2022年中考数学一轮复习第19讲《直角三角形》讲学案(含答案)

1、中考数学一轮复习第19讲直角三角形【考点解析】知识点一：直角三角形的性质【例题】（青海西宁·2分）如图，OP平分AOB，AOP=15°，PCOA，PDOA于点D，PC=4，则PD=2【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形【分析】作PEOA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得ACP=AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD【解答】解：作PEOA于E，AOP=BOP，PDOB，PEOA，PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），BOP=AOP=15°，AOB=

2、30°，PCOB，ACP=AOB=30°，在RtPCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），PD=PE=2，故答案是：2【变式】（2013·泰安，23，3分）如图，在RtABC中，ACB90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若F30°，DE1，则BE的长是 【解析】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质根据同角的余角相等、等腰ABE的性质推知DBE30°，则在直角DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度 【解答】解：A

3、CB90°，FDAB，ACBFDB90°，F30°，AF30°（同角的余角相等）又AB的垂直平分线DE交AC于E，EBAA30°，直角DBE中，BE2DE2【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形解题的难点是推知EBA30°知识点二：直角三角形的判定【例题】（2013·潍坊，9，3分）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行2

4、0分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）A海里/小时 B 30海里/小时 C海里/小时 D海里/小时答案：D考点：方向角，直角三角形的判定和勾股定理点评;理解方向角的含义，证明出三角形ABC是直角三角形是解决本题的关键【变式】（3分）（桂林）（第8题）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A30，40，50B7，12，13C5，9，12D3，4，6考点：勾股定理的逆定理分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可如果有这种关系，这个就是直角三角形解答：解：A、302+402=502，该三角形符合勾股定理的逆定理

5、，故是直角三角形，故正确；B、72+122132，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C、52+92122，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、32+4262，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；故选A点评：本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断知识点三勾股定理及其逆定理的应用【例题】（山东省东营市·3分）在ABC中，AB10，AC2，BC边上的高AD6，则另一边BC等于( )A10B8C6或1

6、0D8或10【解析】勾股定理、分类讨论思想，在图中，由勾股定理，得BD8;CD2;BCBDCD8210. 在图中，由勾股定理，得BD8;CD2;BCBDCD826.故选择C.【点拨】本题考查分类思想和勾股定理，要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD和CD，从而可求出BC的长.【变式】（陕西·3分）如图，在ABC中，ABC=90°，AB=8，BC=6若DE是ABC的中位线，延长DE交ABC的外角ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A7 B8 C9 D10【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到D

7、FBM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题【解答】解：在RTABC中，ABC=90°，AB=8，BC=6，AC=10，DE是ABC的中位线，DFBM，DE=BC=3，EFC=FCM，FCE=FCM，EFC=ECF，EC=EF=AC=5，DF=DE+EF=3+5=8故选B知识点四：直角三角形的综合应用【例题】（四川眉山·3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形ABCD，边BC与DC交于点O，则四边形ABOD的周长是（）A B6 C D【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形ABCD，利用勾股定理的知识

8、求出BC的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO，OD，从而可求四边形ABOD的周长【解答】解：连接BC，旋转角BAB=45°，BAD=45°，B在对角线AC上，BC=AB=3，在RtABC中，AC=3，BC=33，在等腰RtOBC中，OB=BC=33，在直角三角形OBC中，OC=（33）=63，OD=3OC=33，四边形ABOD的周长是：2AD+OB+OD=6+33+33=6故选：A【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质此题难度适中，注意连接BC构造等腰RtOBC是解题的关键，注意旋转中的对应关系【变式】（2013四川巴中，29，10

9、分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B （1）求证：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长【解析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似ADFDEC；（2）利用ADFDEC，可以求出线段DE的长度；然后在在RtADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度 【解答】（1）证明：ABCD，ABCD，ADBC，C+B=180°，ADF=DECAFD+AFE=180°，AFE=B，AFD=C在ADF与DEC中，ADFDEC（2）解：ABCD，CD=AB=8由（1）知ADFDEC，DE=12在R

10、tADE中，由勾股定理得：AE=6【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错【典例解析】【例题1】（四川内江）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A B C D不能确定答案B考点勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力。解析如图，ABC是等边三角形，AB3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AHBC于H则BH，AH连接PA，PB，PC，则SPABSPBCSPCASABCAB·P

11、DBC·PECA·PFBC·AHPDPEPFAH故选BPBADEF答案图CH【例题2】（四川内江）如图12所示，已知点C(1，0)，直线yx7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则CDE周长的最小值是_答案10考点勾股定理，对称问题。解析作点C关于y轴的对称点C1(1，0)，点C关于x轴的对称点C2，连接C1C2交OA于点E，交AB于点D，则此时CDE的周长最小，且最小值等于C1C2的长OAOB7，CB6，ABC45°AB垂直平分CC2，CBC290°，C2的坐标为(7，6)在C1BC2中，C1C210即CDE周长的最

12、小值是10xyO答案图CBAEDC1C2故答案为：10【例题3】4.（黑龙江龙东·6分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，3）、（4，1）（2，1），先将ABC沿一确定方向平移得到A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是（1，2），再将A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到A2B2C2，点A1的对应点为点A2（1）画出A1B1C1；（2）画出A2B2C2；（3）求出在这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换【分析】（1）由B点坐标和B1的坐标得到ABC向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到A1B1C1，

13、则根据点平移的规律写出A1和C1的坐标，然后描点即可得到A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A1的对应点为点A2，点B1的对应点为点B2，点C1的对应点为点C2，从而得到A2B2C2；（3）先利用勾股定理计算平移的距离，再计算以OA1为半径，圆心角为90°的弧长，然后把它们相加即可得到这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长【解答】解：（1）如图，A1B1C1为所作；（2）如图，A2B2C2为所作；（3）OA=4，点A经过点A1到达A2的路径总长=+=+2【中考热点】【热点1】（福建龙岩·12分）图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终

14、到达终点站D站的格点站路线图（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图（要求：与图1路线不同、路程相同；途中必须经过两个格点站；所画路线图不重复）【考点】作图应用与设计作图；勾股定理的应用【分析】（1）先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长，再相加求得所走的路程的近似值；（2）根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可【解答】解：（1）根据图1可得：，CD=3A站到B站的路程=9.7；（2）从A站到D站的路线图如下：【热点2】（四川南充）如图，在RtABC

15、中，ACB=90°，BAC的平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆（1）求证：AB为O的切线；（2）如果tanCAO=，求cosB的值【分析】（1）如图作OMAB于M，根据角平分线性质定理，可以证明OM=OC，由此即可证明（2）设BM=x，OB=y，列方程组即可解决问题【解答】解：（1）如图作OMAB于M，OA平分CAB，OCAC，OMAB，OC=OM，AB是O的切线，（2）设BM=x，OB=y，则y2x2=1 ，cosB=，=，x2+3x=y2+y ，由可以得到：y=3x1，（3x1）2x2=1，x=2.75，y=1.25，cosB=0.6【点评】本题考查切线的

16、判定、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是记住圆心到直线的距离等于半径，这条直线就是圆的切线，学会设未知数列方程组解决问题，属于中考常考题型 【热点3】（湖北随州·10分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是ABC的中线，ANBN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”设BC=a，AC=b，AB=c【特例探究】（1）如图1，当tanPAB=1，c=4时，a=4，b=4；如图2，当PAB=30°，c=2时，a=，b=；【归纳证明】（2）请你观察

17、（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论【拓展证明】（3）如图4，ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BECE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长【考点】四边形综合题【分析】（1）首先证明APB，PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题连接EF，在RTPAB，RTPEF中，利用30°性质求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题（2）结论a2+b2=5c2设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=

18、2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题（3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题【解答】（1）解：如图1中，CE=AE，CF=BF，EFAB，EF=AB=2，tanPAB=1，PAB=PBA=PEF=PFE=45°，PF=PE=2，PB=PA=4，AE=BF=2b=AC=2AE=4，a=BC=4故答案为4，4如图2中，连接EF，CE=AE，CF=BF，EFAB，EF=AB=1，PAB=30°，PB=1，PA=，在RTEFP中，EFP=PAB=30°，PE=，PF=，AE=，BF=，a=BC=2BF=，b=AC=2AE=，故答案分别为，（2）结论a2+b2=5c2证明：如图3中，连接EFAF、BE是中线，EFAB，EF=AB，FPEAPB，=，设FP=x，EP=y，则AP=2x，BP=2y，a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2