四川大学版高数第一册部分习题答案

1、高数第一册 第一章习题1.11（4）（5）（4）（8）（10）7（6）（7）（8）（9）13（1）（2）（3）14习题1.22。(1) ，解不等式，得 (2) ，解不等式，得(3) ，解不等式，得当时，(4) ，解不等式，得3.证：，有。于是，有，即4.(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 6.（1）故 （2）（3）设，则（4）则7（1），单增。，有上界。（2），单增。，有上界。（3）101213141718192021习题1.3567101112、利用洛必达法则求极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）法二：（11）（12）（13）（14）14证明

2、：习题2.1237（单数）（没有）14（单数）（没有）16（单数）19（单数）20（单数）习题2.26（单数）（没有）7（单数）8（单数）9习题2.336（单数）8(单)12（单数）141518192021(单)22（单）p208 习题3.11、利用基本积分公式计算下列积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）p237习题3.21、用适当地变化被积表达式的方法求下列积分。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（2

3、4）（25）（26）（27）（28）（29）（30）（31）（32）（33）(34) (35)2、用适当的代换求下列积分（1）解：令，则，故得另一解法：令，则，故得（2）解：令，则，故得（3）解：令，则，故得（4）解：令，则，代入故得（5）令，则，代入故得（6）解：令，则，代入故得（7） 解：令 ，则代入故得（8）解：令，则，故得（9）解：由于被积函数的存在域为，因此可设，并限制，从而，代入故得（10）解：令，则，代入故得又，(11)解：被积函数的存在域为或，分别考虑。（1）当时，可设，并限制，从而，（2）当时，可设，并限制，从而，（12）（13）解：令，则，（14）解：令，则，故得（15）（

4、16）解：被积函数的存在域为，因此可设，并限制，从而，代入得注意到，最后得（17）解：令，则故得（18）故3、求下列积分（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：（9）解：（10）解：令，则，故得（或4、用分部积分法求下列积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：令，则，待入得（7）（8）（9）解：令，则，代入得（10）（11）解：如果a，b同时为零，积分显然为；若，积分显然为；若，有于是有（12）解：(13)解：（14）解：（15）解：（16）解：注：（17）解：作代换，得（课本例七结果）最后得（18）解：（19）解：故有5、用有理函数积分法求下列积分

5、（1）解：设，通分后应有，解得，。于是（2）解：设，通分后解得，。于是（3）解：设，通分后解得，于是（4）解：设，通分后解得，。于是令解：(5) 解：若用代定系数法较复杂（6）解：设，经计算解得，。于是（7）解：设，通分后解得，。于是（8）解：设6、求下列三角函数的积分（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：、（7）解：（8）（9） ，解：设，则，代入得其中（10）解： 其中设（11）解：（12）解：（13）解：（14）（令）解：设，则，代入得其中7、求下列无理函数的积分（1）解：设，则，代入得（2）解：令，则，代入得（3）解：（4）解：（5）解：，令， 故另解：令，则，。

6、代入得（6）解：（7）解：设，则，代入得当时当时总之，（8）解：设，则，代入得（9）解：设，则，代入得（10）解：设，则，代入得（11）解：设，则，代入得其中（12）解：设，则，代入得其中8、求下列积分（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：令，则，代入得（6）解：（7）解：令，则，代入得（8）解：（9）解：（10）解：（11）解：（12）解：（13）解：（14）解：（15）解：（16）解：（17）解：（18）解：（19）解：（20）解：当时当时总之(21)解: (22)解：（23）解：（24）解：（25）解：（26）解：(27)解：(28)解：设，则，。代入得（29）解：设，则，代

7、入得（30）解：设，则，代入得（31）解：当时当时总之（32）解：（33）解：（34）解：（35）解：（36）解：这里暗中分别假定了被积函数，是连续的（37）设，求解：由，得，于是第四章4、求下列微分方程的特解。（1），解：特征方程为 ，解得，通解为，利用初始条件有， 解得，所以特解为（2），解：特征方程为 ，解得，通解为，利用初始条件有， 解得，所以特解为（3），解：特征方程为 ，解得，通解为，利用初始条件有， 解得，所以特解为（4），解：特征方程为 ，解得，通解为，利用初始条件有，解得，所以特解为（5），解：特征方程为 ，通解为，利用初始条件有，解得，所以特解为12、求下列各种类型的微分方

8、程的通解。（1）解：一阶、线性、非齐次 （2）解：分离变量， ，又解（利用公式）：（3）解：分离变量， 又解（利用公式）：原式变形为，第五章5.11、 利用积分的性质比较下列积分的大小。 此题利用的是定积分的性质6：若函数、都在可积，且对任意，有，则。（1）与解：在区间上，所以有（2）与解：在区间上上，所以有(3) 与解：在区间，所以（4）与解：在区间上，所以2、 确定下列积分的符号。此题利用的是定积分的性质5：若函数在可积，且对任意，有（或），则（或）。（1）解：在区间上，所以，故有（2）解：在区间上，；在区间上，所以在区间上恒有，故3、 设在连续，且，证明：如果，则在上，。4、求函数在上的平均值。解：5、求函数在区间上的平均值。解：6、利用中值定理估计下列各积分的值。利用的定积分的性质9：若函数在闭区间连续，则在内至少存在一点使得下式成立：。（1）解：利用性质9知，至少存在一点，使而在内，即（2）解：利用性质9知，至少存在一点，使，而在区间上，所以，即（3）解：利用性质9知，至少存在一点，使，而，即7、证明不等式，（）此题利用性质6证明：在区间内，所以，而，即8、求下列极限（1）解：利用性质9知，至少存在一点，使,所以（2）解：利用性质9知，至少存在一点，使，所以（3）解：利用性质9知，至少存在一点，使（），当时，所以9、如果，试计算（、均为连续函数）证明：10