北师版八年级上册《勾股定理》知识总结与练习题

1、勾股定理1. 知识总结1. 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ， b ，斜边为 c ，那么 a2b2c22勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：1a)2D方法一： 4 SS正方形 EFGHS正方形 ABCD， 4ab(bc2 ，化简可证HC2方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积EGFbaAcB四个直角三角形的面积与小正方形面

2、积的和为S41ab c22ab c2 ,ba2accbS( a b )2a22ab b2所以 a222大正方形面积为，bcbcca方法三：abS梯形1 (ab) ( ab) ， S梯形2S ADES ABE2 1 ab1 c2 ，化简得证AaD2223勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它 只适用于直角三角形 ，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。4勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边bcEcaBbC在ABC 中，C90 ，则 ca 2b2 ， bc2a 2 ， ac2b2知道

3、直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题5勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长a ， b ， c 满足 a2b2c2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形 ”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2 与较长边的平方 c2 作比较 :若它们相等时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形；若 a2b2c2，时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是钝角三角形；若 a2b2c2，时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是锐角三角形

4、；定理中 a , b , c 及 a2b2c2 只是一种表现形式， 不可认为是唯一的， 如若三角形三边长a ，b ， c 满足 a2c2b2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时， 不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形6. 勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2 中， a ， b ， c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等用含字母的代数式表示n

5、 组勾股数：n21,2n,n 21 （ n2, n 为正整数）；2n1,2n22n,2 n22n 1（ n 为正整数）m2n2 ,2 mn,m2n2 （ mn, m ， n 为正整数）7. 勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线） ，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解8. 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形， 在具

6、体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论9. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：CCC30°ABADBABDCBDA10. 互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。应用题的常见题型及数量关系：(1) 行程问题：路程速度 &

7、#215;时间(2) 工程问题：工作总量工作效率 ×工作时间(3) 浓度问题：溶质溶液 ×浓度(4) 利率问题：本息和本金利息，利息本金×利率 ×期数(5) 利润问题：利润成本 ×利润率，利润售价成本(6) 价格问题：总价单价 ×数量(7) 水流问题：顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度此外还有：等积变形问题、数字问题、比例问题、调配问题、与几何图形相关的问题、2. 练习题一. 选择题1已知一个 Rt 的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（）A、25B、14C、 7D、7 或 252等腰 ABC 的底边BC 为

8、 16，底边上的高 AD为 6，则腰长 AB 的长为（）A10B.12C.15D.203下列说法正确的是（）A 若 a、 b、 c 是 ABC 的三边，则 a2b2 c2B若 a、 b、 c 是 Rt ABC 的三边，则 a2b2c2C若 a、 b、 c 是 Rt ABC 的三边，A90 ，则 a2 b2 c2D若 a、 b、 c 是 Rt ABC 的三边，C90 ，则 a2 b2 c2A4如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角C形 ABC 中，边长为无理数的边数是（）A 0B 1C 2D 3B5把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2 倍，则斜边扩大到原来的（）A 2倍

9、B 4倍C 6倍D 8倍6如图，将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为15cm，高 8cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则 h 的取值范围是（）A 、h 17cmB 、 h 8cmC、 15cmh 16cmD、 7cmh 16cmbAFDca第 7 题lBCE第 8 题7如图，直线 l 上有三个正方形a， b， c ，若 a，c 的面积分别为5 和 11，则 b 的面积为（）A. 4B. 6C. 16D. 558 如图，将一个边长分别为4、 8 的长方形纸片ABCD 折叠，使 C 点与 A 点重合，则 EB的长是（）A 3B 4C 5D5A9如图，每个小正方形的边长为1，

10、 A、 B、C 是小正方形的顶点，B则 ABC 的度数为（）CA 90°B 60°C45°D 30°10 ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知 C=90°，AC=30 米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（）.A. 50元B.600 元C. 1200 元D.1500 元二. 填空题1在 ABC 中， AB AC 13， BC 10， D 是 AB 的中点，过点 D 作 DE AC 于点 E，则 DE 的长是 _A 时AB 时CEEDDBCOAB（第 1题）F第2题图第 3题图2如图，

11、小明在 A 时测得某树的影长为 2m，B 时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 _m.3如图， ABC 中， C = 90 ，°点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点，ODBC ，OE AC ，OF AB ，点D、 E、 F 分别是垂足，且BC = 8cm， CA = 6cm，则点O 到三边AB ，AC和BC的距离分别等于cm.4已知ABC的三边长满足ab10, ab18 ， c8 ，则为三角形.5x 12 x y 25与z210z 25互为相反数，则以x、 y、 z 为三边的三角形已知是三角形 .6如图， 以 RtABC 的三边为边向外作正方形，其面积

12、分别为S1、S2、S3，且 S1=4，S2=8，则 AB 的长为 _.7如图，长方体的底面边长分别为1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点A 开始经过4 个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_cm；如果从点A 开始经过 4 个侧面缠绕3 圈到达点 B，那么所用细线最短需要_cmB6cm“路”3mA1cm4m3cm第 7题图第 8题图8如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径 ”，在花铺内走出了一条“路 ”他们仅仅少走了步路（假设2 步为 1 米），却踩伤了花草三. 解答题1如图， 四边形 ABCD 中， ACB=90 O ,CD AB 于点 D，若 AD=

13、8,BD=2 ，求 CD 的长度。CADB2. 已知：如图，在 ABC 中， CD 是 AB 边上的高，且 CD 2=AD·BD.求证： ABC 是直角三角形 .3. 如果ABC的三边分别为222，判断ABC的形状 .a、b、c，且满足 a +b+c +50=6a+8b+10c4如图， P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作PBQ60 ，且BQ=BP，连结CQ、PQ，若PA:PB:PC=3:4:5, 试判断PQC 的形状。APBCQ5已知：正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 ABCD 的边长为1，正方形 EFGH 内接于 ABCD ，AE=a,AF=

14、b, 且 S正方形 EFGH2a 的值。. 求 b3AEDHFBGC6如图， ABC 中， AB=10,BC=9,AC=17，求 ABC 的面积。ACB7如图，在梯形 ABCD 中， AD BC， AB AC ， B 45°, AD 1， B C 4，求 DC 的长ADB8已知ABC 中， AB13 cm ， BC10 cm ， BC 边上的中线AD12 cm ，求证： ABAC9如图所示，在四边形ABCD中， A=60°， B= D=90°， BC=2 ，CD=3 ，求 AB 的长.第 9题图10如图，铁路上 A ， B 两点相距 25km， C， D 为两村庄

15、， DA AB 于 A ， CB AB 于 B ，已知 DA=15km ， CB=10km ，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E，使得 C， D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在离 A 站多少 km 处？DCAEB11 “远航 ”号、 “海天 ”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，16 海里， “海天 ”号每小时航行12 海里，它们离开港口一个半小时后相距“远航 ”号每小时航行30 海里如果知道“远航 ”号沿东北方向航行，能知道“海天 ”号沿哪个方向航行吗？图 18.2-312台风是一种自然灾害， 它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴， 有极强的破坏力，如图， 据气象观测，距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级，每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级， 该台风中心现正以 15 千米 /时的速度沿北偏东 30o 方向往 C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（ 1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（ 2）若会受到台风影响，那