d2T 空、dx2 dy2 dz2 丿热传导dTdyTyx Txzdr +JZ = O dx二 J j = T-（dT/dn） lr? = q2VCk（6T/8n）.= h（T_T）匕b内=Pj乞=辺qar/亦（严盯片貪密*玄茫壬壬尹vv结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang2009仝廿物理问题的微分控制方程貪密*玄茫壬壬尹vv结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang2009貪密*玄

3、茫壬壬尹vv结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang2009流速场流体力学电磁场电磁学貪密*玄茫壬壬尹vv结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang2009貪密*玄茫壬壬尹vv结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang2009Vxh = 7+dtdVdt+ (V.V)V = -Vt? + /PVxE =dBdt- + (V-V)V = -V/7 + vV2V + / dtpN-S方程(常粘性系数下)貪密*玄茫壬壬尹vv结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang2009VD = pE

4、uler-方程貪密*玄茫壬壬尹vv结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang2009貪密*玄茫壬壬尹vv结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang2009dxi零切应力边条0p = p 常压力边条VB = O貪密*玄茫壬壬尹vv结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang2009匸廿微分方程的等效积分形式由于微分方程组在域内中每一点都必须为零，因此就有f UTAudQ. = J (比A (u)+ 禺企(u) )d。三 0 JJ是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的 任意（权）函数。同样，在边界上每一点边界条件都

5、必须满足，对于一组 任意（权）函数V应当成立VrB（%）三 L（uQ （比）+ 匕民（）d= o空片微分方程的等效积分形式因此，等效积分形式£/7A（M）6/Q + jrV7B（M）6/r = 0在很多情况下，可以对上式进行分部积分得到另一种形式jC7 (/)D(w)6/Q + jrE7 (V)F(M)6/r = 0(*)关于%的连续性降低了，却提高了对(/和V的连续性要求。式(*)称为微分方程和边界条件的等效积分弱形式。uvfdx uv vu fdx逐$处京航玄魅乘丸孝BEIHANG UNIVERSITY加权余量法在求解域Q中，若场函数是精确解，则在域Q中任一点都满足微分方程，同时

6、在边界上任一点都满足边界条件式, 业时等效积分形式或等效积分弱形式必然严格轴得到满足。但是对于复杂的实际问题，这样的精确解往往是很难找到的,因此，人们需要设法找到具有一定精度的近似解。设u是一个近似解，即为试函数，它可以表示成为一组已知 函数或Ritz基函数的线性组合，即u （兀）厂 a = qJ ai=式中勺为待定系数或Ritz基坐标。由于况不满足微分方程和边界条件，因此，为了得到最佳近似解,可以令其加权余量之和为零，即二口厂匕+旷心二 °式中心（0 q） = A（0 q）和Rb（0。） = B0a）为余量。虽然£/和V 为任意权函数，但在实际应用时，不可能也不需要取无穷

7、多个权函数。 与试函数表达式类似，可以把权函数也写成已知基函数的组合，即叫）=£旳旳，V（x）二乞吟bjj=l>1式中m>no将权函数代入加权余量积分式，由于系数5巧的任意性，有jy；Ra（0Q）0 +Jr歹;Rr cp1 adY = 0, J = 12，加上式给出了加个方程。用于求解斤个待定系数色。如果m>n ,则上 式是超定的，需要借助于最小二乘法解。对上式进行分部积分得到等 效积分弱形式的近似形式逐$处京航玄魅乘丸孝BEIHANG UNIVERSITY全治伽辽金（Galerkin）法按照对权函数的不同选择就得到不同的加权余量的计算方法并赋 以不同的名称。如果取

8、权函数与试函数相同，则称为Galeridn方法。0兀IX® dG-屈Rb工讷：at #i )dV = 0我们将会看到，在很多情况下，采用伽辽金法得到的求解方程的系数矩阵是对称的，这是在用加权余量法建立有限元格式时几乎毫不例外地采用伽辽金法的主要原因，而且当存在相应的泛函数时，伽辽金法与变分法往往导致同样的结果。匸廿变分原理弹性力学的基本方程和相应的边界条件，把弹性力学问题归结为在给定边界条件下求解偏微分方程的边值问题.自 从建立弹性力学以来，人们用各种偏微分方程的解法求得了 许多弹性力学问题的解析解。然而，随着工业技术的发展,工程结构的形状也越来越复杂，很多问题得不到解析解,而需求助

9、于数值解，而变分原理则是许多数值解的基础.弹 性力学问题，在数学上就是空间连续场的确定问题。变分法 就是把它归结为一个泛函变分的极值问题或驻值问题。匸廿变分原理讨论一个连续介质问题的“变分原理”首先要建立一个 标量泛函口，它由积分形式确定屮（唸'片其中”是未知函数，F和E是特定的算子，Q是求解域，厂是Q 的边界.n称为未知函数"的泛函，随函数的变化而变化。sn = Q这种求得连续介质问题解答的方法称为变分原理或变分法。连续介质问题的解“使泛函H对于微小的变化加取驻值，即泛 函的“变分”等于零变分原理与微分方程和边界条件是两种等价的表达形式， 一方面满足微分方程及边界条件的函数将使泛函取极值或驻值, 另一方面从变分的角度来看，使泛函取极值或驻值的函数正是 满足问题的控制微分方程和边界条件的解答。BEIHANG UNIVERSITY匚治 Galerkin法与变分原理的一致性（）弹性力学问题的控制微分方程为°i，j +fi =06凸=Pju. = u.根据加权余量法（Galerkin法），有L（a'j 丿 + 才）-Jr （込“-巧）SudY - 0式中两及其边界值为权函数。匸” Galerkin法与变分原理的一致性()把上式第一项进行分部积分，注意在固定边界处s色=o和应力张量b"的对称性，得IJ JL Su1 pdr =