工程力学教学课件之三平面任意力系平衡方程

1、第三章第三章 平面任意力系平面任意力系 课题课题31 31 平面任意力系平衡方程平面任意力系平衡方程 课题课题32 32 固定端约束固定端约束 均布载荷求力均布载荷求力矩矩 课题课题33 33 物体系统的平衡物体系统的平衡 课题课题34 34 考虑摩擦时构件的平衡考虑摩擦时构件的平衡课题课题31 31 平面任意力系平衡方程平面任意力系平衡方程1.1.平面汇交力系平面汇交力系 平面汇交力系总可以合成为一个合力fr 。2.2.平面力偶系平面力偶系 平面力偶系总可以合成为一个合力偶,其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和 。 3. 3.力线平移定理力线平移定理 力向作用线外任一点平移，得到一个平移力和一个

2、附加力偶。 平移力与原力大小相等，附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。of3f2f1fr12fr22)()(yxrfffm1m2m3mr=adbf m =fdbafdfdm 旧课复习：旧课复习：rmmo一、一、平面任意力系的简化平面任意力系的简化= = 课题课题31 31 平面任意力系平衡方程平面任意力系平衡方程 1.1.主矢主矢f f r 主矢的大小等于原力系中各分力的合力，即在坐标轴投影主矢的大小等于原力系中各分力的合力，即在坐标轴投影代数和的平方和再开方代数和的平方和再开方, ,作用点在简化中心上作用点在简化中心上,其大小和方向与简化中心的选取无关。of3f2f1cba简化中心 f3f2f

3、1m1m2m3= =of rm02222)()()()(yxyxrfffff 2.2.主矩主矩m0)(0fmmmo结论：结论： 主矩的大小等于各分力对简化中心力矩的代数和。主矩的大小等于各分力对简化中心力矩的代数和。其大小和方向与简化中心的选取可能有关，也可能无关。 平面任意力系向平面任意点简化平面任意力系向平面任意点简化, ,得到一主矢得到一主矢f fr r和一主矩和一主矩0 0 xyfftan3.3.简化结果的讨论简化结果的讨论 例例3-13-1 图示物体平面a、b、c三点构成一等边三角形，三点分别作用f力，试简化该力系。 1）fr0 00 主矢fr和主矩o可以再简化为一个作用点不在简化中

4、心o点的力fr (试一下) 。fabc 解：解：1.求力系的主矢cos60cos600 xffff2.选a点为简化中心，求力系的主矩简化结果是一平面力偶系(取其它点为简化中心，结果不变，因为本来就已构成平面力偶系)。 2）fr0 0=0 简化为一个力，主矢fr就是力系的合力fr (结果相当于作用于简化中心的汇交力系)。 3）fr=0 00 简化为一个力偶。主矩的大小与简化中心的选择无关(本来可以构成平面力偶系) 。 4）fr=0 0=0 力系处于平衡状态，与简化中心无关。 ffxy0)()(22yxrfff0sin60sin600yfff0( )sin603/2ammffabf abm0二、平

5、面任意力系的平衡方程二、平面任意力系的平衡方程 1.1.平衡条件平衡条件2.2.平衡方程平衡方程 为使求解简便，坐标轴一般选在与未知力垂直的方向上，矩心可选在未知力作用点（或交点）上。 平面任意力系平衡的必充条件为fr=0 0=0。即0)()(22yxrfff0)(0fmmo0)(000fmffyx三、平面平行力系的平衡方程三、平面平行力系的平衡方程 若全部分力均垂直于x轴（或y轴），则上述平衡方程中， （或 ）衡成立，则上述方程变为： 0 xf 0yf或 0)(00fmfx0)(00fmfy四、应用举例四、应用举例 例例3-23-2 图示杆件ab, 在杆件上作用力f,集中力偶m=fa,求杆件

6、的约束力。解：解：1.取ab为研究对象画受力图 2.建立坐标系列平衡方程:0)(fma320bfafam:0 xf0axfaaafabmfabmfb332fafafafb:0yf0fffbay23aybffffxyfaxfay 例例3-3 图示支架由杆ab、cd组成，a、c、d处均为光滑铰链，在ab上作用f力，集中力偶m=fa，=45，试求杆件ab的约束力。 解：解：1.取ab杆为研究对象画受力图2.列平衡方程求约束力:0)(fmasin4520cfafamfafafafc22/22:0 xfcos450axcff aaabdfcm=faaafbacm=fafaxfcfay2cos4522ax

7、cffff :0yf054sinfffcay022254sinfffffcay解：解：1.取小车为研究对象画受力图2.建立坐标系列平衡方程求约束力()sincos0btf abfhghgacosbgafab:0 xf0singftsingft:0yfcos0abffgcoscoscoscosabgagbfgfgabab 例例3-4 图示为高炉加料小车的平面简图。小车由钢索牵引沿倾角为的轨道匀速上升，已知小车的重量g和尺寸a、b、h、，不计小车和轨道之间的摩擦，试求钢索拉力ft和轨道对小车的约束力。 gfafbyxft:0)(fma将g分解为x、y方向分量本课节小结本课节小结 主矢的大小等于原力

8、系中各分力在坐标轴投影代数和的平主矢的大小等于原力系中各分力在坐标轴投影代数和的平方和再开方方和再开方, ,作用在简化中心上。主矩的大小等于各分力对简化作用在简化中心上。主矩的大小等于各分力对简化中心力矩的代数和。中心力矩的代数和。一、一、平面任意力系的简化平面任意力系的简化平面任意力系向平面任意点简化平面任意力系向平面任意点简化, ,得到一主矢得到一主矢f fr r和一主矩和一主矩0 0 1. 1.平衡条件平衡条件 平面任意力系平衡的必充条件为fr=0 0=0。二、平面任意力系的平衡方程二、平面任意力系的平衡方程 2. 2.平衡方程平衡方程 为使求解简便，坐标轴一般选在与未知力垂直的方向上，

9、矩心可选在未知力作用点（或交点）上。0)(000fmffyx22)()(yxrfff)(0fmmo二、平面平行力系的平衡方程二、平面平行力系的平衡方程或 0)(00fmfx0)(00fmfy一、平衡方程的其它形式一、平衡方程的其它形式 课题课题32 32 固定端约束固定端约束 均布载荷求力矩均布载荷求力矩例例3-5 图示支架由杆ab、bc组成，a、c、d处均为光滑铰链，在ab上作用f力，集中力偶m=fa，=30，试求杆件ab的约束力。aaacfbm解：解：1.取ab杆为研究对象画受力图aafabcmfaxfbfay 2.平衡方程求约束力:0)(fmasin3020bfaf am:0 xfcos

10、300axbff :0yf030sinfffbayffb2cos303axbfff 0ayf:0)(fmasin3020bfaf amffb2:0)(fmb20ayfaf am0ayf:0 xfcos300axbff cos303axbfff :0)(fmasin3020bfaf amffb2:0)(fmb20ayfaf am0ayf:0)(fmc2 303axaff amffax3332a一 矩 式二 矩 式三 矩 式:0 xf:0)(fma:0yf:0)(fma:0)(fmb 0 (0):xyff:0)(fma:0)(fmb:0)(fmc 所选坐标轴不能与a、b连线垂直 a、b、c三点不公

11、线 两坐标轴垂直二、平面固定端约束二、平面固定端约束 图a阳台、图b车刀的根部固定, 既不允许构件移动，又不允许绕其固定端转动。这些实例简化的平面力学模型，称为平面固定端约束平面固定端约束。 f 由平面任意力系的简化可得：平面固定端约束有两个约束力fax、fay和一个约束力偶矩a(均假设为正方向)。 faxfayma三、均布载荷均布载荷 载荷集度为常量的分布载荷称为均布载荷均布载荷。 xabqlo在构件一段长度上作用均布载荷q(n/m) ,1.1.均布载荷的合力均布载荷的合力fq 均布载荷的合力fq的大小等于均布载荷集度q与其分布长度l的乘积，即 fq=qlfql/2 2.2.均布载荷求力矩：

12、均布载荷求力矩： 由合力矩定理可知，均布载荷对平面上任意点o的力矩等于其合力fq与分布长度中点到矩心距离的乘积，即 m0(ql)= ql(x+l/2) 。若以a点为矩心，则 ma (ql)= ql2/2 应用举例应用举例 例例3-63-6 图示为悬臂梁的平面力学简图。已知梁长为2l，共作用有均布载荷q，集中力f=ql和力偶m0 =ql2, 求固定端的约束力。abqllfm0qabllfm0faxfayma解：解：1.取ab为研究对象画受力图2.列平衡方程求约束力:0)(fma02320mlqllfma:0 xf0axf:0yf0qlffay252qlmaqlqlffay2 例例3-7 图示为外

13、伸梁的平面力学简图。已知梁长为3a，作用均布载荷q，作用力f=qa/2和力偶m0 =3qa2/2, 求ab梁的约束力。解：解：1.取ab为研究对象画受力图daqabaam0cfaaadabcm0qffdfaxfay:0)(fma02532aqaafmafod:0 xf0axf:0yf0qafffday4qafd4324qaqaqaqafay2.列平衡方程求约束力 例例3-8 图示支架由杆ab、cd组成，a、c、d处均为光滑铰链，在cb上作用均布载荷q，m0=qa2，=45，试求杆件ab的约束力。 解：解：1.取ab为研究对象画受力图qm0aaabdcqm0aadcbafaxfcfay 2.列平

14、衡方程求约束力:0)(fma02345sin0maqaafcqaaqaqafc222/22/322:0 xfcos450axcff 22cos45222axcqaqaff :0yf054sinqaffcay2222254sinqaqaqaqaffcay 课后作业：课后作业：工程力学练习册练习八练习八本课节小结本课节小结一、平衡方程的其它形式（注意限制条件）一、平衡方程的其它形式（注意限制条件） 平面固定端约束有两个约束力fax、fay和一个约束力偶矩a。二、平面固定端约束二、平面固定端约束 1.均布载荷的合力均布载荷的合力fq 均布载荷的合力fq的大小等于均布载荷集度q与其分布长度l的乘积，即

15、 fq=ql三、均布载荷均布载荷一 矩 式二 矩 式三 矩 式:0 xf:0)(fma:0yf:0)(fma:0)(fmb:0 xf:0)(fma:0)(fmb:0)(fmc 2.均布载荷求力矩：均布载荷求力矩： 均布载荷对平面上任意点o的力矩等于其合力fq与分布长度中点到矩心距离的乘积，即 m0(ql)=ql(x+l/2) 。 旧课复习旧课复习 课题课题33 33 物体系统的平衡物体系统的平衡 1. 1.平面汇交力系平面汇交力系0)(00fmfy00yxff 2. 2.平面力偶系平面力偶系 3. 3.平面平行力系平面平行力系 4. 4.平面任意力系平面任意力系 0)( fmo0)(000fm

16、ffyx 平面汇交力系有一组二个独立的平衡方程，解出二个未知数。 平面力偶系有一个独立的平衡方程，解出一个未知数。 平面平行力系有一组二个独立的平衡方程，解出二个未知数。 平面任意力系有一组三个独立的平衡方程，解出三个未知数。 一、静定与静不定问题的概念一、静定与静不定问题的概念 课题课题33 33 物体系统的平衡物体系统的平衡1.1.静定问题静定问题 力系中未知数个数少于或等于独立平衡方程个数时，全部未知数可由独立平衡方程解出，这类问题称为静定问题。静定问题。 2.2.静不定问题静不定问题 力系中未知数个数多于独立平衡方程个数时，全部未知数不能完全由独立平衡方程解出，这类问题称为静不定问题静

17、不定问题。 静定问题(3=3)静不定问题(32)静不定问题(32)静定问题(3=3)静定问题(3=3)静不定问题(43)静不定问题(43)平面任意力系平面平行力系平面汇交力系平面任意力系平面任意力系平面任意力系平面任意力系二、物体系统的平衡问题二、物体系统的平衡问题 1.1.物系物系 工程机械和结构都是由若干个构件通过一定约束联接组成的系统称为物体系统，简称为物系。物系。 2.2.外力和内力外力和内力 系统外物体对系统的作用力称为物系外力外力，系统内部各构件之间的相互作用力称为物系内力内力。 3.3.物系平衡物系平衡 物系处于平衡，那么物系的各个构件都处于平衡。因此在求解时，既可以选整个物系为

18、研究对象；也可以选单个构件或部分构件为研究对象。 例如例如求图示结构中ab、bc杆的约束力。 bcaffffbacfbxfbyfbxfbyfaxfayfcyfcxbffacfaxfayfcyfcx6=6 6=6 例例3-9图示为一静定组合梁的平面力学简图。已知l=2m,均布载荷q=15kn/m，力偶m0=20knm, 求a、b端约束力和c铰链所受的力。 解：解：1.分别取ac、cb画受力图lll/2am0qbcll/2m0qbcfcyfbfcxlacfcxfcyfaxfayma:0)(fmc0223lqllfb:0 xf0cxf:0yf0qlffbcy 2.取cb列平衡方程求约束力kn1032

19、153qlfbkn2021510qlffbcy:0)(fma00lfmmcya:0 xf0axf:0yf0cyayff 3.取ac列平衡方程求约束力mkn20220200lfmmcyakn20cyayff例例3-10 曲柄连杆机构在图示位置时，f=5kn，试求曲柄oa上应加多大的力偶矩才能使机构平衡? 解解1 1：1.分别取曲柄oa、滑块b画受力图fo10cm20cm10cmbamf10cm20cm10cmoabmfabfbfabfoxfoy112tan,sin,cos255cos0abff 2.取滑块b列平衡方程求约束力:0)(fmosin0.1cos0.10ababmff 解解1 1：取o

20、a为研究对象:0 xf555.6kncos2abff0sinabbff:0yfkn5 . 2516 . 5sinabbffmkn75. 01 . 0)5251(6 . 5m10cm20cm10cmobam解解2 2：取整体为研究对象fbfoxfoy:0)(fmo(0.10.2)0bmf2.5 (0.10.2)0.75kn mm f3-1 图示为一静定组合梁的力学简图。作用集中力f，集中力偶m0, 画ac、cb段的受力图。 课堂练习课堂练习llabcm0f3-2 图示结构由ab、bc、de杆组成。作用集中力f，画ab、bc、de 杆的受力图。 aaaaabcdef 课后作业：课后作业：工程力学练

21、习册练习九练习九本课节小结本课节小结一、静定与静不定问题的概念一、静定与静不定问题的概念1.1.静定问题静定问题 力系中未知数的个数少于或等于独立平衡方程个数，全部未知数可由独立平衡方程解出。二、物体系统的平衡问题二、物体系统的平衡问题 外力和内力外力和内力系统外物体对系统的作用力称为物系外力外力，系统内部各构件之间的相互作用力称为物系内力内力。 物系平衡物系平衡 物系处于平衡，那么物系的各个构件都处于平衡。因此在求解时，既可以选整个物系为研究对象；也可以选单个构件或部分构件为研究对象。2.2.静不定问题静不定问题 力系中未知数个数多于独立平衡方程个数时，全部未知数不能完全由独立平衡方程解出。

22、 一、滑动摩擦的概念一、滑动摩擦的概念 课题课题34 34 考虑摩擦时构件的平衡考虑摩擦时构件的平衡 两物体接触面间产生相对滑动产生相对滑动或具有相对滑具有相对滑动趋势动趋势时，接触面间就存在有阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力，称为滑动摩擦力滑动摩擦力。 1. 1.静滑动摩擦力（物体具有相对滑动趋势时所产生的摩擦力）静滑动摩擦力（物体具有相对滑动趋势时所产生的摩擦力）静摩擦力介于零到最大（临界）静摩擦力之间即0ffffmax 。fgf1gfnff 静摩擦定律静摩擦定律 大量实验表明，临界摩擦力的大小与物体接触面间的正压力成正比（即库仑定律）。f2gfnfffljgfnffmax滑动趋势状态临界状

23、态相对滑动状态nsfffmax 2. 2.动滑动摩擦力（物体相对滑动时所产生的摩擦力）动滑动摩擦力（物体相对滑动时所产生的摩擦力）实验表明，动滑动摩擦力ff的大小与接触面间的正压力fn成正比，即nfff 为静摩擦因数 s 为动摩擦因数 二、摩擦角与自锁现象二、摩擦角与自锁现象 1.1.全约束力全约束力fr 若将正压力fn和静摩擦力ff两力合成，其合力fr就代表了物体接触面对物体的全部约束反作用，fr称为全约束力全约束力。f1gfnfffljgfnffmaxsnnsnfmffffmaxtanfrfrmm2.2.摩擦角摩擦角m 最大全约束力frm与法线之间的夹角称为摩擦角摩擦角。此式表明摩擦角的正

24、切值等于摩擦因数摩擦角的正切值等于摩擦因数。 fljgfnffmaxfrmm3.3.摩擦锥摩擦锥 摩擦角表示全约束力与法线间的最大夹角。若物体与支承面的静摩擦因数在各个方向都相同，则这个范围在空间就形成一个锥体，称为摩擦锥。摩擦锥。 4.4.自锁现象自锁现象 全约束力作用线落在摩擦锥内的这种现象称为自锁自锁。自锁的条件应为：全约束力与法线的夹角小于或等于摩擦角全约束力与法线的夹角小于或等于摩擦角（在此（在此范围内增加外力时，物体将保持静止）范围内增加外力时，物体将保持静止） 。即mfr三、考虑摩擦时构件的平衡问题三、考虑摩擦时构件的平衡问题 求解考虑摩擦时构件的平衡问题，除列出平衡方程外，还需

25、列出补充方程ffsfn。在临界状态，补充方程ff=ffmax=sfn（但不能随意假定摩擦力的方向），故所得结果也将是平衡范围的极限值。解：解：1.取ab为研究对象画受力图 例例3-11 3-11 图示重g的梯子ab一端靠在铅垂的墙壁上，另一端放在水平面上，a端摩擦不计，b端摩擦因数为s，试求维持梯子不致滑倒的最小min角。 labglabgfbfffa:0)(fmbsincos02alflg:0 xf0faff:0yf0gfb 2.列平衡方程faff gfb 3.列补充方程gffsbsf 4.联立求解sincos2alflgfsincos2gfsincos2sggs21tanmin1arctan2s 解：解：1.分别取鼓轮、制动杆ab为研究对象画受力图。 例例3-12 3-12 图示为一制动装置的平面力学简图。已知作用于鼓轮上的转矩为，鼓轮与制动片间的