(甘志国)蒙日圆及其证明

1、蒙日圆及其证明甘志国(已发表于 河北理科教学研究，2015(5)：11-13)高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆的一个焦点为，离心率为(1)求椭圆的标准方程；(2)若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程答案：(1)；(2)这道高考题的背景就是蒙日圆.普通高中课程标准实验教科书数学2·必修·A版(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是定理1 曲线的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆.定理1的结

2、论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是，或.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是且，所以可设曲线的过点P的切线方程是.由，得由其判别式的值为0，得因为是这个关于的一元二次方程的两个根，所以 由此，得进而可得欲证成立.定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是，或.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是且，所以可设两个切点分别是.得直线，切线.所以： 因为点既在曲线上又在直线上，所

3、以所以 由此，可得进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书数学·选修2-1·A版(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明 如图2所示，设为椭圆(其左、右焦点分别是)上任意给定的点，过点作的外角平分线所在的直线.先证明和相切于点，只要证明上异于的点都在椭圆的外部，即证：图2在直线上选取点，使，得，所以，还得再过点作的平分线，易得，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.

4、引理2 过椭圆(其中心是点O，长半轴长是)的任一焦点F作椭圆的任意切线的垂线，设垂足是H，则.证明 如图3所示，设点分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的切线上的切点，又设直线交于点.图3由引理1，得(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得，所以点H是FB的中点，得OH是的中位线.又，所以.引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和.证明 由余弦定理可证(这里略去过程).引理4 设点是矩形所在平面上一点，则.证明 如图4所示，设矩形的中心是点图4由引理3，可得即欲证成立注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等定理1的证法3 可不妨设.当时，易证成立

5、.下面只证明的情形.如图5所示.设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是，焦距是，过动点P的两条切线分别是.图5连结，作，垂足分别是.过点作，垂足为，由引理2得.再作于.记，得.由Rt，得.又作，垂足分别为.在Rt中，同理可得. (1)若，得矩形，所以(2)若，得由，得，所以.同理，有，所以四边形是平行四边形，进而得四边形是矩形，所以. 由(1),(2)得点P的轨迹方程是.定理1的证法4 可不妨设.当时，易证成立.下面只证明的情形.如图6所示.设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是，焦距是，过动点P的两条切线分别是，两切点分别为. 分别作右焦点关于切线的对称点，由椭圆的光学性质可得三点共线(用反射角

6、与入射角的余角相等).同理，可得三点共线.图6由椭圆的定义，得，所以.由是的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得 (1)若，得，即三点共线.又，所以，进而得(2)若，得所以.同理，可得.所以三点共线.得，即. 由(1),(2)得点P的轨迹方程是.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设.当时，易证成立.下面只证明的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是，焦距是，过动点P的两条切线分别是，切点分别是.设点关于直线的对称点分别为，直线与切线交于点，直线与切线交于点.图7得，再由椭圆的定义，得，所以.因为四边形为矩形，所以由引理4得，所以，得点P的轨迹

7、方程是.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理2 (1)双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆；(2)抛物线的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理3 (1)椭圆的两条斜率之积是的切线交点的轨迹方程是；(2)双曲线的两条斜率之积是的切线交点的轨迹方程是.定理4 过椭圆上任一点作椭圆的两条切线，则(1)当时，所作的两条切线互相垂直；(2)当时，所作的两条切线斜率之积是.定理5 (1)椭圆的两条斜率之积是的切线交点的轨迹是：当时，即圆(但要去掉四个点)；当且时，即椭圆(但要去掉四个点)；当时，即两条直线在椭圆外的部分(但要去掉四个点)；当时，即双曲线在椭圆外的部分(但要去掉四个点)；当时，即双曲线在椭圆外的部分(但要去掉四个点).(2)双曲线的两条斜率之积是的切线交点的轨迹是：当时，即圆；当时，即双曲线；当或时，即椭圆；当时，不存在.(3)抛物线的两条斜率之积是的切线交点的轨迹是：当时，即直线；当时，的方程为. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知. 若直线上总存在点，使得过点的的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是_. 解 .在图8