【奥赛】小学数学竞赛：最值的数字谜(一).教师版解题技巧培优易错难

1、5-1-2-4.最值中的数字谜（一）且M店 教学目标1 .掌握最值中的数字谜的技巧2 .能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题目IMI4知识点拨数字谜中的最值问题常用分析方法1 .数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜.横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜；2 .竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等.3 .数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、 分解质因数法、奇偶分析法等.4 .除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法， 通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的

2、最值的可能值，再验证能否取到这个最值.5 .数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、 方程、估算、找规律等题型。刖睡 例题精讲【例1】 有四个不同的数字，用它们组成最大的四位数和最小的四位数，这两个四位数之和是11469,那么其中最小的四位数是多少？【考点】加减法的进位与借位【难度】3星【题型】填空【解析】设这四个数字是a b c d,如果d 0,用它们组成的最大数与最小数的和式是a b c dd c b a,由个位知a d 9,由于百位最多向千位进 1,所以此时千位的和最多为10,114 6 9a b c 0与题意不符.所以d 0 ,最大数

3、与最小数的和式为c 0 b a ,由此可得a 9 ,百位没有114 6 9向千位进位，所以 ac11,c2;b 6 c 4.所以最小的四位数 cdba是2049.【答案】20497902,那么所有符【例2】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，如果新数比原数大 合这样条件的四位数中原数最大的是 .A B C D 7902【考点】加减法的进位与借位【难度】4星【题型】填空【解析】用A、B、C、D分别表示原数的千位、百位、十位、个位数字，按题意列减法算式如上式.从首 位来看A只能是1或2, D是8或9;从末位来看，10 A D 2,得D A 8,所以只能是 A 1, D 9.被减数

4、的十位数 B ,要被个位借去1,就有B 1 C . B最大能取9,此时C为8,因此， 符合条件的原数中，最大的是1989.【答案】1989【例3】 在下面的算式中，A、B、C、D、E、F、G分别代表19中的数字，不同的字母代表不同的数字，恰使得加法算式成立.则三位数EFG的最大可能值是 .A B C D EFG 20_06【考点】加减法的进位与借位【难度】4星【题型】填空【解析】可以看出，A 1 , D G 6或16.若D G 6,则D、G分别为2和4,此时C F 10,只能是C、F分别为3或7,此时B E 9, B、E只能分别取1,8、 2,7、 3,6、 4,5，但此时1、2、3、4均已取

5、过，不能再取，所以D G不能为6, D G 16 .这日D、G分别为9和7;且C F 9 , B E 9,所以它们可以取 3,6、 4,5两组.要使EFG最大，百位、十位、个位都要尽可能大，因此EFG的最大可能值为 659.事实上1347 659 2006,所以EFG最大为659.【答案】659【巩固】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么四位数奥林匹克”最大是_奥林匹克+ 奥数网 2008【考点】加减法的进位与借位【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，1试，第2题【解析】显然奥 2“，所以奥1或2”，如果 噢 2"，则四位数与三位数的和超过22

6、00,显然不符合条件，所以奥1"，所以 林 9”，如果 林 9”那么 迈克 数网 2008 1900 100 8"，匹=数 0”, 不符合条件，所以 林”最大只能是8,所以匹克 数网2008 1800 100 108”，为了保证不同的 汉字代表不同的数字，匹克”最大是76,所以奥林匹克”最大是1876。【答案】1876【例4】 下面是一个n进制中的加法算式，其中不同的字母表示不同的数，求 n和ABCDE的值. ABCDCBEBCE ABE【考点】加减法的进位与借位【难度】5星【题型】填空【解析】由于算式中出现5个不同的数字，所以 n至少为5.在n进制中，就像在10进制中一样

7、，两个四位 数相加得到一个五位数，那么这个五位数的首位只能为1（因为这两个四位数都小于10000,它们的和小于 20000,故首位为1）,即C 1 .由于 A最大为n1 ,则A C 1 n 1 1 1 n 1 ,A C n 1 1 n ,即两个四位数的首位向上位进 1后最多还剩下1,即E最大为1,又因为不同的 字母表示不同的数，E不能C与相同，所以E只能为0 .则D B n,末位向上进1位；C E 1 2, 即B 2 ; B B 4,不向上进位，所以A 4;A C E n,得n 5,则D n B 3.所以n为5, ABCDE 为 42130.【答案】n为5, ABCDE为42130【例5】 右

8、式中的a, b, c, d分别代表09中的一个数码，并且满足 a b 2 c d ,被加数最大是多 少？a b5c d【考点】加减法的进位与借位【难度】4星【题型】填空【解析】若b 5,则由竖式知a c , b d ,不满足a b 2 c d ；若b 5,则由竖式知a c 1 , b d 5 ,代入a b 2c d,得cd 4.由此推知cd最大为40,而最大为40 5 35 .【答案】35【巩固】下式中的a, b, c, d分别代表09中的一个数码，并且满足 2 a b cd,被减数最小是多 少？a b3c d【考点】加减法的进位与借位【难度】4星【题型】填空【解析】若b 3 ,则由竖式知 a

9、 c , b d ,不满足2 a b cd；若b2,则由竖式知 a c 1 ,b 10 3 d,即b 7 d ,代入2 a b c d,得a b 6.由b 2知a 4 ,所以ab最小为42.【答案】42【例6】 从19这9个数字中选出8个不同的数字填入右面的方格中，使得竖式成立.其中的四位数最大 可能是. 0 + 2 0 10【考点】加减法的进位与借位【难度】3星【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第 9题【解析】由题目可知，四位数的千位数字肯定是【题型】填空1,此时还剩下29这8个数字，再看三个数的个位数字之和的尾数为0,可找出三个数的个位数字有以下几种情况,(2, 3, 5)、(3, 8, 9

10、)、(4, 7, 9)、(5,6, 9）、（5, 7, 8）.经试验，只有两种情况下竖式成立.而题目要求四位数最大，所以答案为1759.4 32 0 8 + 17 5 92 0 102 0 10【答案】1759【例7】 如图，在加法算式中，八个字母QHFZLBDX ”分别代表0到9中的某个数字，不同的字母代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数QHFZ”的最大值是多少？2009Q H F ZQ H L B1 Q_HD_X【考点】加减法的进位与借位【难度】5星【题型】填空【关键词】清华附中，入学测试题【解析】原式为 2009 QHFZ QHLB 1QHDX ,即 QHFZ 1QHDX QHLB

11、2009 7991 DX LB .为了使QHFZ最大，则前两位QH先尽量大，由于DX LB小于100,所以QH最大可能为80.若QH 80,则继续化简为 FZ DX LB 9 .现在要使FZ尽量大.由于8和0已经出现，所以此时DX LB 9最大为97 12 9 76,此时出现重复数字，可见 巨小于76.而96 12 9 75符合题意，所以此时巨最大为75, QHFZ的最大值为8075.【答案】8075【例8】 把0, 1, 2,，8, 9这十个数字填到下列加法算式中四个加数的方格内，要求每个数字各用一次，那么加数中的三位数的最小值是多少？2 007【考点】加减法的进位与借位【难度】5星【题型】

12、填空【关键词】湖北省“创新杯”【解析】从式中可以看出，千位上的方框中的数为 1 ,那么百位上两方框中的数再加上低位进位的和为10.由于三位数的百位上不能为 1和0,所以要使三位数最小，它的百位应该为2,十位应该为0 .那么十位向百位的进位为1,所以四位数的百位为 7,且十位上三个方框中的数之和再加上个位的进位的和 为10.又剩下的数字3, 4, 5, 6, 8, 9中除3 4 5 6 18只向十位进1外，其余任选四数字 的和都大于20 ,由于3 4 5 6的尾数不为7 ,所以个位上四个数字不能是 3 , 4 , 5 , 6 ,所以个 位向十位进位为2,也就是十位上的三个方框中的数的和为8（其中

13、有一个为0）,而剩下的3, 4, 5,6,8, 9中只有3 5 8,所以个位上的四个方框中的数为4, 6, 8, 9,那么加数中的三位数最小为204 .【答案】204【例9】 如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字.美妙数学花园”代表的6位数最小为.2007美妙 数学 花园【考点】加减法的进位与借位好好好好【难度】5星【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，决赛，第9题，12分【解析】“好”为2,要使算式满足则必有（美 数 花）20。要使“美妙数学花园”代表的 6位数最小，则美数花389,妙学园1545 6.即“美妙数学花园”代表的6位数最小为348596【答案】348596【

14、例10】 面算式由19中的8个组成，相同的汉字表示相同的数，不同的汉字表示不同的数 .那么 数学解 题”与 能力”的差的最小值是 .数学解题 能力 +展示2010【考点】加减法的进位与借位【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，复试， 11题【解析】为了让 数学解题”与 能力”的差最小，应该让 数学解题”尽量小，也就是让 能力”和 展示”尽量大， 其中较大的应是 能力”，那么 数学解题”最小应该是一千八百多，能”应该是9,展”应该是7,于是解题” +方" +示” =201卬800-90-70=50 ,所以解”应该是4,那么题" +力" +水” =10那么

15、只能 是2+3+5,为了 数学解题”与能力”的差最小，让题" =2 力” =5于是数学解题”-能 力” =184295=1757.【答案】1757【例11】右边的加法算式中，每个“匚内有一个数字，所有口 ”内的数字之和最大可达到口 | 口+ 2004【考点】加减法的进位与借位【难度】5星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第5题，5分【解析】 末尾和最大24,十位和最大18,百位和最大18, 24+18+18=60【答案】60【例12】 将数字1至9分别填入右边竖式的方格内使算式成立（每个数字恰好使用一次），那么加数中的四位数最小是多少？ di2008【考点】加减法的进位与

16、借位【难度】6星【题型】填空【关键词】“迎春杯”，高年级组，复赛【解析】9个方框中的数之和为 45.三个加数的个位数字之和可能是8, 18;十位数字之和可能是 9, 10, 19,20;百位数字之和可能是 8, 9, 10,其中只有18 19 8 45.所以三个加数的个位数字之和为18,十位数字之和为19,百位数字之和为8.要使加数中的四位数最小， 尝试在它的百位填 1,十位填2, 此时另两个加数的百位只能填3, 4;则四位数的加数个位可填 5,另两个加数白十位可填 8, 9,个位可填6, 7,符合条件，所以加数中的四位数最小是1125.【答案】最小是1125【例13】在右边的加法算式中，若每

17、个字母均表示0到9中的一个数字，任意两个字母表示的数字都不相同，也不与算式中已有的数字相同，则A与B乘积的最大值是多少？EC F9 D G10 0AB【考点】加减法的进位与借位【难度】6星【题型】填空【解析】本题把数字谜与奇偶性、最值问题巧妙地结合在一起，可以从奇偶性方面来分析.考虑加法算式的个位，若个位不进位，则四个数字E F G B之和为2B,是偶数；若个位进位，则四个数字E F G B之和为10 2B或20 2B,还是偶数.所以E F G B为偶数，又 ABCDEFG23L 8 35,所以AC D为奇数.如果加法算式中个位不进位， 那么C D 10 A,这样A C D 10 2A为偶数，

18、与上面的分析矛盾，所以加法算式中个位向 十位进奇数位，只能是 1 位，故EFG10B, CD110A, 得E F G C D 19 A B,而 A BCDEFG23L 8 35,所以 A B 8, A、 B可能为2、6或3、5,乘积为12或15,故A与B乘积的最大值是 15.另解：因为E CF 9DG 而AB,等号两边除以9的余数相等，所以等号两边的各个数字的和除以9的余数相等，而所有数字的和是9的倍数，所以两边都是 9的倍数，即 而AB是9的倍数，由于A B 7 8 15,所以A B 8 ,再根据 和一定，差小积大”，所以A、B的取值为3、5时，A与 B乘积的最大值是15.【答案】15【例1

19、4】右式中不同的汉字代表 l - 9中不同的数字，当算式成立时，中国”这两个汉字所代表的两位数最大是多少？中国 新北乐 + 新奥运11 008【考点】加减法的进位与借位【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第 3题【解析】新”必为9,千位才能得2,所以中”应为8.国“、京“、运”之和应为8或18,但当和为18时，（国"、京“、运”分别为7, 6, 5）,中“、北“、奥”之和最大为15（中”、北"、奥”分别为 8, 4,3）,不能进位2,所以国“、京“、运”之和只能是8,此时，北“、奥”只能分别为7和5,则 国“、京“、运”分别为4、3、1,为使 中国”代表的两位数

20、最大， 国”取4.即中国”这两个汉字 所代表的两位数最大是 84.【答案】84【例15】 华杯赛网址是 ,将其中的字母组成如下算式：www hua bei sai cn 2008 ,如果每个字母分别代表09这十个数字中的一个， 相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且 w 8、h 6、a 9、c 7,则三位数bei的最小值是 .【考点】 【难度】星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛【解析】根据题意可知，888 6u9 bei s9i 7n 2008 ,有 U0 bei s0i n 351 ,此时 u, b, e, i , s, n 只能取 0, 1, 2, 3, 4, 5.b的最小值为1, e的最小值为0, i最小取2,若i 2,此时s最大只能取2,矛盾；所以i至少为3, 若i 3 ,此时s 2 , u 4 , n 5 ,符合条件，